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(总课时21)§3.2圆的对称性
【学习目标】1.理解圆的轴对称性和中心对称性，
2.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
【学习重难点】圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理
【导学过程】
一.知识回顾
1．圆是到____的距离等于____的点的集合，____就是圆心，____就是半径.
2．与圆的相关定义.
⑴ 弧：圆上任意两点间的____叫做圆弧，简称弧.
⑵ 弦：连接圆上任意两点的____叫做弦.
⑶ 直径：经过圆心的____叫直径.
3．点与圆位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
⑴ 点在圆外，即d__r；⑵ 点在圆上，即d__r；⑶ 点在圆内，即d__r.
二.探究新知
探究点1：圆的轴对称性和中心对称性
【思考1】：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
【操作】：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠如图2：看折痕是否经过圆心？
【结论1】：通过操作得到圆是____图形，经过圆心的任一条直线都是________，圆的对称轴有____条．
【思考2】：一个圆绕着它的圆心旋转180°或者任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
【结论2】：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的________．圆是____________，对称中心是____．
探究点2：圆心角、弦心距、弧的度数的定义
如图3，在⊙O中，OA、OB是半径，AB是弦，OC⊥AB于点C,∠AOB=60°图中的圆心角是____，弦心距是____，的度数为____．
圆心角：顶点在________角叫圆心角．
弦心距：圆心到弦的____叫做弦心距．
弧的度数：一条弧所对________的度数即是弧的度数．
探究点3：圆心角、弧、弦之间的关系
【操作】：如图4在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA与O′A′重合．你能发现哪些等量关系？说说你的理由．
【等对等定理1】：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的____相等，所对的____相等．
【想一想】：如图5，在⊙O中，AB、CD是⊙O两条弦，OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F
⑴如果∠AOB=∠COD，那么AB___CD，___，OE___OF，
⑵如果AB=CD，那么∠AOB___∠COD，___，OE___OF，
⑶=，那么∠AOB___∠COD，AB___CD，OE___OF.
【等对等定理2】：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距
中有一组量___，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
练习1.下列说法中，正确的是（ ）
A.等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
三.典例与练习
例1.如图6，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AD=CE，BE与CE大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE，∴AD___BE，∵AD=CE，∴BE___CE，∴BE=CE
练习2.①等腰三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤圆.在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是______.
例2.如图7，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ）
A. 150° B. 75° C. 60° D. 15°
练习3.如图8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为______．
四.课堂小结
1.圆既是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是圆的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是圆心；圆具有旋转不变性.
2.等对等定理的先决条件是：在同圆或等圆中.
五.分层过关
1.如图9，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( )
①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列语句中，不正确的是( )
A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合, D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
3.为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20cm，则过P的最短弦长为___．
4.如图10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝___度．
5.如图11，已知在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB.
求证：
思考题：6.如图12，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
图2
图3
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图9
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图10
图11
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(总课时21)§3.2圆的对称性
一.选择题:
1.在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( B )
A. AB＞CD B. AB＝CD C. AB＜CD D. AB＝2CD
2.下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是轴对称图形．其中正确的有( B )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ C ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（A）
A．51° B．56° C．68° D．78°
5.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（D）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
二.填空题：
6.如图3，AB为半圆O的直径OC⊥AB，OC平分∠BOC，交半圆于D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是67.5°
7.如图4，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是20度．
8.如图5，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则∠AOC＝∠BOC，；(2)若，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则AC＝BC，．
9.如图6，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝40°．
10.下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；
④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( B )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三.解答题：
11.如图7，以平行四边ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD、
BC于点E、F，延长BA交⊙A于点G，求证：．
证明：连接AF，∵AB=AF，∴∠ABF=∠AFB．
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
∴∠DAF=∠AFB，∠GAE=∠ABF．∴∠GAE=∠EAF．∴=．
12.如图8，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
解：（1）△AOC是等边三角形
证明：∵，∴∠1=∠COD=60°∵OA=OC（⊙O的半径），∴△AOC是等边三角形；
∵，∴OC⊥AD又∵AB是⊙O直径
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD∴OC∥BD
四.提高题：
13.我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
解：(1)过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则∠OMB＝∠OND＝90°.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，∴AB＝CD.
(2)上述结论成立．当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，∴PB＝PD，即AB＝CD.
图1
图4
图5
图3
图2
图6
图7
图8
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(总课时21)§3.2圆的对称性
【学习目标】1.理解圆的轴对称性和中心对称性，
2.利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．
【学习重难点】圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理
【导学过程】
一.知识回顾
1．圆是到定点的距离等于定长的点的集合，定点就是圆心，定长就是半径.
2．与圆的相关定义.
⑴ 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.
⑵ 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.
⑶ 直径：经过圆心的弦叫直径.
3．点与圆位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
⑴ 点在圆外，即d>r；⑵ 点在圆上，即d=r；⑶ 点在圆内，即d二.探究新知
探究点1：圆的轴对称性和中心对称性
【思考1】：圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
【操作】：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠如图2：看折痕是否经过圆心？
【结论1】：通过操作得到圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．
【思考2】：一个圆绕着它的圆心旋转180°或者任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
【结论2】：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
探究点2：圆心角、弦心距、弧的度数的定义
如图3，在⊙O中，OA、OB是半径，AB是弦，OC⊥AB于点C,∠AOB=60°图中的圆心角是∠AOB，弦心距是OC，的度数为60°．
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距．
弧的度数：一条弧所对圆心角的度数即是弧的度数．
探究点3：圆心角、弧、弦之间的关系
【操作】：在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的
圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并
固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使
得OA与O′A′重合．你能发现哪些等量关系？说说你的理由．
【等对等定理1】：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
【想一想】：如图5，在⊙O中，AB、CD是⊙O两条弦，OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为E,F
⑴如果∠AOB=∠COD，那么AB=CD，=，OE=OF，
⑵如果AB=CD，那么∠AOB=∠COD，=，OE=OF，
⑶=，那么∠AOB=∠COD，AB=CD，OE=OF.
【等对等定理2】：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
练习1.下列说法中，正确的是（ B ）
A.等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
三.典例与练习
例1.如图6，AB、DE是⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AD=CE，BE与CE大小有什么关系？为什么？
解：BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE，∴AD=BE，∵AD=CE，∴BE=CE，∴BE=CE
练习2.①等腰三角形；②等边三角形；③平行四边形；④矩形；⑤圆.在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是④⑤.
例2.如图7，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（B ）
A. 150° B. 75° C. 60° D. 15°
练习3.如图8，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为50°．
四.课堂小结
1.圆既是轴对称图形，经过圆心的任一条直线都是圆的对称轴；圆又是中心对称图形，对称中心是圆心；圆具有旋转不变性.
2.等对等定理的先决条件是：在同圆或等圆中.
五.分层过关
1.如图9，已知A、B、C、D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有( D )
①；②；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2.下列语句中，不正确的是(C )
A.圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合, D.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
3.为⊙O内一点，且OP＝8 cm，过P的最长弦长为20 cm，则过P的最矩弦长为12cm．
4.如图10，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．
5.如图11，已知在⊙O中，M、N分别是半径OA、OB的中点，且CM⊥OA，DN⊥OB.
求证：.
证：连接OC、OD，则OC＝OD=OA=OB.
∵M、N分别是半径OA、OB的中点，∴OM＝ON.∵CM⊥OA，DN⊥OB，∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC和Rt△OND中，OM=ON，OC=OD，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．∴∠MOC＝∠NOD.∴=.
思考题：
6.如图12，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．
（1）求证：AB平分∠OAC；
（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．
（1）证明：连接OC,∵∠AOB=120°,C是弧AB的中点，
∴∠AOC=∠BOC=60,∵OA=OC,∴△ACO是等边三角形，
∴OA=AC,同理OB=BC,∴OA=AC=BC=OB,四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC
（2）连接OC,∵△OAC是等边三角形，OA=AC,∴AP=AC,∴∠APC=30,∴△OPC是直角三角形，
∴PC=OC=
图2
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(总课时21)§3.2圆的对称性
一.选择题:
1.在同圆或等圆中，如果，那么AB和CD的关系是( )
A. AB＞CD B. AB＝CD C. AB＜CD D. AB＝2CD
2.下列命题：①圆心不同，直径相等的两圆是等圆；②长度相等的两弧是等弧；③圆中最长的弦是直径；④圆的对称轴是圆的直径；⑤圆不是轴对称图形．其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.在圆中，与半径相等的弦所对的圆心角的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4.如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
5.如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，作AE∥CD，交⊙O于E，则弧AE的度数为（ ）
A. 65° B. 70° C. 75° D. 80°
二.填空题：
6.如图3，AB为半圆O的直径OC⊥AB，OC平分∠BOC，交半圆于D，AD交OC于点E，则∠AEO的度数是_____.
7.如图4，圆心角∠AOB＝20°，将旋转n°得到，则的度数是_____度．
8.如图5，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则____________________；(2)若，则____________________；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则____________________．
9.如图6，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝_____．
10.下列说法：①等弧对等弦；②等弦对等弧；③等弦所对的圆心角相等；
④相等的圆心角所对的弧相等；⑤等弧所对的圆心角相等．其中正确的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
三.解答题：
11.如图7，以平行四边ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD、
BC于点E、F，延长BA交⊙A于点G，求证：．
12.如图8，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°．
（1）△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
（2）求证：OC∥BD．
四.提高题：
13.我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
图1
图4
图5
图3
图2
图6
图7
图8
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