绝密★考试结束前
2023 学年第一学期钱塘联盟期中联考
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 6 页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. 空间直角坐标系中，点Q (1，2，3)关于 yOz 平面的对称点是
A． ( 1, 2,3) B． (1, 2,3) C． ( 1,2,3) D． (1,2, 3)
2. 高二年级有男生 310 人，女生 290 人，用分层随机抽样的方法按性别比例从全年级学生中抽
取样本，若抽取的样本中男生有 31 人，则该样本的样本容量为
A．30 B．40 C．50 D．60
3. 在下列条件中，点G 与点A,B,C 一定共面的是
A．OG =OA 2OB+OC B． OG +OA+OB +OC = 0
1 1 1
C．GA+GB+ 2GC = 0 D． OG = OA+ OB + OC
5 3 2
4. 已知一组数 x1 ，x2 ，x x
2
3 ， 4 的平均数是 x = 2，方差 s = 2，则数据2x1 +1，2x2 +1，2x3+1，
2x4+1 的平均数和方差分别是
A．3，4 B．2，8 C．2，4 D．5，8
5. 已知直线 l1 : 2x +my =1， l2 : mx +8y =m 2，则“m = 4 ”是“ l1 // l2 ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
高二数学学科 试题 第1页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
3
6. 已知向量a 在向量b 上的投影向量是 b，且b = (1,1, 1) ，则a b =
2
3 3 3 3
A． B． 3 C． D． 3
2 2 2 2
x2 y2
7. 已知 A是椭圆 + =1( 2 2 2a b 0)的上顶点，若过 A的直线 l与圆 x + y = c 相切，且 l的倾
a2 b2
斜角为120 ，则椭圆的离心率是
5 3 1 6
A． B． C． D．
5 3 2 3
2 2 2 2
8. 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O： x + y = r (r 0)与圆 M： (x 2 3) 2+ ( y + 2) = 4 相交于
A，B 两点，若对于直线 AB 上的任意一点 P，均有PO PM 0成立，则半径 r 的取值范围是
A． 2,2 5 B．
2 5,6
)
C． 2 3,2 5 D． (2,6 )
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9. 下列说法中，正确的有
A．直线3x y 3 = 0在 x 轴上的截距为 1 B．直线 3x y +1= 0的倾斜角120
C．直线mx + y + 3 = 0(m R) 必过定点 (0, 3) D．点 (5, 3)到直线 y + 2 = 0的距离为 1
10. 教育部《关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中指出，“各地要加强对学生
体质健康重要性的宣传，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素”.提高学生体育与
健康素养，增强体质健康管理的意识和能力.某学校共有 2000 名男生，为了了解这部分学生
的身体发育情况，学校抽查了 100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率直方图
如图所示，则下列结论中正确的是
高二数学学科 试题 第2页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
A．样本的众数为 67.5
B．样本的 80 百分位数为 72.5
C．样本的平均值为 66
D．该校男生中低于60kg的学生大约为 300 人
11. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子， A表示事件“两次掷出的点数之和是 6”， B 表示事件“第
二次掷出的点数是偶数”， C 表示事件“两次掷出的点数相同”， D 表示事件“至少出现一
个奇数点”，则
A．事件 A,C 为互斥事件 B．事件B, D为对立事件
3
C．P (D) = D．事件B,C 为相互独立事件
4
12. 已知长方体 ABCD A1B1C1D1 的棱 AB = AD = 2， AA1 =1，点 P 满足：
AP = AB + AD + AA ， , , [0,1]1 ，下列结论正确的是
A．当 =1， = 0时，P 到 A1D1 的距离为 3
B．当 =1时，点P 到平面BDD1B1的距离的最大值为 2
1 4
C． 当 = =1， = 时，四棱锥P BB1D1D的体积为
2 3
2
D．当 = 0， =1时，直线PB与平面 ABCD所成角的正切值的最大值为
4
非选择题部分
三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13. 高二某位同学参加物理、政治科目的学考，已知这位同学在物理、政治科目考试中得 A的概
5 1
率分别为 , ，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得 1 个 A 的概率
6 3
为 ．
14. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点D (1,2,0)，向量m = (1,1, 7 ) , m ⊥平面DEF ，则点O
到平面DEF 的距离为 ．
2 2
15. 过点(0,-2)与圆 x + y 4x+ 2 = 0相切的两条直线的夹角为 ，则sin = ．
高二数学学科 试题 第3页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
x2 y2
16. 椭圆 + =1(a b 0)的左焦点为F ，上顶点为 A，若存在直线 l 与椭圆交于不同两点
a2 b2
B,C ， ABC的重心为F ，直线 l 的斜率取值范围是 ．
四.解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10 分)
已知 ABC的三个顶点是 A(1,2) , B ( 1,4) ,C (4,5)，求：
(1) AC 边上的中线所在直线的方程；
(2) BC边上的高所在直线的方程．
18. (12 分)
如图，在正四面体OABC中，已知 E 是线段BC 的中点，G 在 AE 上，且 AG = 3GE
(1)试用向量OA,OB,OC 表示向量OG ； C
(2)若正四面体的边长为 2，求OG AB的值． E
G
O B
A
19. (12 分)
已知点 A(1, 2) , B ( 1,4)，求:
(1)过点 A, B且周长最小的圆的标准方程；
(2)直线 x y +1= 0 被过点 A, B且圆心在直线2x y 4 = 0上的圆所截得的弦长.
高二数学学科 试题 第4页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
20．(12 分)
在平面直角坐标系 xOy中，已知点F1 ( 3,0)，F2 ( 3,0)，点 P 满足 PF1 + PF2 = 2 6
记 P 的轨迹为M .
(1)求M 的方程；
(2)直线 x + y 3 = 0交M 于 A, B两点，C, D 为M 上的两点，若四边形 ACBD的对角线
CD ⊥ AB ，求四边形 ACBD面积的最大值.
21. (12 分)
如图，三棱柱 ABC - A1B1C1，底面 ABC 是边长为 2 的正三角形， A1A = A1B ，
平面ABC ⊥平面AA1C1C．
(1)证明： A1C ⊥平面 ABC ；
AA B 6(2)若 BC 与平面 1 所成角的正弦值为 ，求平面 AA1B与平面 ACC1A1 夹角的余弦值．
4
高二数学学科 试题 第5页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
22. (12 分)
x2 y2
已知椭圆C : + =1(a b 0)的左顶点为 A( 2,0)，焦距为2 3 .动圆D 的圆心坐标是
a2 b2
(0,2) ,过点 A作圆 D 的两条切线分别交椭圆于M 和 N 两点，记直线 AM 、AN 的斜率分别为 k1
和 k2 .
(1) 求证： k1k2 =1；
(2) 若O为坐标原点，作OP ⊥ MN ，垂足为 P .是否存在定点Q，使得 PQ 为定值？
高二数学学科 试题 第6页(共 6 页)
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}2023 学年第一学期钱塘联盟期中联考
高二年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的选项中，只有一
项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D C B A B
8. 圆 O的圆心为O (0,0)，半径为 r，圆 M的圆心为M (2 3, 2)，半径为 2．
2 2
∴ OM = ( 2) +2 3 = 4，
∵圆 O与圆 M相交，
∴2 r 6．
∵对于直线 AB上任意一点 P，均有PO PM 0成立，
又OM ⊥ AB，当直线 AB过点 M时， OA = MA2 +OM 2 = 2 5．
∴2 5 r 6．
故答案为： 2 5,6 )．
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD ABD CD BCD
12.A： AP = AB + AD ，则 AD = AP AB = BP，即 AD / /BP ，故 P 在BC 上运动，
所以 P 到 A1D1的距离为 3，即棱BC 与 A1D1的距离 22 +12 = 5 ，错；
B： AP = AB + AD + AA1 ，则 AB + AA1 = AP AD = DP ，故 P 在底面DCC1D1上运动，
所以，当 P 在CC1 上时， P 的到平面BDD1B1的距离最大，
而CC / /DD ，CC 面BDD1B1，DD 面BDD B ，则CC1 1 1 1 / / 面BDD B1 1 1 1 1，
1
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
所以，由长方体结构特征，最大值问题化为C 到BD的距离 h，BD = 2 2 ，则
BC DC
h = = 2 ，对；
BD
1 1 1
C： AP = AB + AD + AA1 = AC + AA1 ，则 AA1 = AP AC = CP，故 P 为CC1 中点，
2 2 2
17
如下图，PB = PD = PD ，BD = B D = 3, DD = BB =1， 1 = PB1 = 1 1 1 1
2
所以P BB D D的底面为矩形，顶点 P 在BB1DD1 1 1的投影为底面中心，即DB1, BD1的交点
1 4
E ， VP BB1DD = 2 2 1 2 = ，对 1 3 3
D： AP = AD + AA1 ，则 AA1 = AP AD = DP ，故 P 在DD1上运动，
根据长方体的结构易知：当 P 与D1重合时，直线 PB与面 ABCD所成角正切值的最大值为
DD1 1 2= = ，对；
BD 2 2 4
故答案为：BCD
三.填空题：本大题共 4小题，每题 5分，共 20分.
8
13. 14. 1
9
3 3
15. 16. [ ,0)
2 2
x2 y2
16. 解：设椭圆 + =1的半焦距为 c，由已知F( c,0), A(0,b)，
a2 b2
设 B(x1, y1),C(x1, y1) 因为 ABC重心为F ，所以 x1 + x2 +0 = 3c, y1 + y2 +b = 3，
所以 x1 + x2 = 3c, y1 + y2 = b，
2
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
x 2 21 y1
+ =1 a2 b2
(x1 + x2 )(x1 x2 ) (y + y又 2 2 所以 + 1 2
)(y1 y2 )
x y = 0 ，
2 + 2
2 2
=1 a b
2
a b
2
b2 (x1 + x2 ) y1 y2
所以 + = 0，
a2 (y1 + y2 ) x1 x2
b2 (x
k = 1
+ x2 ) 3bc 3bc 3
所以直线 的斜率 = = ，
a2 (y + y 2 2 21 2 ) a b + c 2
当且仅当b = c时等号成立，
3bc
又 k = 0 ，
a2
3
所以直线 的斜率取值范围是[ ,0)
2
四.解答题：本题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
5 7
17. （1）线段 AC 的中点D , ，--------------------------------------------------------------2 分
2 2
7
4
2 1 1
所以 kBD = = ，所以 y 4 = (x +1) ，即 x+7y 27 = 0 .-------------------5 分 5 7
1 7
2
5 4 1
（2）因为 k lBC = = ，所以BC 边的高所在直线 1的斜率为 5 ---------------------------7 分
4+1 5
所以BC边上高所在直线为 y 2 = 5( x 1)
即5x + y 7 = 0．-----------------------------------------------------------------------------------------10 分
3
18. OG =OA+ AG ------------------------------------------------------------------------------------2分
4
3 1
=OA+ (AB + AC)
4 2
3 1 3 3
=OA+ (OB OA+OC OA) = OA+ OB + OC ---------------------------------6 分
8 4 8 8
1 3 3
(2)由(1)可得知OG AB =（ OA+ OB + OC）（ OB OA）-------------------------------7 分
4 8 8
1 1 2 1 2 1 3 3
= OA OB OA + OB OA OB + OC OB OC OA
4 4 8 8 8 8
3
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
1 2 1
= OB OA OB ------------------------------------------------------------------------------------10分
8 8
1 1 1 1
= 22 2 2 = ----------------------------------------------------------------------------12 分
8 8 2 4
19.（1）当 AB 为直径时，过 A，B的圆的半径最小，从而周长最小．----------------------1 分
1
即 AB 的中点 (0,1)为圆心，半径 r = | AB |= 10 ，-----------------------------------------------3 分
2
2
则圆的标准方程为 x2 + ( y 1) =10．-----------------------------------------------------------------4 分
1
（2）解法一： AB 的斜率为 k = 3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y 1 = x，即
3
x 3y +3 = 0，---------------------------------------------------------------------------------------------6 分
由圆心在直线2x y 4 = 0上，得两直线交点为圆心，即圆心坐标是C (3, 2)．
r = AC = (1 3)2 + ( 2 2)2 = 2 5 ．
2 2
故所求圆的标准方程是 (x 3) + ( y 2) = 20．---------------------------------------------------8 分
3 2+1
圆心C (3, 2)到直线 x y +1= 0 的距离d = = 2 ，-------------------------------10 分
2
弦长 l = 2 r 2 d 2 = 2 20 2 = 6 2 -------------------------------------------------------------12 分
解法二：待定系数法
2 2
设圆的标准方程为 (x a) + ( y b) = r 2 ，
(1 a)2 + ( 2 b)2 = r 2 , a = 3,
则 ( 1 a)
2 + (4 b)2 = r 2 , b = 2, ---------------------------------------------------------------8 分
2a b 4 = 0,
r 2 = 20,
2 2
故所求圆的标准方程为 (x 3) + ( y 2) = 20．
3 2+1
圆心C (3, 2)到直线 x y +1= 0 的距离d = = 2 ，-------------------------------10 分
2
弦长 l = 2 r 2 d 2 = 2 20 2 = 6 2 ------------------------------------------------------------12 分
20. （1）因为 MF1 + MF2 = 2 6 | F1F2 |= 2 3 ,---------------------------------------------1 分
4
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
由椭圆定义，轨迹C 是以点F1 ( 3,0)， F2 ( 3,0)为焦点，长轴长为2 6 的椭-----2 分
x2 y2
设椭圆方程为 + =1(a b 0)，
a2 b2
则 2a = 2 6 ，∴a = 6 ，----------------------------------------------------------------------------3 分
又∵c = 3 ，则b2 = a2 c2 = 3，
x2 y2
∴椭圆C 的方程为 + =1；---------------------------------------------------------------------4 分
6 3
4 3
x + y 3 = 0 x =
3 x = 0 4 6
（2）由 x2 y2 ，解得 或 ，因此 AB = .----------------------6 分
+ =1 3 y = 3 3
6 3 y = 3
设直线CD的方程为 y = x+ n ，设C (x3 , y3 )，D (x4 , y4 ) .-----------------------------------------7 分
y = x + n
由 2 2 得3x2x y + 4nx+ 2n
2 6 = 0 .
+ =1
6 3
=16n2 12(2n2 6) 0，故 3 n 3 .
5 3
又 AB,CD的交点在 A, B之间，故 n 3 .
3
因为直线CD的斜率为 1，
2 2 9 n2 4 9 n2
所以 CD = 1+12 x x = 2 = .-------------------------------------10 分 4 3
3 3
1 8 6
又四边形 ACBD的面积 S = CD AB = 9 n2 ，----------------------------------------11 分
2 9
8 6 8 6
当 n = 0时，S取得最大值，最大值为 ，所以四边形 ACBD面积的最大值为 .-12 分
3 3
21. 如图，取 AB 的中点O， AC 的中点H ，连接OC ，OA1 ，BH ，
因为 AB = BC ，H 是 AC 的中点，所以BH ⊥ AC ，
平面 ABC ⊥平面 AA1C1C ，平面 ABC 平面 AA1C1C=AC ，BH 平面 ABC ，
所以BH ⊥平面 AA1C1C ，------------------------------------------------------------------------------2 分
5
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
又 A1C 平面 AA1C1C ，所以BH ⊥ A1C ，
因 A1A = A1B ， AC = BC，O是 AB 的中点，
所以OA1 ⊥ AB，OC ⊥ AB，
又OA1 OC= O，OA ,OC 平面 A1OC1 ，
所以 AB ⊥平面 A1OC ，----------------------------------------------------------------------------------4 分
因为 A AOC A1C 平面 1 ， 1C ⊥ AB .
又BH AB = B，BH , AB 平面 ABC ，
所以 A1C ⊥平面 ABC .------------------------------------------------------------------------------------5 分
（2）以H 为坐标原点，HB， HC 分别为 x， y 轴，平行 A z1C为 轴，建系如图所示，
设 A1C = a ，则 A(0, 1,0)，B ( 3,0,0)，C (0,1,0)， A1 (0,1,a)，
BC= ( 3,1,0)， AB = ( 3,1,0)， AA1= (0, 2,a)
设平面 AA1B的法向量为m = (x1, y1, z1 )，
m AA =0 2y1 + az1 = 01
，
m AB=0 3x1 + az1 = 0
2 3
取 x1 =1可得， y1 = 3, z1 =
a
6
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
2 3
所以m = 1, 3, 为平面
AA1B的一个法向量，------------------------------------------7 分
a
设BC与平面 AA1B所成的角为 ，
3 3 6
sin = cos BC,m = =
则 12 4 ，--------------------------------------------------9 分
2 4+
a2
解得a = 3，---------------------------------------------------------------------------------------------10 分
从而m = (1, 3,2)，
取平面 ACC1A1 的法向量为n = (1,0,0)，---------------------------------------------------------11 分
1 2
所以cos n,m = = ，
1+ 3+ 4 4
2
所以平面 AA1B与平面BB1C1C 夹角的余弦值为 .---------------------------------------------12 分
4
a = 2
22. 解：(1)由题意可得： 2c = 2 3 ，解得：a2 = 4，b2 =1，故椭圆方程为：
2 2
a = b + c
2
x2
+ y2 =1.------------------------------------------------------------------------------------------------2 分
4
2k 2
设过点 A与圆D的切线的直线为 y = k(x + 2)，动圆的半径为 r ，则 = r ----3 分
k 2 +1
化简，得 (4 r2)k 2 8k + 4 r2 = 0
所以 k ,k 是方程 (4 r2)k 2 8k + 4 r21 2 = 0 的两根，由韦达定理知， k1k2 =1.-------5 分
x2
（2）设点M (x1, y1), N(x2 , y2), 将 y = k(x + 2)代入 + y
2 =1
4
2 2
消去 y 得 (1+ 4k 2)x2
16k 4 2 8k
+16k 2x+16k 2 4 = 0则 ( 2)x1 = 得 x = ， 1
4k 2 +1 4k 2 +1
4k 2 8k 2 4k
y1 = 所以2 M ( , ) 4k +1 4k 2 +1 4k 2 +1
7
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
1 2k 2 8 4k
因为 k1k2 =1，所以将 k 换成 得 N ( , ) ------------------------------------------8 分
k k 2 + 4 k 2 + 4
4k 4k
4k 2 +1 k 2 + 4 3k
则直线MN 的斜率 k = =
2 8k 2 2
2k 8 4(k 2 +1)
4k 2 +1 k 2 + 4
4k 3k 2 8k 2
所以直线MN 的方程为 y = (x )
4k 2 +1 4(k 2 +1) 4k 2 +1
由椭圆的对称性可知，直线MN 必过轴上一定点 (x0 ,0)
4k 3k 2 8k 2 2
所以0 = (x )，化简得 (40+12x0 )k + 3x0 +10 = 0
4k 2
0
+1 4(k 2 +1) 4k 2 +1
10 10
这是一个与 k 无关的方程，所以 x0 = ，即直线MN 过定点B( ,0) .------------11 分
3 3
因为OP ⊥ MN ，所以点P 的轨迹是以OE 为直径的圆上的一段弧，
5
故存在点Q( ,0) ，使得 PQ 为定值.------------------------------------------------------------12 分
3
方法二
x2
设点M (x1, y1), N (x2 , y ) .直线MN 的方程为 y = mx + n2 ，代入 + y
2 =1
4
消去 y 得 (1+ 4m2)x2 +8mnx+ 4n2 4 = 0，
8mn 4n2 4
所以 x1 + x2 = ， x x = ------------------（*）
4m2 +1 1 2 4m2 +1
y1 y (mx + n) (mx + n)
因为 k k =1，所以
2 =1 1 2 =1
1 2 ，即 ，-------------------7 分 x1 + 2 x2 + 2 (x1 + 2) (x2 + 2)
(m2化简得 1)x1x2 + (mn 2)(x1 + x ) + n
2
2 4 = 0 ，将（*）代入并化简得
10
20m2 16mn+3n2 = 0，解得n = 2m或n = m .-------------------------------------------9 分
3
当 n = 2m时，直线MN 方程为 y = mx+ 2m ，过点 A，不合题意，舍
10 10 10
当 n = m 时，直线MN 方程为 y = mx + n ，过定点 B( ,0) ---------------------11 分
3 3 3
因为OP ⊥ MN ，所以点P 的轨迹是以OB 为直径的圆上的一段弧，
5
故存在点Q( ,0) ，使得 PQ 为定值.------------------------------------------------------------12 分
3
8
{#{QQABCYQUogCoABBAAAhCAw0ACkAQkAECACoGxEAAMAIBwRNABAA=}#}
