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(总课时24)§3.4圆周角和圆心角的关系(2)
【学习目标】理解圆周角定理推论（2）、推论（3）.
【学习重难点】能运用推论（2）、推论（3）解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC=___°,理由是______________；（2）∠BDC=___°,理由是________________.
2.如图2，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB=____°.
二.探究新知
探究（一）圆周角定理的推论2：
1.如图3，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角∠BAC是锐角、钝角，还是直角，你能证明吗？
（1）观察、猜想∠BAC=___°，（2）用量角器实际测量∠BAC=___°，
（3）证明：∵BC为直径，∴∠BOC=___°．
∴∠BAC=_________________________________．（圆周角定理）
2.如图4，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
（1）观察、猜想：__________，
（2）证明：连接OC、OB．∵∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC=_____°．（圆周角定理）
∴B、O、C三点在____________．∴BC是⊙O的一条______．
推论2：①直径所对的圆周角是___；②90°的圆周角所对的弦是___.
几何语言：①∵BC为直径，∴∠BAC=___.②∵∠BAC=90°，∴BC为____．
练习1.如图5，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（ ）
A．15° B．30° C．60° D．75°
探究（二）圆周角定理的推论3：
3.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，
①如图6，AC是⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
证明：∵AC为直径，∴∠ABC=___,∠ADC=___．
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=______，∴∠BAD+∠BCD=______．
∴∠BAD与∠BCD______．
②如图7，AC不是⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间上述关系还成立吗？
证明：连接OB，OD，∵∠BAD=______,∠BCD=______．（圆周角定理）
∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=______∴∠BAD与∠BCD______
推论3：①定义：如图8，如果四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的
四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.
②推论：圆内接四边形的对角____.
几何语言：∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角____）
练习2.如图9，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=______．（___________________________）
∵∠BCD+∠DCE=______，∴∠A___∠DCE．
三.典例与练习
例1.如图10， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是( )
A．44° B．54° C．72° D．53°
练习3.如图11,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使BD=CD,则AB___AC.
例2.如图12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD的度数为______，∠BCD的度数为______.
练习4.如图13，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（ ） A．25° B．30° C．40° D．55°
例3.如图14，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．∠ACB=______．
四.课堂小结
1.推论2.90°圆周角所对的弦是______；直径所对的圆周角等于______.
2.推论3.圆内接四边形的对角______；圆内接四边形的一个外角等于_______________.
3.若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形.
五.分层过关
1.如图15，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
2.如图16，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是______．
3.圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B:∠C=1：2：3，则∠D=______°.
4.如图17，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是( )
A. 115° B. 105° C. 100° D. 95°
5.如图18，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ ）
A. 6 B. 5 C. 3 D.
6.如图19所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若AC＝8，AB＝10，OD⊥BC于点D，则BD的长为( )
A.1.5 B.3 C.5 D.6
7.已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明．
思考题：
8.如图20，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
∠2
图7
图8
图9
图12
图13
图11
图10
图14
图15
图18
图17
图16
图19
图20
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(总课时24)§3.4圆周角和圆心角的关系(2)
一.选择题：
1.在同圆中，同弦所对的圆周角 ( C )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
2.如图1，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ B ）
A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°
3.如图2，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ B）
A. cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm
4.如图3，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为( A )．
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.如图4，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为( D )
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图5，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=30_度．
7.如图6，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=140度．
8.如图7，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为45°．
9.如图8，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB=65°
10.如图9，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=__．
三.解答题：
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sin∠BPD＝0.6，求⊙O的直径．
(1)证明：∵∠1＝∠BCD，∠D＝∠1，∴∠D＝∠BCD.∴CB∥PD.
(2)连接AC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵CD⊥AB，∴＝.∴∠BPD＝∠CAB.
∴sin∠CAB＝sin∠BPD＝，即＝.又∵BC＝3，∴AB＝5，即⊙O的直径是5.
12.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB=90°，∵△AEF为等边三角形，
∴∠CAB=60°，∴∠B=30°，∵∠EFA=∠B+∠FDB，∴∠B=∠FDB=30°，
∴△DFB是等腰三角形；
（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF=2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM=EN=a，AM=a，
在Rt△DAM中，AD=AF=2a，AM=，∴DM=5a，∴DF=BF=6a，∴AB=AF+BF=8a，
在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=4a，∵AE=EF=AF=CE=2a，∴∠ECF=∠EFC，
∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°，∴∠CFE=30°，∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°，∴CF⊥AB．
四.提高题：
13.在⊙O中，直径AB＝6，BC弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图12.1，当PQ∥AB时，PQ=；
（2）如图12.2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
解：（2）∵
∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC．
OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．
∴PQ长的最大值为．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图8
图7
图9
图10
图11
图12.2
图12.1
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(总课时24)§3.4圆周角和圆心角的关系(2)
【学习目标】理解圆周角定理推论（2）、推论（3）.
【学习重难点】能运用推论（2）、推论（3）解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1．如图1，点A、B、C、D在⊙O上，若∠BAC=40°，则
（1）∠BOC=80°,理由是圆周角定理；（2）∠BDC=40°,理由是圆周角定理推论1.
2.如图2，在△ABC中，OA=OB=OC,则∠ACB=90°.
二.探究新知
探究（一）圆周角定理的推论2：
1.如图3，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角∠BAC是锐角、钝角，还是直角，你能证明吗？
（1）观察、猜想∠BAC=90°，（2）用量角器实际测量∠BAC=90°，
（3）证明：∵BC为直径，∴∠BOC=180°．
∴∠BAC=90°．（圆周角定理）
2.如图4，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？
（1）观察、猜想：BC是直径，
（2）证明：连接OC、OB．∵∠BAC=90°，
∴∠BOC=2∠BAC=180°．（圆周角定理）
∴B、O、C三点在同一直线上．∴BC是⊙O的一条直径．
推论2：①直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径.
几何语言：①∵BC为直径，∴∠BAC=90°.②∵∠BAC=90°，∴BC为直径．
练习1.如图5，AB是⊙O的直径，∠ACD=15°，则∠BAD的度数为（D）
A．15° B．30° C．60° D．75°
探究（二）圆周角定理的推论3：
3.已知A，B，C，D是⊙O上的四点，
①如图6，AC是⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？
证明：∵AC为直径，∴∠ABC=90°,∠ADC=90°．
∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°．
∴∠BAD与∠BCD互补．
②如图7，AC不是⊙O的直径，∠BAD与∠BCD之间上述关系还成立吗？
证明：连接OB，OD，∵∠BAD=0.5∠1,∠BCD=0.5∠2．（圆周角定理）
∵∠1+∠2=360°∴∠BAD+∠BCD=180°∴∠BAD与∠BCD互补
推论3：①定义：如图8，如果四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆.
②推论：圆内接四边形的对角互补.
几何语言：∵四边形ABCD为圆内接四边形∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）
练习2.如图9，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°．（圆内角四边形的对角互补）
∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE．
三.典例与练习
例1.如图10， ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连接AE，∠E＝36°，则∠ADC的度数是(B)
A．44° B．54° C．72° D．53°
练习3.如图11,AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦,延长BD到C,使BD=CD,则AB=AC.
例2.如图12，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BAD的度数为50°，∠BCD的度数为130°.
练习4.如图13，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相较于点E，F，若∠A=55°，∠E=30°，则∠F=（C） A．25° B．30° C．40° D．55°
例3.如图14，已知⊙O的半径为2，弦AB的长为2，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上的任一点(点C，D均不与A，B重合)．∠ACB=120°．
四.课堂小结
1.推论2.90°圆周角所对的弦是直径；直径所对的圆周角等于90°.
2.推论3.圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的一个外角等于和它相邻的内对角.
3.若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形.
五.分层过关
1.如图15，CD是⊙O的直径，已知∠1=30°，则∠2=（C）
A．30°B．45°C．60°D．70°
2.如图16，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C=∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．
3.圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B:∠C=1：2：3，则∠D=90°.
4.如图17，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A. 115° B. 105° C. 100° D. 95°
5.如图18，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、点B，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO=120°，则⊙C的半径长为（ C）
A. 6 B. 5 C. 3 D.
6.如图19所示，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．若AC＝8，AB＝10，OD⊥BC于点D，则BD的长为(B)
A.1.5 B.3 C.5 D.6
7.已知在⊙O的内接四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC.试判断四边形ABCD的形状，并加以证明．
证明：如图，∵AD∥BC，AD＝BC，∴四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D.∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B＋∠D＝180°，∴∠B＝∠D＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
思考题：
8.如图20，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC，BC的交点分别为D、E，且．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由．
（2）已知半圆的半径为5，BC=12，求sin∠ABD的值．
解：（1）连接AE，∵AB为直径，∴∠BEA=90°，即AE⊥BC；
又∵，∴∠EAB=∠EAC，即AE是∠BAC的平分线，
∴△ABC为等腰三角形．
（2）∵A，B，E，D四点共圆，∴∠CDE=∠CBA，∠C公用，∴△CDE∽△CBA，
∴∵BC=12，半径为5，由（1）得AC=BC=10，CE=6，即解得CD=7．2，
∴AD=AC-CD=2．8；∴sin∠ABD==．
图1
图2
图3
图4
图5
图6
∠2
∠2
图7
∠1
图8
图9
图13
图14
图11
图10
图12
图15
图16
图17
图18
图19
图20
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(总课时24)§3.4圆周角和圆心角的关系(2)
一.选择题：
1.在同圆中，同弦所对的圆周角 ( )
A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 互余
2.如图1，A、D是⊙O上的两个点，BC是直径．若∠D=32°，则∠OAC=（ ）
A. 64° B. 58° C. 72° D. 55°
3.如图2，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M、N，量得OM=8cm，ON=6cm，则该圆玻璃镜的半径是（ ）
A. cm B. 5cm C. 6cm D. 10cm
4.如图3，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为( )．
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.如图4，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为( )
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图5，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=____度．
7.如图6，A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠C=110°，则∠BOD=____度．
8.如图7，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AD与BC的延长线交于点E，BA与CD的延长线交于点F，∠DCE＝80°，∠F＝25°，则∠E的度数为____．
9.如图8，AB是半圆的直径，点D是的中点，∠ABC＝50°，则∠DAB=____
10.如图9，点P是四边形ABCD外接圆上任意一点，且不与四边形顶点重合，若AD是⊙O的直径，AB=BC=CD．连接PA、PB、PC，若PA=a，则点A到PB和PC的距离之和AE+AF=________．
三.解答题：
11.如图10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1＝∠BCD.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC＝3，sin∠BPD＝0.6，求⊙O的直径．
12.已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形
（1）求证：△DFB是等腰三角形；
（2）若DA=AF，求证：CF⊥AB．
四.提高题：
13.在⊙O中，直径AB＝6，BC弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．
（1）如图12.1，当PQ∥AB时，PQ=________；
（2）如图12.2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
图4
图3
图2
图1
图5
图6
图8
图7
图9
图10
图11
图12.2
图12.1
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