2008高考数学考前最终预测六_函数的性质与简单应用

函数的性质与简单应用
一、考纲要求
A. 指数与对数，反函数；
B. 函数的有关概念，函数关系的建立，指数与对数函数图像与性质；
C. 函数的基本性质，函数的综合运用。
二．考点解读
高考对数学基础知识的考查，重点突出，对于支撑学科知识体系的重点内容要求占较大比例，不刻意追求覆盖面，会继续突出对主干知识的考查力度。函数是整个高中数学的核心内容，所有知识均可以与函数建立联系，都可围绕这一主线展开。
函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，同时掌握运用导数方法研究函数单调性的方法步骤，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要善于挖掘抽象函数定义内涵，研究抽象函数的一些性质。会利用单调性、奇偶性解抽象函数值域问题，解抽象不等式等。
函数图像是函数形的体现，着力考查学生作图、识图、用图能力。作图是会应用基本函数图形或图形变换的方法，画出给定的图像；识图是要能从图像中分析函数性质或生成另外的图像；用图是会用数形结合思想，善于将代数问题图像化或图像问题代数化。具体体现在给出函数解析式或函数满足的条件确定函数图像，或给出函数图像求解析式，或给出函数图像确定解析式中参数的值或取值范围或考查函数的初等变换。应学会结合图像记忆性质，反过来利用性质确定图像。
高考中函数应用题是应用题考查的重点，试题背景公平，设问新颖灵活而解题涉及的知识思想、方法都是高中数学所要求掌握的内容。函数问题通常有三种来源：一是通过改编的与实际生活相关的应用题，二是与其他学科有关联的应用题，三是从社会热点出发，有实际生活背景，题意新颖的数学问题。解决应用题，抓好“审题——建模——解模——评价”关。建立函数关系式是数学应用问题的关键，常见模型有：正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，指数函数，三次函数及几个函数模型的组合等。
要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法和解析几何方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。
运用函数观念找出解决函数与方程、函数与数列、函数与不等式、函数与线性规划、函数与解析几何、函数与导数的内在联系，把握反函数关系，函数恒等式，函数图像对称性与周期性的实质，不断提高理性思维的层次，学会用“观察、猜测、抽象、概括、证明”发现问题，解决问题。对函数中产生的知识背景心中有数，死盯解题目标，搭建条件向目标转化的平台。
要重视并加强一些小结论形成过程的理解。
例如：设函数的定义域为，则有
①如恒成立函数图像关于对称；
②如经过变换得到两函数和，则所得两个函数图像关于对称；
③如恒成立函数是以为周期的周期函数；
④如恒成立函数图像关于点对称；
⑤如函数的图像关于对称，又关于对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；
⑥如函数的图像关于对称，又关于点对称，则函数一定是以为一个周期的周期函数；
再如：抽象函数是有特殊、具体的函数抽象而得到。头脑中要有满足抽象条件的具体函数的模型。如，，
再如：指数函数图像大致形状，单调区间，值域应快速求出，等等。
三．考题预测
预测题1、单位圆中弧长为，表示弧与弦
所围成弓形面积的2倍。则函数的图像是（ ）
参考答案：解析一：定量分析。可列出，知时，，图像在下方；时，，图像在上方。选D
解二：定性分析。当从增至时，变化经历了从慢到快，从快到慢的过程，选D
解三：观察满足：，故图像以为对称中心。选D
命题意图与思路点拨：此题考查学生作图、识图、用图的能力。解析二与解析三直接避开求解析式，把图像与性质对应，通过性质，作出判断，本题对学生分析思考能力，要求较高。
预测题2、设定义域为函数满足且当时，单调递增，如果且，则的值（ ）
A、恒小于0 B、恒大于0 C、可能为0 D、可正可负
参考答案：解答：函数满足，关于点对称，
由且，不妨设
，当时，单调递增
，故选A
命题意图与思路点拨：此题考查应用函数性质进行运算变换问题的能力。
预测题3、（06上海卷）三个同学对问题“关于的不等式在上恒成立，求实数的范围”提出各自的解题思路：
甲说：只需不等式左边最小值不小于右边最大值。
乙说：把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数最值。
丙说：把不等式两边看成关于的函数，作出函数的图像。
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的范围是
参考答案：解析一：两边同除以，则
当且仅当，两等式同时成立， 所以时，右边取最小值10，
解析二：根据填空题特点，可用数值代入，推算值
设，将上函数值列表如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
30 20.5 17.53 14.25 10 16.17 24.57 35.13 47.78 62.5 79.27
可推算时，取最小值10，
解析三：
当，
故 时，取最小值10，。（此法需用结论）
命题意图与思路点拨：本题作为填空有效考查了学生探究能力与运算变换能力，以学生交流给出的语言作为解题参考，削减难度，探讨不等式恒成立的可能途径，充分考查学生利用函数思想处理恒成立不等式问题能力，题型别致。要重视变量分离方法在解题中的作用。
预测题4：已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。
参考答案：图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。
命题意图与思路点拨：函数图像对称性是函数奇偶性图像特征的进一步拓展，要学会从函数变换角度去理解图像对称性，以及用函数代换特征去处理函数对称性。
预测题5、设是定义在上偶函数，与图像关于直线对称，当时，（为常数）
（1）求表达式；
（2）当，求在上取最大值时，对应的值；
（3）当时，是否存在，使图像最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。
参考答案：略解：（1）
（2）当时，取最大值。
（3）当时，取最大值存在，使图像最高点在直线上。
命题意图与思路点拨：以多项式函数为载体研究函数的图象与性质，有利于考查学生对函数概念本质的理解与掌握，也是在知识交汇点上考查学生的能力。解决此类问题必须抓住概念进行思考，同时注重知识的综合应用。
预测题6．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log3且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．
(1)求证f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
参考答案：(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　　　　　　　 ①
令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．
令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有
0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．
f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)， k·3＜-3+9+2，
3-(1+k)·3+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3＞0，问题等价于t-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．
R恒成立．
命题意图与思路点拨：：问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x∈R上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2对于任意t＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．本题还有更简捷的解法：
分离系数由k·3＜-3+9+2得
上述解法是将k分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．
专题六函数的性质与简单应用训练反馈
1．对函数作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是 ( ) A． B．
C．g(t)=(t－1)2 D．g(t)=cost
2．方程f(x,y)=0的曲线如图所示，那么方程f(2－x,y)=0的曲线是 ( )
3．已知函数满足：，，则
。
4．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数序号是 　　
5、如图，四边形ABCD是一块边长为4的正方形地域，地域内
有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点，且开口
向右的抛物线（河流宽度不计）。某公司准备建一大型游乐园
PQCN，问如何施工，才能使游乐园面积最大？并求出最大的面积。
6、已知函数
（1）当时，求函数极小值；
（2）试讨论曲线与轴公共点的个数。
专题六 函数的性质与简单应用训练反馈参考答案
1．A。2． C。
3． =2，且
==16
4．偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误．奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确．若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，故④错误，填③．
5、以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角
坐标系，抛物线MD方程为。
设P是曲线MD上任一点，则
由导数法知，当时，
6、（1）极小值为
（2）①若，则，的图像与轴只有一个交点；
②若， 极大值为，的极小值为，
的图像与轴有三个交点；
③若，的图像与轴只有一个交点；
④若，则，的图像与轴只有一个交点；
⑤若，由（1）知的极大值为，的图像与轴只有一个交点；
综上知，若的图像与轴只有一个交点；若，的图像与轴有三个交点。
D
C
B
A
A
M
B
D
P
Q
N
C
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