宜宾市翠屏区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题参考答案
1．D 2．C 3．A 4．A 5．A 6．D 7．C 8．B
9．ABD 10．BD 11．BCD 12．ABD
13．. 14．0.58 15．且且 16．
17．（1）解：由的三个顶点为，且为的中点，
可得，即，则，
所以直线的方程为，即.
（2）解：由（1）知，直线的方程为，
因为，可设直线的方程为，
直线经过点，可得，解得，
所以直线的方程为，
18．解：（1）设圆的方程为，
则，解得，，，
所以圆的方程为，
故圆的标准方程为.
（2）当切线斜率不存在时，切线方程为.
当切线斜率存在时，设切线方程为，即.
由，解得
所以切线方程为，即.
综上所述，所求切线方程为或.
19．解：（1）设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件，
.
（2）设事A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝““九章队”猜对三个数学名词”，
所以，
则，
由事件的独立性与互斥性，得
，
故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为．
20．解：（1）证明：为正三角形，为中点，
为矩形，，，
．
根据勾股定理的逆定理得：，
因，
面，
平面，
．
（2）取中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量，则
取，得
易知平面的法向量，
故平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
21．解：（1）设这人的平均年龄为，则
（岁）
设上四分位数（第75百分位数）为，
，，
位于第四组：内；
方法一：由，解得.
方法二：由，解得.
（2）（i）由题意得，第四组应抽取4人，记为，，，甲，第五组抽取2人，记为，乙，对应的样本空间为：
，
共15个样本点.
设事件“甲 乙两人至少一人被选上”，则
，
共有9个样本点.所以，.
（ii）设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
设第四组的宣传使者的年龄分别为，平均数为，方差为，
设第五组的宣传使者的年龄分别为，，平均数为，方差为，
则，，，
，
可得，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为．
则，
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，
法一：
.
法二：
.
即第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为；
据此估计这人中年龄在岁的所有人的年龄的平均数为，方差约为．
22．解：（1）设圆的圆心为，
由题意可得，，解得．
圆的方程为；
（2）设点，，，，则．
，
为定值，是的倍数关系，且对任意的，成立，
，解得或(舍去)，，
此时为定值，
∴，
当且仅当、、三点共线时，的
最小值为．宜宾市翠屏区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．经过点（4，-3），斜率为-2的直线方程是
A．2x+y+2=0 B．2x-y-5=0
C．2x+y+5=0 D．2x+y-5=0
2．已知圆的方程是，其圆心和半径分别是
A．，2 B．，4 C．，2 D．，4
3．对高一（6）班的第一学月数学成绩进行抽样调查得到样本数据：10，21，23，24，27，37，41，47，52，57，据此估计该班数学成绩的第75百分位数为
A．47 B．42 C．24 D．35.5
4．若直线是圆的一条对称轴，则
A．0 B．1 C．2 D．4
5．某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试，先将700个零件进行编号，001，002，……，699，700.从中抽取70个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是
A．623 B．328 C．253 D．530
6．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，则EF与CG所成角的余弦值是
A． B．
C． D．
7．同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是
A．与对立 B． C．与相互独立 D．与相互独立
8．人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于
（参考数据：，．）
A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．甲袋中有2个黑球，2个白球，乙袋中有2个黑球，1个白球，这些小球除颜色外完全相同.从甲、乙两袋中各任取1个球，则下列结论正确的是
A．2个球都是黑球的概率为 B．2个球都是白球的概率为
C．1个黑球1个白球的概率为 D．2个球中最多有1个黑球的概率为
10．已知直线：，则
A．直线的倾斜角为 B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为
11．已知方程，则下列说法正确的是
A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆
C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示的圆与轴相切
12．如图，正方体的棱长为1，是的中点，则
直线平面
B．
C．三棱锥的体积为
D．异面直线与所成的角为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线与直线垂直，则等于 .
14．为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为
15．若三条直线围成三角形，则k的取值范围是 .
16．方程只有一个解，则实数k的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知的三个顶点为，为的中点，所在的直线为，
(1)求的一般式方程；
(2)若直线经过点，且，求在轴上的截距.
18．（12分）在平面直角坐标系中，，，，圆为的外接圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求切线方程.
19．（12分）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．
(1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率；
(2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率．
20．（12分）如图，四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的锐二面角的余弦值.
21．（12分）2023年9月，第19届亚洲运动会将在中国杭州市举行，某调研机构为了了解人们对“亚运会”相关知识的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“亚运会”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.
(1)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和上四分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的“亚运会”宣传使者：
（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定入选，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲 乙两人至少有一人被选上的概率；
（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
22．（12分）已知点和，圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)点是圆上任意一点，在轴上求出一点（异于点使得点到点与的距离之比为定值，并求的最小值．
