高三数学（A）答案
1．B 2．A 3．4．A 5．D 6．C 7．D 8．C
9．ABC 10．ABC 11．ACD 12．ABD
13．0 14． 3 15．9 6 2. 16 2 7 4．
3
17．（1）最小正周期为π，最小值为 2 . （2）2或 6．
a b 2n 1 T 6 2n 318．（1） n ＝2n﹣1， n （2） n 2n 1
19．(1)证明见解析；
(2) 3 .
4
【分析】（1）取 AB的中点 E，连结DE,BD， SAD和 SBD中利用勾股定理证明 SD SA
和 SD SB，再由线面垂直的判定证结论；
（2）点S到平面 ABCD的距离就是点S到平面 ABD的距离，根据（1）的结论，利用等体积
转化求点S到平面 ABD的距离，即VS ABD VD SAB求解，进而求棱锥体积.
【详解】（1）如下图，取 AB的中点 E，连接DE、 BD，则四边形 BCDE为矩形，
DE CB 2，
AD DE2 AE2 5 ,
侧面 SAB为等边三角形且 AB 2 ,
SA SB AB 2 ,且 SE 3 ,又 SD 1 ,
SA2 SD2 AD2 , SB2 SD2 BD2 ,
SD SA,SD SB , SAI SB S， SA,SB 面 SAB，
SD 平面 SAB .
1
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
（2）设四棱锥 S ABCD的高为 h，则 h也是三棱锥 S ABD的高，
由（1）知， SD 平面 SAB ,
1 1 S SAB SD
由VS ABD VD SAB，得： S ABD h S SAB SD，则 h ，3 3 S ABD
1 1
又 S ABD AB DE 2 2 2 ,2 2 S
3 3
SAB AB
2 22 3 , SD 1 ,
4 4
h 3 1 3 3 ，故四棱锥 S ABCD的高为 .
2 2 2
V 1 3 1 3 3所以 S ABCD 2 .3 2 2 2 4
20 1．（1）证明见解析；（2） 2 ．
【分析】（1）连接 AC交BD于O，由题得 AC BD，再证明 BD//EF，EF AC即得证；
（2）以O为坐标原点，OA，OB，OS所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴，
建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）连接 AC交BD于O，
因为四边形 ABCD为平行四边形，且 AD CD，
所以四边形 ABCD为菱形，所以 AC BD，
因为 BD//平面 AEQF ，
平面 AEQF 平面 SBD EF， BD 平面 SBD，
所以 BD//EF，
所以 EF AC．
（2）因为四边形 ABCD为菱形，所以O为 AC、 BD的中点，
因为 SD SB， SA SC 2 3，
所以 SO AC， SO BD，
2
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
所以 SO 平面 ABCD，所以 SAO 60 ，
所以 SO 3， AO 3，
因为 AB 2，所以OB 1，
如图，以O为坐标原点，OA，OB，OS所在的直线分别为 x轴， y轴， z轴，
建立空间直角坐标系，
则O 0,0,0 ， A 3,0,0 ，B 0,1,0 ，C 3,0,0 ，D 0, 1,0 ， S 0,0,3 ，
3 3
则 AQ ,0,
3
，
2 2
因为 AC BD， SO AC，
所以平面 SBD的法向量为OA 3,0,0 ，
设平面 AEQF 的法向量m x, y, z ，
y 0 m OB 0
因为 BD//EF
，则 ，即 3 3 ，
m AQ 0 x
3
z 0
2 2
令 z 3，则 x 1，所以m 1,0, 3 ，
则 cos OA
OA m 3 1
m
OA m 3 1 3 2
因为平面 SBD与平面 AEQF 所成的二面角为锐二面角，
1
所以平面 SBD与平面 AEQF 所成的二面角的余弦值为 2 ．
3
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
21．(1)m 1；
(2)18 .
22．(1)[1, )
(2) 0,4ln3
16
5
【分析】（1）先写出函数的定义域，对函数求导，f (x)是定义域上的增函数，转化为 f (x) 0，
a 2x即 2 恒成立，从而求出 a的取值范围；x 1
3
（2）将 f (x1) f (x2)表示为关于x 的函数，设方程 f (x) 0，由 0且 a 1 ，得 a的取值5
范围，利用根与系数的关系将 f (x1) f (x2)表示为关于x1的函数，换元，利用导数研究函数
可得结果．
2
【详解】（1）解： f (x)的定义域为 (0, ), f ( x) a a 2 ax 2x a 2 ，x x x2
∵ f (x)在定义域内单调递增，
∴ f (x) 0，即 ax2 2x a 0对 x 0恒成立，
2x
则 a
x2
恒成立，
1
a 2x ∴
x2
，
1 max
2x 2 2
∵ x2
1
1 x 1 1 ，∴ a 1，
x 2 x x
所以 a的取值范围是[1, )；
（2）解：设方程 f (x) 0，即 ax2 2x a 0的两根为 x1, x2，且0 x1 x2，
3 3
由 4 4a2 0且 a ，得 a 1，5 5
2
则 x1x2 1,x1 x2 ，a
∴ 2 x
1 2 10
1
1
，∴ x1 1x ，1 a 3 3
S f a a x1 f x2 ax1 2 ln xx 1 ax2 2 ln x2 1 x2
a a
ax1 2ln x
a
1 ax1 2ln x1 2 ax1 2ln xx x x 1
，
1 1 1
2
∵ ax1 2x1 a 0，
4
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
a 2x x
2
1 1 1 x
2
S 4 ln x 1 1
∴ 2 代入得 2 1 4
1 ln x 2
x 1 2 1 ，1 x1 1 x1 1 2
2 1
令 x1 t，则 t 1，9
g(t) t 1 1令 ln t,
1
t 1，则 S 4g (t)，
t 1 2 9
g (t) (t 1)
2
2 0，2t(t 1)
∴ g (t)
1
在 ,1
上递减，
9
∴ g(1) g(t) g
1
9
，
4
即0 g(t) ln 3 ，
5
16
∴S 的取值范围为 0,4ln3 .
5
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点由根据函数的定义域上的
增函数求参数的取值范围，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的值域，属于难题
5
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}景胜学校2024 届高三期中模拟（11 月）
数学(A)试题
一、单选题（每题 5 分，共计 40 分）
1
1 2．若集合M x | y ， N y | y x ，则（ ）
2x-1
A．M N B．M N C． N M D．M＝N
a a
2 2．已知数列 a 为等比数列，且a a a a 64，则 tan 4 6 n 2 3 4 7 3
A． 3 B 3． 3 C． 3 D．
3
3．已知 a log3 2，b 1.22.3， c log0.5 4.2，则 a，b，c的大小关系是（ ）
A． a b c B． c a b C．b c a D．b a c
4．在 ABC中，角 A,B,C
4
的对边分别为 a，b，c，若 cos A , cosC
7
,a 1，则b （ ）
5 25
39 36 6
A． B． C． D．2
25 25 5
uuur
5．在 ABC中，点D为 AC边上靠近点C的三等分点，点 E为 AB边的中点，则DE （ ）
1 1 1 1 1 1 1
A． BD CE
1
B． BD CE C． BD CE D． BD CE
4 2 2 4 2 4 4 2
6．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1中， E、 F 分别是 AB、 BC的中点，过点D1、
E、F 的截面将正方体分割成两个部分，记这两个部分的体积分别为V1,V2 V1 V2
则V1 :V2 （ ）
2 3 25 27
A． 3 B． C． D．5 47 46
lnx ,0 x e 4
7 f x f (a) f (b) f (c) a b c 16a e b．已知 ，若 且 ，则 的取值范围是（ ）
4 lnx, x e c
A． (0,17) B． 12,16e
1 e2
C 16e 1 e2． ,17 D．[12,17)
8．如图，四边形ABCD为正方形，ED 平面ABCD，FB ED，AB ED 2FB 2
则三棱锥 F ACE的体积为（ ）
1
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
2 4
A． 3 B． C．2 D．3 3
二、多选题（每题 5 分，共计 20 分）
9．在下列函数中，最小正周期为 的所有函数为（ ）
A． y sin 2x B． y cos x
C． y cos 2x
D． y tan
2x
6 4
10．如图所示的函数图象，对应的函数解析式不可能是（ ）
x
A． y 2x x2 1 B． y 2xsin x C． y D． y (x 2 2x)e x
ln x
11 2 2 ．在数列{an}中，若an an 1 p(n 2,n N , p为常数），则{an}称为“等方差数列”，下列对“等方差数
列”的判断，其中正确的为（ ）
A．若{an}是等方差数列，则{an2}是等差数列
B．若{an}是等方差数列，则{an2}是等方差数列
C．{（﹣1）n}是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，则{akn}（k∈N*，k为常数）也是等方差数列
12．定义在R 上的函数 f x g x ，其导函数分别为 f x g x ，若 f x =f x ，
g 1 1, f x g x 1 π x2 1, f x g x 1 x sin x，则（ ）
2
A． f x 是奇函数 B． g x 关于 1,1 对称
C． g x 周期为 4 D． g 1 g 3 g 5 g 99 1225
三、填空题（每题 5 分，共计 20 分）
x
13． f (x) e 1 x ln
e x( 2 x 2) ，其最大值和最小值的和为 ．
e 1 e x
14．已知平面向量 a 1,m ，b 2,3 m ，若 a∥b，则m .
1 1
15． x 0， y 0， 2x
1
y ，则 x y 的最小值是 .3
16．如图，在边长为 2的正方形 ABCD中，M ，N分别是边 BC，CD上的两
uuur uuur uuur 1 1
个动点，且 MN 2， P为MN的中点， AP AB AD，则 的最大值
是 ．
2
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
四、解答题（共计 70 分）
17．（10分）已知 f x a b 1 ，其中向量 a (sin 2x, 2cos x),b ( 3,cos x)(x R) ,
（1）求 f x 的最小正周期和最小值；
A
（2）在△ ABC中，角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 f 3，a 2 13，b 8，求边长 c的
4
值.
18．（12分）设等差数列 an 的公差为 d，d为整数，前 n项和为 Sn，等比数列 bn 的公比为 q，已知 a1 b1，
b2 2， d q， S10 100， n N*
（1）求数列 an 与 bn 的通项公式；
c an（2）设 n b ，求数列 cn 的前 n项和为Tn .n
19．（12分）如图，在四棱锥 S ABCD中，AB / /CD,BC CD ,
侧面 SAB为等边三角形 AB BC 2,CD SD 1 .
(1)证明: SD⊥平面 SAB ;
(2)求四棱锥 S ABCD体积.
20．（12分）已知四棱锥 S ABCD，SD SB，在平行四边形 ABCD中 AD CD，
Q为 SC 上的点，过 AQ的平面分别交 SB，SD于点 E，F ，且BD//平面 AEQF ．
（1）证明： EF AC；
（2）若 SA SC 25， AB 2，Q为 SC 的中点，SA与平面 ABCD所成角的
3
正弦值为 ，求平面 SBD与平面 AEQF 所成锐二面角的余弦值．
2
3
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
21．（12分）已知函数 f x m 2 x .e 1
(1)若函数 f x 为奇函数，求实数 m的值.
(2)当m 1时，求 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 的值.
a
22．（12分）已知函数 f (x) ax 2ln x(a R) .
x
(1)若 f (x)是定义域上的增函数，求 a的取值范围；
3
(2)设 a ,x1,x2分别为 f (x)的极大值点和极小值点，若 S f x1 f x2 ，求 S的取值范围.5
4
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
5
{#{QQABDYAUggAgAgBAAQhCEwHCCkMQkAECAAoOgEAIsAABgQNABAA=}#}
