4.3.1等比数列的概念 (1) 基础练
一、选择题
1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
3．已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．或
5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（ ）．
A．（为常数） B．（为常数）
C． D．
6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．当时，
二、填空题
7．在等比数列中，，公比，则 .
8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则 .
9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)
10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于 ．
三、解答题
11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.
12．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式及前n项和；
（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．
4.3.1等比数列的概念 (1) 基础练
一、选择题
1．以下条件中，能判定数列是等比数列的有（ ）
①数列1，2，6，18，…； ②数列中，已知，；③常数列，，…，，…；④数列中，，其中.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【详解】①中，数列不符合等比数列的定义，故不是等比数列；
②中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
③中，当时，不是等比数列；④中，数列符合等比数列的定义，是等比数列.故选：A.
2．与的等比中项是（ ）
A．1 B． C．2 D．或1
【答案】D
【详解】由题意可设与的等比中项是，则，解得或.故选：D.
3．已知中，，，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解:因为中，，,所以数列是首项为,公比的等比数列,
设通项公式为: ,所以.故选:C
4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】C
【详解】由题知，因为为等差数列，所以，又，则，从而.故选：C．
5．（多选题）下列选项中，不是成等比数列的充要条件是（ ）．
A．（为常数） B．（为常数）
C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；
对于B. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；
对于C. 根据等比数列等比中项可以判定此数列为等比数列，故正确；对于D. 当时，等式成立，此时不是等比数列，故错误；故选：ABD.
6．（多选题）关于递增等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．当时，
【答案】ABC
【详解】由题意，设数列的公比为，因为，得，
当时，，此时，当时，，
故不正确的是ABC.故选：ABC.
二、填空题
7．在等比数列中，，公比，则 .
【答案】
【详解】由题知.
8．已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则 .
【答案】
【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，
且.
9．已知数列的通项公式为，则数列中能构成等比数列的三项可以为________.(只需写出一组)
【答案】，，（答案不唯一）
【详解】因为数列的通项公式为，
所以数列中的项依次为，，，，，，，，，，，，……，
显然，所以，，能构成等比数列.故答案为：，，
10．已知是1，2的等差中项，是，的等比中项，则等于 ．
【答案】
【详解】由题意，，，∴．
三、解答题
11．已知正项等比数列，首项，且成等差数列，求数列的通项公式.
【详解】解：设等比数列的公比为q，
由题意得：，
即，即，
所以或（舍），
所以．
12．已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式及前n项和；
（2）设等比数列满足，，求数列的通项公式．
【详解】（1）设等差数列的公差为，
则，解得，
，；
（2），，
则公比为，
.4.3.1等比数列的概念 (2) 基础练
一、选择题
1．已知等比数列中，，，则公比q=（ ）
A． B． C． D．2
2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）
A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）．
A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是
C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是
6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（ ）
A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列
C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列
二、填空题
7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________ .
8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________ .
9．在等比数列中，，，则值为__________．
10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.
三、解答题
11．已知数列的前n项和．
（1）证明：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．
（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；
（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．
4.3.1等比数列的概念 (2) 基础练
一、选择题
1．已知等比数列中，，，则公比q=（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【详解】，即，解得.故选：B.
2．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为，则第六个单音的频率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，十三个单音的频率构成等比数列，公比为，第六个单音的频率.故选：B.
3．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）
A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列
C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列
【答案】A
【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，
所以，，，
所以数列是公差为2的等差数列，故选A.
4．在等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：．∵在等比数列中，，
所以．故选：B．
5．（多选题）据美国学者詹姆斯·马丁的测算，近十年，人类知识总量已达到每三年翻一番，到2020年甚至要达到每73天翻一番的空前速度．因此，基础教育的任务已不是教会一切人一切知识，而是让一切人学会学习．已知2000年底，人类知识总量为，假如从2000年底到2009年底是每三年翻一番，从2009年底到2019年底是每一年翻一番，2020年（按365天计算）是每73天翻一番，则下列说法正确的是（ ）．
A．2006年底人类知识总量是 B．2009年底人类知识总量是
C．2019年底人类知识总量是 D．2020年底人类知识总量是
【答案】BCD
【详解】2000年到2006年每三年翻一番，则总共翻了番.
2000年底，人类知识总量为a，则2006年底，人类知识总量为，故A错.
2000年到2009年每三年翻一番，则总共翻了番.
则2009年底，人类知识总量为，故B正确，
2009年到2009年每一年翻一番，则总共翻了番
则2019年底，人类知识总量为，故C正确.
2020年是每73天翻一番，则总共翻了番，
则2020年底，人类知识总量为，故D正确.故选：BCD.
6．（多选题）设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（ ）
A．是公比为的等比数列 B．是公比为的等比数列
C．是公比为的等比数列 D．是公比为的等比数列
【答案】AB
【详解】由于数列是公比为的等比数列，则对任意的，，且公比为.
对于A选项，，即数列是公比为的等比数列，A选项正确；
对于B选项，，即数列是公比为的等比数列，B选项正确；对于C选项，，即数列是公比为的等比数列，C选项错误；对于D选项，，即数列是公比为的等比数列，D选项错误.故选：AB.
二、填空题
7．已知数列是等比数列，，，且，则数列的公比___________ .
【答案】2
【详解】数列是等比数列，则，所以，
而，，所以公比.
8．有一改形塔几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长等于1，那么该塔形中正方体的个数是___________ .
【答案】7
【详解】设从最底层开始的第层的正方体棱长为，
则为以8为首项，以为公比的等比数列，
所以其通项公式为，
令可得，.
9．在等比数列中，，，则值为__________．
【答案】6
【详解】因为是等比数列，，
所以．
10．已知数列满足，.设，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是________.
【答案】
【详解】由可得，数列是首项和公比均为的等比数列，所以，则，又因为是递增数列，所以恒成立，即恒成立，所以，所以.
三、解答题
11．已知数列的前n项和．
（1）证明：是等比数列．
（2）求数列的前n项和．
【详解】（1）当时．，，
又，
所以的通项公式为．
因为，所以是首项为9，公比为3的等比数列．
（2）因为，
所以，
所以数列的前n项和：
.
12．诺贝尔奖每年发放一次，把奖金总金额平均分成6份，奖励在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类做出最有贡献人．每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息用于增加基金总额，以便保证奖金数逐年递增．资料显示：1998年诺贝尔奖发奖后的基金总额(即1999年的初始基金总额)已达19516万美元，基金平均年利率为．
（1）求1999年每项诺贝尔奖发放奖金为多少万美元(精确到0.01)；
（2）设表示年诺贝尔奖发奖后的基金总额，其中，求数列的通项公式，并因此判断“2020年每项诺贝尔奖发放奖金将高达193.46万美元”的推测是否具有可信度．
【详解】
（1）由题意得1999年诺贝尔奖发奖后基金总额为
万美元，
每项诺贝尔奖发放奖金为万美元；
（2）由题意得，
，
…
所以，
年诺贝尔奖发奖后基本总额为，
年每项诺贝尔奖发放奖金为万美元，
故该推测具有可信度．
