兰州一中2023-2024-1学期期中考试试题
高二数学
说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟，答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若曲线表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
3.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且栯圆的离心率为，面积为，则椭圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.等差数列中，，则此数列前20项和等于（ ）
A.160 B.180 C.200 D.220
5.设等比数列的前项和为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
6.已知圆的半径为，过点的2023条弦的长度组成一个等差数列，最短弦长为，最长弦长为，则其公差为（ ）
A. B. C. D.
7.设是椭圆上一点，分别是圆和圆上的点，则的最小值 最大值分别为（ ）
A.9，12 B.8，11 C.8，12 D.10，12
8.椭圆的两个焦点为是椭圆上一点，且满足.则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9.已知分别是椭圆的左 右焦点，为椭圆上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.的周长为10
B.面积的最大值为
C.的最小值为1
D.椭圆的离心率为
10.已知动点到原点与的距离之比为2，动点的轨迹记为，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A.的方程为
B.直线被截得的弦长为
C.动点到直线的距离的取值范围为
D.上存在三个点到直线的距离为
11.若圆和圆的交点为，则有（ ）
A.公共弦所在的直线方程为
B.线段中垂线的方程为
C.公共弦的长为
D.为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
12.设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A.数列为等比数列
B.数列的通项公式为
C.数列为等比数列
D.数列为等比数列
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆上一点，且成等差数列，则椭圆的方程为__________.
14.定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列，且，公和为1，那么这个数列的前2023项和__________.
15.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是__________.
16.如图，椭圆的左 右焦点分别为，过焦点的直线交该椭圆于两点，若的内切圆（圆心记为）面积为两点的坐标分别为，则的面积__________，的值为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知椭圆的离心率，求的值及椭圆的长轴长 焦点坐标.
18.（本小题满分12分）
圆心在直线上的圆，经过点，并且与直线相切.
（1）求圆的方程；
（2）圆被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线的方程.
19.（本小题满分12分）
在数列中，.
（1）求的值；
（2）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说理理由.
20.（本小题满分12分）
如图，已知圆及点.
（1）若点在圆上，求直线与圆的相交弦的长度；
（2）若是直线上任意一点，过点作圆的切线，切点为，当切线长最小时，求点的坐标，并求出这个最小值.
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右顶点分别为，且，离心率为为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点.证明：以线段为直径的圆过椭圆的右焦点.
22.（本小题满分12分）
已知数列与满足，且为正项等比数列，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）若数列满足为数列的前项和，求证：.
兰州一中2023-2024-1学期期中考试答案
高二数学
第I卷（选择题）
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A B A B C D
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 ABD BD ABD CD
第II卷（非选择题）
二 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14.1010 15. 16.；
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解：椭圆的焦点在轴上且
又
即椭圆方程为
椭圆的长轴长为 焦点坐标为.
18.解（1）设圆的标准方程为，
由题意得解得
所以圆的方程为.
（2）如图，设直线与圆交于两点，过点作，垂足为，
因为圆被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心到直线的距离为，且，
因为直线的方程为，
所以，解得或，
故所求直线的方程为或.
19.解：（1）因为，且，
所以.
（2）假设存在实数，使得数列为等差数列.
设，由为等差数列，得，
所以，
即，解得.
而当时，有
，
，
则是首项为2，公差为1的等差数列.
所以存在实数，使得数列是以首项为2，公差是1的等差数列.
20.（本小题满分12分）
解易知圆的标准方程为，
则，半径.
（1）将点代入圆的方程，
得，所以，
故直线的斜率.
因此直线的方程为，
即，
所以圆心到直线的距离，
所以.
（2）因为，
所以当最小时，最小，
又当与直线垂直时，最小，
所以，
所以.
由题易得过点且与直线垂直的直线方程为，
联立得所以.
21.解由题意知，，得，
又离心率，
，
椭圆的方程为.
（2）证明由（1）得，
设，则，即.
直线，
直线，
点的纵坐标，点的纵坐标，
即，令椭圆的右焦点为，则，
即，
以为直径的圆过点
22.（1）解，①
当时，.②
①-②，得.
设的公比为，则.
又，
的通项公式为.
，
的通项公式为.
（2）证明由已知，得，(
兰州一中2023-2024-1学期期中考试
高二数学答题卡
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
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18．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
19．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
(
贴条形码区
（正面朝上，切勿贴出虚线方框）
) (
姓 名
)
(
班 级
)
(
方框为缺考考生标记，由监考员用2B铅笔填途。
正确填涂示例
)
(
一、单选题（共
40分） 二、多选题（共20分）
1 5 9
2 6 10
3 7 11
4 8 12
三、填空题（每小题5分，共20分）
13．
14．
15．
16．
四、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或计算步骤）
17．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效
)
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A
A
A
A
B
B
B
B
C
C
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C
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D
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A
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C
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D
D
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) (
A
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