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(总课时26)§3.6 直线与圆的位置关系（1）
一.选择题：
1.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相切 B.相离 C．相离或相切 D.相切或相交
2.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ADC＝130°，过点C的切线CE与直线AB交于点E，则∠BCE的度数为( )．A.40° B.50° C.60° D.65°
3.如图2，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于( )
A．20° B.25° C.30° D.40°
4.（2020·山东省初三学业考试）如图3，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=121°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数等于（ ）
A．28° B．31° C．29° D．29.5°
5.如图4，已知A、B两点的坐标分别为（―2，0）,（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，―1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( )
A．4 B． C． D．3
二.填空题：
6.如图5，AD是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B．若∠A＝35°，则∠B＝____°．
7.如图6，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=____．
8.如图7，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为____．
9.如图8，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝____．
三.解答题：
10.如图，在⊙O中，点C为OB的中点，点D为弦AB的中点，连结CD并延长，交过点A的切线于点E．求证：AE⊥CE．
11.（2020·天津）已知A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D.
（1）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；
（2）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE//OA，求OD的长.
四.提高题：
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，
过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠CBF=0.5∠CAB；
（2）若CD＝2，tan∠CBF=0.5，求FC的长．
图4
图1
图3
图2
图8
图7
图6
图5
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(总课时26)§3.6 直线与圆的位置关系（1）
【学习目标】掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法和性质．
【学习重难点】运用切线的性质定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.平面内，点与圆的位置关系有：______、______、______.
2.如图1：（1）点A在____ d__r；（2）点B在____ d__r；（3）点P在____ d__r.
二.探究新知
探究1：直线和圆位置关系的判定
【操作】作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
【发现】直线和圆有三种位置关系：__________________.
【定义】直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的______，这个唯一的公共点叫做______.
【判定】直线与圆的位置关系:设圆心O到直线的距离为d，⊙O的半径为r.
⑴根据d与r的大小关系来判定 ⑵ 根据公共点的个数来判定
d__r 直线与圆相交 直线与圆有___个公共点直线与圆相交
d__r 直线与圆相切 直线与圆有___个公共点直线与圆相切
d__r 直线与圆相离 直线与圆有___个公共点直线与圆相离
练习1.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
练习2：已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是___．
探究2：圆的切线性质
【问题】如图2,直线CD与☉O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说一说你的理由.
证明：AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M，则OM___OA，即圆心O到直线CD的距离____⊙O的半径，因此CD与⊙O____，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD______．
圆的切线性质:圆的切线______于过切点的半径.
几何语言:∵____________________________________
∴______________.
练习3.如图3，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为3，AB＝4，则OA的长是___.
三.典例与练习
例1.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ ）A． B． C． D．
练习4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，设⊙C的半径为r，请根据r的值，判断直线AB与⊙C的位置关系.(1)r=2cm ______ (2)r=2.4cm ______ (3)r=3cm ______
例2.如图4，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠DAB的度数．
解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠CBD＝∠ADB＝_____，AB___CD.
又∵∠A___∠C，∴△ABD___△CDB.（___）
（2）∵BE是切线，AB是直径，∴AB___BE，即∠ABE＝____，∠ADB＝____；
∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝____.∴∠DAB＝________________.
练习5.如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°则∠D等于（ ）
A．40° B．50 C．60° D．70°
四.课堂小结
直线和圆的位置关系 相 交 相 切 相 离
图形语言
公共点 ___ ___ ___
圆心到直线l的距离d与半径r的关系 ___ ___ ___
公共点的名称 ___ ___ 无
直线的名称 ___ ___ 无
1.
2.切线的性质定理:______________________________.
3.一条重要的辅助线：已知圆的切线，则可以连接______和______.
五.分层过关
1.如图6，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB＝( )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
2.如图7.，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（ ）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
3.在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（ ）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
4.如图8，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A.1 B.1或5 C.3 D.5
5.如图9，过⊙O外一点P作两条切线，切点分别为A、B，C为劣弧上一点，若∠ACB＝122°，则∠APB＝______.
6.如图10，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB于点P，点D为圆上一点，且=，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．
思考题：
7.如图，抛物线y=ax2+6ax(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）点A的坐标（______）；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当，
∠CAE＝∠OBE时，直接写出的值.
C
A
B
图1
相交 相切 相离
图2
M
图3
图4
图5
图6
图9
图8
图7
图10
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(总课时26)§3.6 直线与圆的位置关系（1）
一.选择题：
1.已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(D)
A．相切 B.相离 C．相离或相切 D.相切或相交
2.如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，∠ADC＝130°，过点C的切线CE与直线AB交于点E，则∠BCE的度数为( A )．A.40° B.50° C.60° D.65°
3.如图2，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于(B)
A．20° B.25° C.30° D.40°
4.（2020·山东省初三学业考试）如图3，△ABC是☉O的内接三角形，∠A=121°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数等于（ A ）
A．28° B．31° C．29° D．29.5°
5.如图4，已知A、B两点的坐标分别为（―2，0）,（0，1），⊙C的圆心坐标为（0，―1），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，射线AD与y轴交于点E，则△ABE面积的最大值是( B )
A．4 B． C． D．3
二.填空题：
6.如图5，AD是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点B．若∠A＝35°，则∠B＝20°．
7.如图6，半径为的⊙O与边长为8的等边三角形ABC的两边AB、BC都相切，连接OC，则tan∠OCB=．
8.如图7，PA与⊙O相切，切点为A，PO交⊙O于点C，点B是优弧CBA上一点，若∠ABC=32°，则∠P的度数为26°．
9.如图8，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝67°．
三.解答题：
10.如图，在⊙O中，点C为OB的中点，点D为弦AB的中点，连结CD并延长，交过点A的切线于点E．求证：AE⊥CE．
证明：连结OA，∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE=90°．
∵C、D分别为半径OB，弦AB的中点，∴CD//OA，∴CE//OA．
∴∠AEC=180-∠OAE=90°．∴AE⊥CE．
11.（2020·天津）已知A、B在半径为1的⊙O上，直线AC与⊙O相切，OC⊥OB，连接AB交OC于点D.
（1）如图①，若∠OCA=60°，求OD的长；
（2）如图②，OC与⊙O交于点E，若BE//OA，求OD的长.
解：（1）∵AC与⊙O相切，∴∠OAC=90°．
∵∠OCA=60°，∴∠AOC=30°．
∵OC⊥OB，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=120°．∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴OD=AD，∠DAC=60°∴AD=CD=AC．
∵OA=1，∴OD=AC=OA tan∠AOC=．
（2）∵OC⊥OB，∴∠OBE=∠OEB=45°．∵BE∥OA，∴∠AOC=45°，∠ABE=∠OAB，∴OA=AC，∠OAB=∠OBA=22.5°，
∴∠ADC=∠AOC+∠OAB=67.5°．∵∠DAC=90°-∠OAB=67.5°=∠ADC，∴AC=CD．
∵OC==，∴OD=OC-CD=-1．
四.提高题：
12.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，
过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．
（1）求证：∠CBF=0.5∠CAB；
（2）若CD＝2，tan∠CBF=0.5，求FC的长．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°．∴∠BAE+∠ABC＝90°，
∵AB＝AC，∴∠BAE＝∠EAC=0.5∠CAB．
∵BF为⊙O 的切线，∴∠ABC+∠CBF＝90°．
∴∠BAE＝∠CBF．∴∠CBF=0.5∠CAB；
（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°
∵∠DBC＝∠DAE，∴∠DBC＝∠CBF．
∵tan∠CBF=0.5．∴tan∠DBC=0.5．
∵CD＝2，∴BD＝4，设AB＝x，则AD＝x﹣2，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，由勾股定理得x＝5．∴AB＝5，AD＝3，
在Rt△ABC中，BD⊥AC，∴AB2＝AD AF．∴AF=,∴FC＝AF﹣AC=
图4
图1
图3
图2
图8
图7
图6
图5
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(总课时26)§3.6 直线与圆的位置关系（1）
【学习目标】掌握直线和圆的三种位置关系的判定方法和性质．
【学习重难点】运用切线的性质定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.平面内，点与圆的位置关系有：点在圆外、点在圆上、点在圆内.
2.如图1：（1）点A在圆外 d>r；（2）点B在圆上 d=r；（3）点P在圆内 d二.探究新知
探究1：直线和圆位置关系的判定
【操作】作一个圆，将直尺的边缘看成一条直线．固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
【发现】直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离.
【定义】直线和圆有唯一公共点时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点.
【判定】直线与圆的位置关系:设圆心O到直线的距离为d，⊙O的半径为r，[]
⑴根据d与r的大小关系来判定 ⑵ 根据公共点的个数来判定
dd=r 直线与圆相切 直线与圆有一个公共点直线与圆相切
d>r 直线与圆相离 直线与圆有0个公共点直线与圆相离
练习1.已知⊙O的半径为3cm，点P是直线l上一点，OP长为5cm，则直线l与⊙O的位置关系为（D）
A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能
练习2：已知直线与⊙O相切，若圆心O到直线的距离是5，则⊙O的半径是5．
探究2：圆的切线性质
【问题】如图2,直线CD与☉O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系 说一说你的理由.
证明：AB与CD要么垂直，要么不垂直．假设AB与CD不垂直，过点O作一条直线垂直于CD，垂足为M，则OM＜OA，即圆心O到直线CD的距离小于⊙O的半径，因此CD与⊙O相交，这与已知条件“直线CD与⊙O相切”相矛盾，所以AB与CD垂直．
圆的切线性质:圆的切线垂直于过切点的半径.
几何语言:∵直线CD与☉O相切于点A，AB是直径，
∴CD⊥AB.
练习3.如图3，AB与⊙O相切于点B，⊙O的半径为3，AB＝4，则OA的长是5.
三.典例与练习
例1.直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（ C ）A． B． C． D．
练习4.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，设⊙C的半径为r，请根据r的值，判断直线AB与⊙C的位置关系.(1)r=2cm 相离 (2)r=2.4cm 相切 (3)r=3cm 相交
例2.如图4，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠DAB的度数．
解：(1)证明：∵AB，CD是直径，∴∠CBD＝∠ADB＝90°，AB＝CD.
又∵∠A＝∠C，∴△ABD≌△CDB.（AAS）
（2）∵BE是切线，AB是直径，∴AB⊥BE，即∠ABE＝90°，∠ADB＝90°；
∵∠DBE＝37°，∴∠ABD＝53°.∴∠DAB＝90°－53°＝37°.
练习5.如图5，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于C,若∠A=25°则∠D等于（A）
A．40° B．50 C．60° D．70°
四.课堂小结
直线和圆的位置关系 相 交 相 切 相 离
图形语言
公共点 2 1 0
圆心到直线l的距离d与半径r的关系 dr
公共点的名称 交点 切点 无
直线的名称 割线 切线 无
1.
2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
3.一条重要的辅助线：已知圆的切线，则可以连接圆心和切点.
五.分层过关
1.如图6，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB＝( D )
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．8 cm
2.如图7.，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO=CD，则∠PCA=（D）
A．30° B．45° C．60° D．67.5°
3.在平面直角坐标系xOy中，以点(-3，4)为圆心，4为半径的圆（C）
A．与x轴相交，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离
4.如图8，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心坐标为（-3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（ B ）
A.1 B.1或5 C.3 D.5
5.如图9，过⊙O外一点P作两条切线，切点分别为A、B，C为劣弧上一点，若∠ACB＝122°，则∠APB＝64°.
6.如图10，在△ABC中，∠BAC=30°，以AB为直径的⊙O经过点C，过点C作⊙O的切线交AB于点P，点D为圆上一点，且=，弦AD的延长线交切线PC于点E，连接BC．
（1）判断OB和BP的数量关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为2，求AE的长．
解：（1）OB=BP．理由：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴∠OCP=90°，
∵OA=OC，∠OAC=30°，∴∠OAC=∠OCA=30°，∴∠COP=60°，
∴∠P=30°，在Rt△OCP中，OC=0.5OP=OB=BP；
由（1）得OB=0.5OP，∵⊙O的半径是2，∴AP=3OB=3×2=6，∵=，∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠BAD=60°，∵∠P=30°，∴∠E=90°，在Rt△AEP中，AE=0.5AP=0.5×6=3．
思考题：
7.如图，抛物线y=ax2+6ax(a为常数，a＞0)与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为(t，0)(﹣3＜t＜0)，连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）点A的坐标（－6,0）；
（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．
①如图1，求证：CE＝DE；
②如图2，连接AC，BE，BO，当，
∠CAE＝∠OBE时，直接写出的值.
解（2）①连接PC，连接PB延长交x轴于M,∵☉P过O、A、B三点，B为顶点∴PM⊥OA,∠PBC+∠BDM=90°.
又∵PC=PB∴∠PCB=∠PBC,∵CE为切线∴∠PCB+∠ECD=90°，又∵∠BDM=∠CDE∴∠ECD=∠EDC,∴CE=DE.
②=
C
A
B
图1
相交 相切 相离
图2
M
图3
图4
图5
图6
图9
图8
图7
图10
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