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(总课时25)§3.5确定圆的条件
一.选择题：
1下列条件，可以画出唯一一个圆的是( )
A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知直径 D. 已知不在同一条直线上三个点
2.在同一平面上有A、B、C三点，若经过A、B、C这三点画圆，则可画( )
在同一平面上有A、B、C三点，若经过A、B、C这三点画圆，则可画( )
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 无数个
3.等边三角形外接圆的半径等于边长的( )倍．
A. B. C. D.
4.如图1，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2
5.如图2，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC
的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（ ）
A. a：b：c B. C. cosA：cosB：cosC D. sinA：sinB：sinC
二.填空题：
6.如图3，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为_______.
7.如图4，△ABC的外心坐标是____________．
8.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是____________.
9.如图5，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝_____.
10.如图6，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为____.
三.解答题：
11.如图7，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
12.如图8，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
四.提高题：
13.如图9，抛物线L:y=ax2-2ax+a+k（a，k为常数且a>0）经过点C(-1,0)，顶点为M，经过点P(0,a+4)的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n:y=ax+a经过点C．
（1）用a表示k,k=______点M(______)；
（2）BP-AP的值是否是定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；
答：____________
（3）当直线n经过点B时，则a=____，A（_____），B（______）；
（4）当a=1时，设△ABC的外心为点N，则
①求点N的坐标；
②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB<∠ACB，直接写出b的取值范围．
图1
图2
图4
图6
图5
图3
图7
图8
图9
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(总课时25)§3.5确定圆的条件
一.选择题：
1下列条件，可以画出唯一一个圆的是( D )
A. 已知圆心 B. 已知半径 C. 已知直径 D. 已知不在同一条直线上三个点
2.在同一平面上有A、B、C三点，若经过A、B、C这三点画圆，则可画( C )
在同一平面上有A、B、C三点，若经过A、B、C这三点画圆，则可画( C )
A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 无数个
3.等边三角形外接圆的半径等于边长的( C )倍．
A. B. C. D.
4.如图1，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，点D是上一点，BD交AC于点E，若BC＝4，AD＝，则AE的长是(C) A. 3 B. 2 C. 1 D. 1.2
5.如图2，△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的三边分别记为a，b，c，O是△ABC
的外心，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，则OD：OE：OF=（C）
A. a：b：c B. C. cosA：cosB：cosC D. sinA：sinB：sinC
二.填空题：
6.如图3，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD＝4，∠ABC＝∠DAC，则AC的长为2.
7.如图4，△ABC的外心坐标是(－2，－1)．
8.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的⊙O中，若底边BC＝8cm，则△ABC的面积是8cm2或32cm2
9.如图5，△ABC内接于⊙O，AH⊥BC于点H，若AC＝24，AH＝18，⊙O的半径OC＝13，则AB＝19.5
10.如图6，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为2.
三.解答题：
11.如图7，BD，CE是△ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上．
解：取BC的中点F,连接DF,EF.∵BD,CE是△ABC的高,∴△BCD和△BCE都是直角三角形.
∴DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线,∴DF=EF=BF=CF.
∴E,B,C,D四点在以点F为圆心，0.5BC为半径的圆上.
12.如图8，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD．
（1）求证：BD=CD；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴由垂径定理得：BD=CD，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD=CD.
(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上。
理由：由(1)知：BD=CD，∴∠1=∠2，又∵∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴∠DBE=∠3+∠4，∠DEB=∠1+∠5，
∵BE是∠ABC的平分线，∴∠4=∠5，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE.
由(1)知：BD=CD∴DB=DE=DC.∴B,E,C三点在以D为圆心,以DB为半径的圆上.
四.提高题：
13.如图9，抛物线L:y=ax2-2ax+a+k（a，k为常数且a>0）经过点C(-1,0)，顶点为M，经过点P(0,a+4)的直线m与x轴平行，且m与L交于点A，B（B在A的右侧），与L的对称轴交于点F，直线n:y=ax+a经过点C．
（1）用a表示k,k=-4a,点M(1,-4a)；
（2）BP-AP的值是否是定值？若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由；
答：是定值,BP-AP=2.
（3）当直线n经过点B时，则a=1，A（-2，5），B（4，5）；
（4）当a=1时，设△ABC的外心为点N，则
①求点N的坐标；
②若点Q在L的对称轴上，其纵坐标为b，且满足∠AQB<∠ACB，直接写出b的取值范围．
解：①根据抛物线的轴对称性可知，L的对称轴x=1就是AB的垂直平分线，
故△ABC的外心N就在直线x=1上，则有AN=CN．
∴设N点坐标为(1，c)，由（3）可知A点坐标为(-2，5)，
及C点坐标为(-1，0)，
∴，
即，解得，∴N点坐标为(，)；
②或．
图1
图2
图6
图5
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图3
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图9
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(总课时25)§3.5确定圆的条件
【学习目标】探索不在同一直线上的三个点确定一个圆．
【学习重难点】理解并运用不在同一直线上的三个点确定一个圆.
【导学过程】
一.知识回顾
⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于半径.
⒉确定圆需要两个基本条件，一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
3.两点确定一条直线．
二.探究新知
探究（一）确定圆的条件
1.如图1，经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形)
2.如图2，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（作出图形）
结论1：①经过一点A可作无数个圆；
②经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上；
③以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径可作无数个圆.
3.如图3，经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A，B，C三点的⊙O存在
（1）圆心O到A，B，C三点距离相等（填“相等”或“不相等”）.
（2）连接AB，AC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥AC，则MN是AB的中垂线.EF是AC的中垂线.
（3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离相等.
4.议一议：过如下三点能不能作一个圆 为什么
因为AB和BC的中垂线互相平行，没有交点.
结论2：不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
探究（二）三角形的外接圆：
1.经过三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；这个三角形叫做圆的内接三角形；外接圆的圆心叫做三角形的外心，是三角形三条边垂直平分线的交点.
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。
锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外部.
三.典例与练习
例1.下列说法正确的有（ D ）个
①经过三个点一定可以作圆．②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
练习1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（D）.
A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm
例2.在如图4正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（B）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
练习2.如图5，以点P（4，2）为圆心的圆弧与x轴交于A（2，0），B两点，
则点B的坐标（6，0）．
例3.（破轮求径）如图6，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm，CD=8cm.（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
解：（2）连接OA，设OA=x,在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA2=OD2+AD2，即：x2=(x-8)2+122,x=13
答：圆的半径是13cm.
练习3.如图7，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．
解：由BC=12，易得BD=6，AD=8，
设OA=x,则由勾股定理得：
OB2=OD2+BD2，即：x2=(8-x)2+62,解得：x=6.25
答：外接圆半径是6.25
四.课堂小结
1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．
2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
五.分层过关
1.三角形的外心是（ B ）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条高的交点
2.直角三角形两直角边长分别是16和12，此三角形的外接圆半径是（C）
A．6 B．8 C．10 D. 8或10
3.A、B、C是平面内的三点，AB=BC=3,AC=6，下列说法中正确的是（B）
A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上,B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外
C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外,D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内
4.如图8，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=45°.
5.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
(1)求证AC＝AE；(2)求△ACD外接圆的半径．
证明：（1）∵∠ACB＝90°，∴AD是圆的直径，∴∠AED=90°
∵AD平分∠CAB∴AC=AE
(2)在Rt△ABC中，AC＝5，CB＝12∴AB=13∵AC=AE=5∴BE=8∵∠B=∠B,∠BED=∠C∴△BED∽△BCA
∴∴∴DE=，∴AD=∴△ACD外接圆的半径是
思考题：
6.如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y=0.5x2-bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．（1）则抛物线的解析式为：y=0.5x2-1.5x-2；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，点D的坐标（5，3），∠ADB=45°；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M，
求点M的坐标及⊙M的半径；
（3）如图，连接MA，MB，∵∠ADB=45，∴∠AMB=90，
∵MA=MB，MH⊥AB，∴AH=BH=HM=2.5，
∴点M的坐标为(1.5，2.5），⊙M的半径为；
A
B
C
A
B
A
图3
图1
图2
图4
图5
图6
O
图7
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图9
图10
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(总课时25)§3.5确定圆的条件
【学习目标】探索不在同一直线上的三个点确定一个圆．
【学习重难点】理解并运用不在同一直线上的三个点确定一个圆.
【导学过程】
一.知识回顾
⒈圆上所有的点到圆心的距离都等于_____.
⒉确定圆需要两个基本条件，一个是____，另一个是____，其中，____确定圆的位置，____确定圆的大小.
3.____点确定一条直线．
二.探究新知
探究（一）确定圆的条件
1.如图1，经过一点A是否可以作圆？如果能作，可以作几个？(作出图形)
2.如图2，经过两个点A、B是否可以作圆？如果能作，可以作几个？（作出图形）
结论1：①经过一点A可作____个圆；
②经过A，B两点的圆的圆心在线段AB的____________上；
③以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径可作____个圆.
3.如图3，经过三个已知点A，B，C能确定一个圆吗？假设经过A，B，C三点的⊙O存在
（1）圆心O到A，B，C三点距离____（填“相等”或“不相等”）.
（2）连接AB，AC，过O点分别作直线MN⊥AB，EF⊥AC，则MN是AB的______.EF是AC的_______.
（3）AB，AC的垂直平分线的交点O到B，C的距离____.
4.议一议：过如下三点能不能作一个圆 为什么
因为AB和BC的中垂线____________________.
结论2：不在同一条直线上的三个点________圆.
探究（二）三角形的外接圆：
1.经过三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的____圆；这个三角形叫做圆的____三角形；外接圆的圆心叫做三角形的____，是三角形三条边____________的交点.
2.分别作出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆；并分别指出三角形的外心所在的位置。
锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在__________.
三.典例与练习
例1.下列说法正确的有（ ）个
①经过三个点一定可以作圆．②任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆．③任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形．④三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.
A.0 B.1 C.2 D.3
练习1.在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（ ）.
A. 13 cm B. 13.5 cm C. 14 cm D. 14.5 cm
例2.在如图4正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
练习2.如图5，以点P（4，2）为圆心的圆弧与x轴交于A（2，0），B两点，
则点B的坐标________．
例3.（破轮求径）如图6，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知：AB=24cm，CD=8cm.（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）求（1）中所作圆的半径.
解：（2）连接OA，设OA=x,在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OA2=OD2+AD2，即：________________
答：圆的半径是________.
练习3.如图7，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求其外接圆半径．
四.课堂小结
1.定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆．
“不在同一直线”这个条件不可忽略，“确定”一词应理解为“有且只有”．
2.通过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心为三角形的外心，这个三角形叫圆的内接三角形．只要三角形确定，那么它的外心和外接圆半径也随之确定了．
五.分层过关
1.三角形的外心是（ ）
A．三角形三条中线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点
C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条高的交点
2.直角三角形两直角边长分别是16和12，此三角形的外接圆半径是（ ）
A．6 B．8 C．10 D. 8或10
3.A、B、C是平面内的三点，AB=BC=3,AC=6，下列说法中正确的是（ ）
A．可以画一个圆，使A、B、C都在圆上,B．可以画一个圆，使A、B在圆上，C在圆外
C．可以画一个圆，使A、C在圆上，B在圆外,D．可以画一个圆，使B、C在圆上，A在圆内
4.如图8，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB=____.
5.如图9，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线．过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．
(1)求证AC＝AE；(2)求△ACD外接圆的半径．
思考题：
6.如图10，在平面直角坐标系中，抛物线y=0.5x2-bx+c交x轴于点A，B，点B的坐标为(4，0)，与y轴于交于点C(0，﹣2)．（1）则抛物线的解析式为：________________；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，点D的坐标________，∠ADB=________；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M，
求点M的坐标及⊙M的半径；
A
B
C
A
B
A
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