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(总课时27)§3.6直线与圆的位置关系(2)
一.选择题：
1.已知△ABC的内切圆O与各边相切于D，E，F，那么点O是△DEF的( C )
A．三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条内角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2.（2020·福建省）如图1，AB是⊙O的直径，AB=AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F是CE的中点，连接DF．则下列结论错误的是（ A ）
A．∠A=∠ABE B． C．BD=DC D．DF是⊙O的切线
3.如图2，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(A)
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
4如图3，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为(A)
A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)
5.如图4，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ B ）A．45° B．55° C．65° D．70°
二.填空题：
6.如图5，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为
∠ABC＝90°(答案不唯一).
7.如图6，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是相等.
8.如图7，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE=60°．
9.如图8，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是_40_度．
三.解答题：
10.如图9，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
解：相切，理由如下：
过点C作CD⊥AO于点D，∵∠O=30°，OC=6，∴DC=3，
∴以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是：相切．
11.如图10，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）线段BD=3；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
（2）证明：连接EA，如图，∵BE为直径，∴∠BAE=90°，
∵A为的中点，∴∠ABE=45°，∵BA=AP，而EA⊥BA，
∴△BEP为等腰直角三角形，∴∠PEB=90°，∴PE⊥BE，∴直线PE是⊙O的切线．
四.提高题：
12.如图11，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=0.8，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6,求证：直线CM是⊙O的切线．
证明：（1）延长CD交⊙O于G，如图，
∵CD⊥AB，∴=，∵=，∴=，
∴∠CBE=∠GCB，∴CF=BF；
（2）连接OC交BE于H，如图，
∵=，∴OC⊥BE，在Rt△OBH中，cos∠OBH==，
∴BH=×6=，∴OH==，∵==，==，
∴=，而∠HOB=∠COM，∴△OHB∽△OCM，∴∠OCM=∠OHB=90°，
∴OC⊥CM，∴直线CM是⊙O的切线．
图4
图5
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图1
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图11
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(总课时27)§3.6直线与圆的位置关系(2)
【学习目标】探索归纳总结切线的判定方法，能够利用切线的判定定理解决有关问题．
【学习重难点】探索圆的切线的判定方法，并能运用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直线和圆有三种位置关系：相离、相切、相交．
2.直线与圆的位置关系的判定:圆心O到直线的距离为d，
①⊙O的半径为r，根据d与r的大小关系确定 ②根据公共点的个数确定直线与圆的位置关系
dd=r直线与圆相切直线与圆有一个公共点
d>r直线与圆相离直线与圆有0个公共点
二.探究新知
探究1：切线的判定定理
【观察】如图1，AB是⊙O的直径，直线经过点A，与AB的夹角为∠α，当绕点A旋转时，
⑴随着∠α的变化，点O到的距离d如何变化？直线与⊙O的位置关系如何变化？
⑵当∠α等于多少度时，点O到的距离d等于半径r，此时直线与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
【结论】当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切。
切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线.
练习1.如图2，点A，B，D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，
且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为相切.
探究2：三角形的内切圆
已知：△ABC.求作：与△ABC的各边都相切的圆.
方法：1.作∠B和∠C的平分线BE和CF，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.如图3
定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
练习2.在△ABC中，I是内心，∠BIC=120°，则∠A=（ C ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
练习3.△ABC的内切圆半径为3cm，△ABC的周长为20cm，则△ABC的面积为_30．
三.典例与练习
例1.如图4，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCB＝∠DBC，∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD为⊙O的切线．
练习4.如图5.已知AB经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB，问AB是⊙O的切线吗？为什么？
解：连接OC，∵OA=OB，CA=CB，OC=OC，∴△OAC≌△OBC
∴∠OCA=∠OCB，∵∠OCA+∠OCB=180°，∴∠OCA=∠OCB=90°
∴OC⊥AB∴AB是⊙O的切线.
归纳1：已知直线与圆有交点，连接交点和圆心，证明其与直线垂直.
例2.如图6,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
证明：如图，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
∵AD平分∠BAC，DB⊥AB，DE⊥AC，∴DE＝DB，即点D到AC的距离等于⊙D的半径．
∴AC与⊙D相切．
练习5.已知：如图7，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的直径为6，请你判断AB与⊙O是否相切？请说明理由。
解：过O点作OC⊥AB于点C，∵OA＝OB=5，∴△OAB是等腰三角形，∴AC=BC=4,
在Rt△ACO中，由勾股定理得：OC=3，∵⊙O的直径为6,∴OC=⊙O半径=3,
∴AB与⊙O相切.
归纳2：未知直线与圆有交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.
四.课堂小结
1.切线判定方法有：①直线与圆只有一个共点的直线是圆的切线；
②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
③经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线.
2.切线判定常见辅助线：①有交点，连半径,证垂直.
②无交点，作垂直,证半径.
五.分层过关
1.下列说法正确的是(B)
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（B） A. d=3 B. d≤3 C. d＜3 D. d＞3
3.如图8，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（A）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.如图9，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则∠AOB＝( C)
A．140° B．135° C．125° D．110°
5.如图10，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE.若∠CBD＝33°，则∠BEC＝(C ) A．66° B．114° C．123° D．132°
6.如图11，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC＝CP，AB＝6，求CD的长．
（1）证明：连接AO，AC（如图）．
∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°．∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE．
∴∠ECA=∠EAC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°．
∴∠EAC+∠OAC=90°．∴OA⊥AP．∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，
∴∠P=30°．∴∠AOP=60°．∵OC=OA，∴∠ACO=60°．
在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，∴AB=AC×tan∠ACO∴AC=2．
又∵在Rt△ACD中，AC=CD×cos∠ACD∴CD=4．
思考题：
7.如图12，已知Rt△ABC，AD平分∠BAC，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC交于点D．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE=2，BD=4，⊙O的半径=__3__．
（3）设AC与⊙O交于点F，且CF=1，CD=2，⊙O的直径=5.
（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，∴∠1=∠3，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，∴∠3=∠2∴AC∥OD，
∵AC⊥BC，∴OD⊥BC，
∵D点在⊙O上，∴BC为⊙O的切线
图1
图2
C
B
A
D
F
E
I
图3
图4
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E
图6
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F
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(总课时27)§3.6直线与圆的位置关系(2)
【学习目标】探索归纳总结切线的判定方法，能够利用切线的判定定理解决有关问题．
【学习重难点】探索圆的切线的判定方法，并能运用．
【导学过程】
一.知识回顾
1.直线和圆有三种位置关系：___________________．
2.直线与圆的位置关系的判定:圆心O到直线的距离为d，
①⊙O的半径为r，根据d与r的大小关系确定 ②根据公共点的个数确定直线与圆的位置关系
d__r直线与圆相交直线与圆有____个公共点
d__r直线与圆相切直线与圆有____个公共点
d__r直线与圆相离直线与圆有____个公共点
二.探究新知
探究1：切线的判定定理
【观察】如图1，AB是⊙O的直径，直线经过点A，与AB的夹角为∠α，当绕点A旋转时，
⑴随着∠α的变化，点O到的距离d如何变化？直线与⊙O的位置关系如何变化？
⑵当∠α等于多少度时，点O到的距离d等于半径r，此时直线与⊙O有怎样的位置关系？为什么？
【结论】当∠α=90°时，点O到l的距离d等于半径．此时，直线l与⊙O的位置关系是相切。
切线的判定定理：____________________________________的直线是圆的切线.
练习1.如图2，点A，B，D在⊙O上，∠A=25°，OD的延长线交直线BC于点C，
且∠OCB=40°，直线BC与⊙O的位置关系为____.
探究2：三角形的内切圆
已知：△ABC.求作：与△ABC的各边都相切的圆.
方法：1.作∠B和∠C的平分线BE和CF，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.[]
定义：与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做这个三角形的内心.
练习2.在△ABC中，I是内心，∠BIC=120°，则∠A=（ ）
A．40° B．50° C．60° D．65°
练习3.△ABC的内切圆半径为3cm，△ABC的周长为20cm，则△ABC的面积为____．
三.典例与练习
例1.如图5，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，∴∠OBC____∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC____∠OCB，∴∠OCB____∠DBC，∴OC____BD.
∵BD⊥CD，∴OC____CD，∴CD为⊙O的____．
练习4.如图6.已知AB经过⊙O上的点C，且OA＝OB，CA＝CB，问AB是⊙O的切线吗？为什么？
归纳1：已知直线与圆有交点，连接交点和圆心，证明其与直线垂直.
例2.如图6,在Rt△ABC中,∠ABC＝90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以点D为圆心，DB长为半径作⊙D.
求证：AC与⊙D相切．
练习5.已知：如图OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O的直径为6，请你判断AB与⊙O是否相切？请说明理由。
归纳2：未知直线与圆有交点，过圆心作直线的垂线段，证明垂线段长等于半径.
四.课堂小结
1.切线判定方法有：①直线与圆只有一个共点的直线是圆的切线；
②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
③经过直径的外端且垂直于直径的直线是圆的切线.
2.切线判定常见辅助线：①有交点，连半径,证垂直.
②无交点，作垂直,证半径.
五.分层过关
1.下列说法正确的是( )
A．与圆有公共点的直线是圆的切线 B．到圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线 D．过圆的半径外端的直线是圆的切线
2.设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（ ） A. d=3 B. d≤3 C. d＜3 D. d＞3
3.如图8，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
4.如图9，点O是△ABC的内心，若∠ACB＝70°，则∠AOB＝( )
A．140° B．135° C．125° D．110°
5.如图10，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，BE，CE.若∠CBD＝33°，则∠BEC＝( ) A．66° B．114° C．123° D．132°
6.如图11，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长
线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P.
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若OC＝CP，AB＝6，求CD的长．
思考题：
7.如图12，已知Rt△ABC，AD平分∠BAC，点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC交于点D．
(1)求证：BC为⊙O的切线；
（2）若BE=2，BD=4，⊙O的半径=____．
（3）设AC与⊙O交于点F，且CF=1，CD=2，⊙O的直径=____.
图1
图2
C
B
A
D
F
E
I
图3
图4
图5
图6
图7
图11
图10
图8
图9
图12
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(总课时27)§3.6直线与圆的位置关系(2)
一.选择题：
1.已知△ABC的内切圆O与各边相切于D，E，F，那么点O是△DEF的( )
A．三条中线的交点 B．三条高所在直线的交点
C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点
2.（2020·福建省）如图1，AB是⊙O的直径，AB=AC，AC交⊙O于点E，BC交⊙O于点D，F是CE的中点，连接DF．则下列结论错误的是（ ）
A．∠A=∠ABE B． C．BD=DC D．DF是⊙O的切线
3.如图2，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( )
A．DE＝DO B．AB＝AC C．CD＝DB D．AC∥OD
4如图3，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，3)，C(4，3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A．(－2，3) B．(－3，2) C．(3，－2) D．(2，－3)
5.如图4，⊙O内切于△ABC，切点为D、E、F，若∠B＝50°，∠C＝60°，连结OE，OF，DE，DF，∠EDF等于（ ）A．45° B．55° C．65° D．70°
二.填空题：
6.如图5，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为
7.如图6，△ABC的内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是 .
8.如图7，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E．若点D是AB的中点，则∠DOE= °．
9.如图8，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°，∠A=25°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D，则∠D的度数是 度．
三.解答题：
10.如图，∠O=30°，C为OB上一点，且OC=6，以点C为圆心，试判断半径为3的圆与OA的位置关系.
11.如图10，已知A、B、C、D、E是⊙O上五点，⊙O的直径BE=2，∠BCD=120°，A为的中点，延长BA到点P，使BA=AP，连接PE．
（1）线段BD= ；
（2）求证：直线PE是⊙O的切线．
四.提高题：
12.如图11，线段AB为⊙O的直径，点C，E在⊙O上，=，CD⊥AB，垂足为点D，连接BE，弦BE与线段CD相交于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若cos∠ABE=0.8，在AB的延长线上取一点M，使BM=4，⊙O的半径为6,求证：直线CM是⊙O的切线．
图4
图5
图2
图1
图3
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图7
图6
图9
图10
图11
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