2023—2024 学年度上期高 2024 届期中考试
数学试卷(文科）
考试时间：120 分钟 满分：150 分
注意事项：
1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.本试卷分选择题和非选择题两部分.
3.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,
再选涂其它答案标号.
4.答非选择题时,必须使用 0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上.
5.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.
6.考试结束后,只将答题卡交回
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:（本题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合 A ={x | x2 2x 0}， B ={x | 2x 1}，则 ( )
A． B A B． A B C． A B = R D． A B =
2. 若 z(1+ i) = 2i，则复数 z 的共轭复数 z = ( )
A.1+ i B.1 i C. 1+ i D. 1 i
3.已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边在直线 y = 2x 上，则cos 2 =( )
4 3 3 4
A． B． C． D．
5 5 5 5
4.已知数列 a 是等差数列，a6 =5，a3 + a8 =15 an ，则 9 的值为 ( )
A．15 B． 15 C．10 D． 10
5．已知空间两不同直线m 、 n，两不同平面 、 ，下列命题正确的是 ( )
A．若m / / 且 n // ，则m / /n B．若m⊥ 且m ⊥ n ，则n / /
C．若m ⊥ 且m / / ，则 ⊥ D．若m 不垂直于 ，且n ，则m 不垂直于 n
6.将函数 f (x) = cos2x 的图象向左平移 个单位得到函数 g(x) 的图象，则关于函数 y = g(x) 以下说法
2
正确的是( )
3
A．最大值为 1,图象关于直线 x = 对称 B. 周期为 ,图象关于点( ，0)对称
2 8
3
C.在( , )上单调递增，为偶函数 D.在(0， )上单调递减，为奇函数
8 8 4
0
7.如图，在 ABC 中， BAC =120 , AB = 2, AC =1， D 是 BC 边一点， DC = 2BD ，则 AD BC 等
于( )
8 8 2 2
A． B． C． D．
3 3 3 3
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三、解答题:（本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）
17.（本小题满分 12 分）
在 ABC 中 ， 内 角 A、B、C 所 对 的 边 分 别 为 a、b、c ， 其 外 接 圆 半 径 为 1 ，
b
= 4,sin A+ sin C =1.
1 cos B
（1）求cos B ；
（2）求 ABC 的面积．
18.（本小题满分 12 分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3 ）和使用了节水龙头50天的日用水量数
据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用
0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6) 0.6,0.7)
水量
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 0,0.1) 0.1,0.2) 0.2,0.3) 0.3,0.4) 0.4,0.5) 0.5,0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
（1）在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3 的概率；
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数
据所在区间中点的值作代表．）
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19.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD是边长为4 的菱形， APB = ， ABC = ，PB = 2 3 ，
2 3
PC = 4 ，点M 、 N 分别是 AB 、CD的中点.
(1)求证：CM ⊥平面PAB；
(2)求四面体PMND的体积.
20.（本小题满分 12 分）
已知抛物线 ：y2 = 4x的焦点为F ，过抛物线上除原点外任一点P 作抛物线准线的垂线，垂足为M ，直
线 l 是 MPF 的角平分线.
（1）求直线 l 与抛物线 交点的个数；
（2）直线 l 与抛物线的准线相交于点 N ，过 N 作抛物线的切线，切点为Q（不与P 点重合），求△ NPQ
面积的最小值.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) = x2 2x a ln x ， g (x) = ax ．
（1）若 a 0，求函数F(x) = f (x)+ g(x) 的极值；
sin x
（2）若不等式 g(x) 对 x [0,2 ] 恒成立，求a的取值范围．
2+ cos x
请考生在第 22，23 题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，用 2B 铅
笔在答题卡上把所选题目所对应的标号涂黑.
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
x =1+ 2t
已知曲线C1 : （ t 为参数），以直角坐标系的原点O 为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标
y = 2+ t
系，曲线C2 的极坐标方程为 = 6sin ．
（1）求曲线C1的普通方程和C2 的直角坐标方程；
（2）若曲线C 与C2 交于两点 A, B，点 P 是曲线C2 上异于点 A, B1 的任意一点，求△PAB的面积 S 的最
大值．
23. [选修 4－5：坐标系与参数方程]（本小题满分 10分）
已知函数 f (x) = x 1 .
（1）解不等式 f (x)+ f (x+4) 8;
b
（2）若 a 1, b 1,且 a 0，求证： f (ab) a f ( ) . a
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数学参考答案（文科）
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 B B B D C A A D B C A A
二、填空题
13. 135° 914. 15. 2191 16.
5 ②③
三．解答题：
b 2sin B
17 2 2(Ⅰ) 4，根据正弦定理得 4,即 sin B 2 1 cosB ，代入 sin B cos B 1，
1 cosB 1 cosB
即 4 1 cosB 2 1 cos2 B 1 cosB 1 cosB ,由于1 cosB 0，即 4 1 cosB 1 cosB，
3
解得 cosB .…………5分
5
a c
(Ⅱ)根据正弦定理得 sin A sinC 1，即 a c 2 8，由(Ⅰ)知b .由余弦定理得
2 2 5
b2 a2 c2 2ac cosB a c 2 16 16 9 ac 4 ac，解得 ac .…………10 分
5 5 20
3
又因为 cosB ，所以
5
sin B 4 S 1 . ABC ac sin B
9
.…………12 分
5 2 50
18． （1）频率分布直方图如下图所示： …4分
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于
0.35m3的频率为0.2 0.1 1 0.1 2.6 0.1 2 0.05 0.48；
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估
计值为 0.48；…7分
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
x 11 0.05 1 0.15 3 0.25 2 0.35 4 0.45 9 0.55 26 0.65 5 0.48…9 分50
该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为
x 12 0.05 1 0.15 5 0.25 13 0.35 10 0.45 16 0.55 5 0.35．…11 分50
3
估计使用节水龙头后，一年可节省水 0.48 0.35 365 47.45 m ． …12 分
19．解：(1)证明：连接PM，在 Rt PAB中， PB 2 3， PC 4，
所以 PA 2 .因为点M 是 AB的中点，所以BM PM 2 . ……1分
在 BMC中， MBC ， BM 2， BC 4，由余弦定理，有
3 CM 2 3
，
所以 BM 2 CM 2 BC 2，所以 AB CM . ……3分
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2
21. 2解：（1）F x x 2x 2x a 2 x a 2x a x 1 a ln x ax F x ， ，·······1分
x x
∵ F x 的定义域为 0, ．
a a a 0,则 0 F (x) 0,有x (舍去)，x 1, ···················································2分
2 2
F x 在 0,1 上递减， F x 在 1, 上递增，
F x a 1， F x 无极大值．······································································4分
极小
h x ax sin x h x a 1 2cos x（2）设 x [0,2 ]， 2 ，·······················5分2 cos x 2 cos x
t 1,1 1 2t 2 t 2 t 1 2 t 1t cosx t t 设 ，则 ， 2 ， 4 3 ≥0 ，········7分 2 t 2 t 2 t
1
∴ t 在 1,1 上递增，∴ t 的值域为 1, ，·······8分 3
1
①当 a≥ 时， h x ≥0， h x 为 0, 上的增函数，∴h x ≥h 0 0，适合条件．·······9分
3
②当 a 0 h a 1≤ 时，∵ 0 ，∴不适合条件．·······10分
2 2 2
1 sinx
③当0 a 时，对于 0 x ， h x ax ，
3 2 3
令T x ax sinx cosx ，T x a ，存在 x 0, ，使得 x 0, x0 时，T x 0，3 3 2
∴T x 在 0, x0 上单调递减，∴T x0 T 0 0，即在 x 0, x0 时， h x 0，∴不适合条件．
a 1 , 综上， 的取值范围为 3
．·······12分
1
22．解：（1）消去参数 t，得曲线C1的直角坐标方程为 y 2 x 1 ,即 x 2y 3 0.2
x cos
把 代入 2 6 sin ，曲线C 22的直角坐标方程为 x y2 6y 0 .…5分
y sin
| 0 2 3 3 | 3
（2）圆心到直线 AB 的距离为 d
1+ 2 2 5
3
圆上动点 P 到弦 AB 的距离的最大值为 d+r 3
5
2
3 12
解法 1：弦长 AB 2 r 2 d 2 2 32 5
5
∴ PAB 1 1 12 3 18的面积S的最大值为 AB d= +3
2 2 5 5
1+ 5 . ………10 分
5
解法 2：设圆C2上动点P(3cos ,3 3sin ) ,P 到直线C1的距离
3cos 2(3 3sin )+3 6sin 3cos 3 3 5 sin( ) 3
d 3 3
5 5 5 5
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x
2
1 t
C 5
2 2
化 的参数方程为 代入 x y 6y 0 2
2
1 得， t t 7 0
y 2 1 t 5
5
2
t 2 2 12则 1 t2 ,t1t2 7 则 AB t1 t2 t1 t2
2 4t1t2 4 ( 7) 5 5 5
∴ PAB 1 1 12 3 18的面积S的最大值为 AB d= +3 1+ 52 2 5 .5 5
2x 2, x 3
23.解：（1） f (x) f (x 4) | x 1| | x 3 |
4, 3 x 1 --------3 分
2x 2, x 1
当 x 3时， 2x 2 8，解得 x 5； 当 x 1时， 2x 2 8，解得 x 3
综上，原不等式的解集为 ( , 5] [3, ) ------------------5 分
（2）因为 |a | 1,|b | 1，所以 f (ab) |ab 1| 1 ab, |a | f (
b) |a || b 1| |b a |
a a
令m f (ab) |a | f (
b) 1 ab |b a |， -------------7 分
a
若b a，则m 1 ab |b a | (1 a)(1 b)，
因为 |a | 1,|b | 1
b
，所以m 0，所以 f (ab) |a | f ( )； -------------9 分
a
若b a，则m 1 ab |b a | (1 a)(1 b)，
因为 |a | 1,|b | 1
b b
，所以m 0，所以 f (ab) |a | f ( )综上所述， f (ab) |a | f ( ) ------------10 分
a a
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