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(总课时22)§3.3垂径定理
一.选择题：
1.如图1，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（ ）
A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
2.如图2，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（ ）
A. 5cm B. 10cm C. 6cm D. 14cm
3.如图3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.下列说法错误的是( )
A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C. 平分弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
5.如图4，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ ）
A. 4 B. 3＋ C. 3 D.
二.填空题：
6.半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为______．
7.⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为____________．
8.如图5，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为_____.
9.如图6，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于______度．
10.如图7所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于 ．
三.解答题：
11.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
12.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.
(1)拱桥的半径为______；
(2)现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
四.提高题：
13.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_________．
图4
图3
图1
图2
图7
图6
图5
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(总课时22)§3.3垂径定理
一.选择题：
1.如图1，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（B ）
A. AE＝OE B. CE＝DE C. OE＝CE D. ∠AOC＝60°
2.如图2，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，则⊙O的直径为（ B）
A. 5cm B. 10cm C. 6cm D. 14cm
3.如图3，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（ D）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4.下列说法错误的是( C )
A. 垂直于弦的直径平分弦 B. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧
C. 平分弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
5.如图4，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ B ）
A. 4 B. 3＋ C. 3 D.
二.填空题：
6.半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为12．
7.⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为⊙O的直径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝8cm，CD＝6cm，则弦AB与CD之间的距离为7cm或1cm．
8.如图5，在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为24cm
9.如图6，已知点A（0，1），B（0，﹣1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交x轴的正半轴于点C，则∠BAC等于60度．
10.如图7所示，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于．
三.解答题：
11.如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，
∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4， ∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，
在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，
在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．
12.如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2 m，拱高CD为2.4 m.
(1)拱桥的半径为3.9m；
(2)现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并高出水面2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？
解：(2)作出拱桥下的矩形，交拱桥于M，N，交CD于E，连接ON.
∵CD＝2.4 m，DE=2m，∴CE＝CD－DE＝0.4(m)．∴OE＝OC－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)．
在Rt△OEN中，EN＝＝＝(m2)，
∵OD⊥MN，∴MN＝2EN＝2×≈3.44 m＞3m.∴此货船能顺利通过拱桥．
四.提高题：
13.如图，AB是圆O的弦，OC⊥AB，垂足为点C，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为__．
图4
图3
图1
图2
图7
图6
图5
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(总课时22)§3.3垂径定理
【学习目标】理解垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.
【学习重难点】垂径定理及其推论的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆是_______图形,任意一条______________直线都是对称轴.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量_____，那么它们所对应的其余各组量都_______．
二.探究新知
探究（一）按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
在上述的操作过程中，如图1，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
即：一条直线如果满足：①经过圆心O且与圆交于C、D两点；②CD⊥AB于M；
那么可以推出：③_____；④_______；⑤_______.
证明：连接OA,OB,则OA__OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM__BM.∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC__BC，AD__BD.
练习1.辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
探究（二）垂径定理逆定理（推论）的探索
如图2，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条直径CD平分AB，交AB于点M.
（1）图2是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：①CD是直径；②AM=BM（AB非直径），结论：③______；④______；⑤______.
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的(两条)弧．
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理.
练习2.辨析，已知直径AB平分弦CD，AB⊥CD成立吗？若不成立，请举反例.
答：________________.
三.典例与练习
例1.如图3，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600m，E为的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．
练习3.如图4，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
⊙O的半径=_____
例2.如图5，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交
AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB＝8，求CD的长．
练习4.如图6，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L
通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为
（a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，则a的值为_____.
四.课堂小结
1．利用圆的____性研究了____定理及其____定理.
2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
3.过圆内一定点作圆的最长的弦与最短的弦，构造图形运用勾股定理.
五.分层过关
1.下列说法中错误的是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．过直线上的一点有且只有一条直线垂直于
2.如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM B．AC=AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3.如图8，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（ ）
A． B． C． D．
4.如图9，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:5，则
CD的长是（ ）A． B． C． D．
5.如图10，有一圆形拱门，其拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个拱门的半径OC是____m.
6.如图11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，请问AO与BO是否相等？请说明理由？
7.如图12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长。
思考题：8.如图13，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，
CD=4，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）⊙O的半径r=______；
（2）如果AE=6，求EF的长．
图1
垂径定理：垂直于弦的是直径平分弦且平分弦所对的（两条）弧.
几何语言：∵∴
O
C
D
B
A
注意：
定理中的两个条件缺一不可——①直径（半径），②垂直于弦．
（__）
（__）
）
（__）
图2
图3
图4
图5
图6
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图10
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图8
图9
图11
图12
图13
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(总课时22)§3.3垂径定理
【学习目标】理解垂径定理及其推论,能运用垂径定理及其推论计算和证明实际问题.
【学习重难点】垂径定理及其推论的应用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆是轴对称图形,任意一条经过圆心的直线都是对称轴.
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
二.探究新知
探究（一）按下面的步骤做一做：
1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．
2．得到一条折痕CD．
3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
在上述的操作过程中，如图1，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？
即：一条直线如果满足：①经过圆心O且与圆交于C、D两点；②CD⊥AB于M；
那么可以推出：③AM=BM；④AC=BC；⑤AD=BD.
证明：连接OA,OB,则OA=OB.∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
AC和BC重合,AD和BD重合.∴AC=BC，AD=BD.
练习1.辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
探究（二）垂径定理逆定理（推论）的探索
如图2，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条直径CD平分AB，交AB于点M.
（1）图2是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
条件：①CD是直径；②AM=BM（AB非直径），结论：③CD⊥AB；④AC=BC；⑤AD=BD.
推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的(两条)弧．
让学生模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理.
练习2.辨析，已知直径AB平分弦CD，AB⊥CD成立吗？若不成立，请举反例.
答：不成立.反例如图.
三.典例与练习
例1.如图3，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是所在圆的圆心)，其中CD＝600 m，E为的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF＝90m．求这段弯路的半径．
解：连接OC，设弯路的半径为Rm，则OF＝(R－90)m，∵OE⊥CD，
∴CF＝CD＝×600＝300(m)．在Rt△OCF中，根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，
即R2＝3002＋(R－90)2.解这个方程，得R＝545.∴这段弯路的半径为545m.
练习3.如图4，已知在⊙O中，弦AB的长8cm，圆心O到AB的距离为3cm，
⊙O的半径=5cm.
例2.如图5，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交
AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB＝8，求CD的长．
解：(1)证明：连接AC，如图，∵直径AB垂直于弦CD于点E，∴＝，
∴AC＝AD.∵过圆心O的直线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的垂直平分线，
∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD，即△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°.
在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；
（2）在Rt△OCE中，AB＝8，∴OC＝OB＝AB＝4.
又∵BE＝OE，∴OE＝2，∴CE＝＝2，∴CD＝2CE＝4.
练习4.如图6，坐标平面上，A、B两点分别为圆P与x轴、y轴的交点，有一直线L
通过P点且与AB垂直，C点为L与y轴的交点．若A、B、C的坐标分别为
（a，0），（0，2），（0，﹣3），其中a＜0，则a的值为-4.
四.课堂小结
1．利用圆的对称性研究了垂径定理及其逆定理.
2．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
3.过圆内一定点作圆的最长的弦与最短的弦，构造图形运用勾股定理.
五.分层过关
1.下列说法中错误的是（B）
A．经过两点有且只有一条直线 B．平分弦的直径垂直于这条弦
C．角平分线上的点到角两边的距离相等 D．过直线上的一点有且只有一条直线垂直于
2.如图7，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（C）
A．CM=DM B．AC=弧AD C．AD=2BD D．∠BCD=∠BDC
3.如图8，⊙O的半径OA=6，以A为圆心，OA为半径的弧交⊙O于B、C点，则BC=（A）
A． B． C． D．
4.如图9，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP:AP=1:5，则
CD的长是（D）A． B． C． D．
5.如图10，有一圆形拱门，其拱高AB为1m，跨度CD为4m，则这个拱门的半径OC是2.5m.
6.如图11，已知AB交⊙O于C、D，且AC=BD，请问AO与BO是否相等？请说明理由？
解：AO=BO，作OE⊥DC于E，则∠OEA=∠OEB=90°∴CE=DE
∵AC=BD∴CE+AC=DE+BD，即AE=BE
又∵OE=OE∴△OAE≌△OBE∴OA=OB
7.如图12，已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D.
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长。
（1）证明：作OE⊥AB，则AE=BE，CE=DE，故BE﹣DE=AE﹣CE；即AC=BD；
（2）解：连接OC，OA，
∵OE⊥AB且OE⊥CD，∴OE=6，CE=DE，
∴DE=CE==，
AE==8，∴AC=AE﹣CE=8﹣．
思考题：8.如图13，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足H在半径OB上，AH=5，
CD=4，点E在弧AD上，射线AE与CD的延长线交于点F．
（1）⊙O的半径r=4.5；
（2）如果AE=6，求EF的长．
解：（2）过O作OG⊥AE于G，∴AG=AE=×6=3，
∵∠A=∠A，∠AGO=∠AHF，∴△AGO∽△AHF，∴，
∴，∴AF=，∴EF=AF﹣AE=﹣6=．
图1
垂径定理：垂直于弦的是直径平分弦且平分弦所对的（两条）弧.
几何语言：∵∴
O
C
D
B
A
注意：
定理中的两个条件缺一不可——①直径（半径），②垂直于弦．
（×）
（√）
）
（×）
图2
O
D
B
A
C
图3
图4
图5
图6
⌒
⌒
图10
图7
图8
图9
E
图11
图12
G
图13
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