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(总课时29)§3.8圆内接正多边形
一.选择题：
1.下列说法错误的是( C )
A. 圆内接正多边形每个内角都相等，B. 圆内接正多边形都是轴对称图形
C. 圆内接正多边形都是中心对称图形，D. 圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（B）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形
3.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（A）
A. a=2rsin36° B. a=2rcos36° C. a=rsin36° D. a=2rsin72°
4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A)
A. 12 mm B. 12 mm C. 6 mm D. 6 mm
5.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( B )
A. S3＞S4＞S6 B. S6＞S4＞S3 C. S6＞S3＞S4 D. S4＞S6＞S3
二.填空题是：
6.如图1，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝12°．
7.如图2，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为10．
8.如图3，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为8．
9.如图4，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为().
10.如图5点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝45°．
三.解答题：
11.已知，如图6，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
解：连接BF，CE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠BAC=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，∴AF=CF，AE=BE，
∴∠BAC=∠BCE=∠ACE=∠ABF=∠FBC=36°，∴，
∴AE=AF=BE=BC=FC，∴∠EAF=∠AFC=∠FCB=∠CBE=∠BEA．∴五边形AEBCF为正五边形．
12.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R.
解：连接OB、OC、OD.∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC＝×360°＝120°，∠BOD＝×360°＝30°.∴∠COD＝∠BOC－∠BOD＝90°.
∵OC＝OD，∴∠OCD＝45°.∴OC＝CD·cos45°＝5× ＝5(cm)．
∴⊙O的半径R＝5 cm.
四.提高题：
13.如图1、2、3、…、n，M、N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
【答案】（1）；（2），；（3）
解:（1）连接OB,OC,∵正△ABC内接于⊙O,∴∠OBM=∠OCN=30°,∠BOC=120°.
又∵BM=CN,OB=OC,∴△OBM≌△OCN,∴∠BOM=∠OCN,
∴∠MON=∠BOC=120°.
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
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(总课时29)§3.8圆内接正多边形
【学习目标】了解圆内接正多边形的概念及其相关概念，并会进行有关正多边形的计算；
【学习重难点】正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.正三角形的定义:________________________叫正三角形，即等边三角形.
2.正四边形的定义:________________________________叫正四边形，即正方形.
3.各条边______，并且各个内角也_________的多边形叫做正多边形
4.正n边形的有关计算公式：每个内角=_________，每个外角=______
二.探究新知
探究1：正多边形与圆的有关概念
【观察】观察下面的图片：
【定义】1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做_____________，这个圆叫做该正多边形的______.
2.把一个圆分成n等份，连接各点所得到的多边形是__________，它的中心角等于______.
3.一个正多边形的外接圆的___叫做这个正多边形的中心，外接圆的___叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的______叫做正多边形的______，中心到正多边形的一边的___叫做正多边形的______.
如图1，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的___；OA是这个正五边形的___；∠AOB是这个正五边形的______；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的的______.
探究2：正多边形有关计算
【议一议】
1．正n边形的每一个内角等于_________，它的中心角等于_________.
2．设正n边形的半径为R，边长为an，边心距为rn，则它们之间的数量关系是_________．这个正n边形的面积Sn=______．
【想一想】
1．正八边形的一个内角等于______，它的中心角等于______．
2．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=___________．
3．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为______．
4.⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′为______；
面积比S内∶S外为______.
探究3：正多边形的画法
1.把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.
2.利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形．
为了减少累计误差，通常作法如下：
(1)作⊙O的任意一条直径___，如图2；
(2)分别以______为圆心，以⊙O的______为半径作弧，与⊙O相交于A，E和B，D，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；
(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形______，如图3.
三.典例与练习
例1.如图4，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
练习1.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3 B．2 C．3 D．6
例2.填空:
⑴正多边形都是___对称图形，一个正n边形有___条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的___；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是___对称图形，又是___对称图形。
(2)用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为___cm
练习2.半径相等的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A．1：：3 B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
四.课堂小结
正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.
五.分层过关
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
2.正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
3.圆内接正六边形的周长为12，则该圆的内接正三角形的周长为______.
4.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于___.
5.如图6，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=___.
6.完成下表中有关圆内接正多边形的计算：
思考题：
7.⊙O半径为r,其内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a,b,c.
（1）求a,b,c;
（2）以a,b,c为边可否构成三角形？如果能，构成什么三角形？如果不能，请说明理由.
图1
图2
图3
图4
图6
图5
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(总课时29)§3.8圆内接正多边形
【学习目标】了解圆内接正多边形的概念及其相关概念，并会进行有关正多边形的计算；
【学习重难点】正多边形的半径、边心距及边长的计算问题转化为解直角三角形的问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.正三角形的定义:三边都相等的三角形叫正三角形，即等边三角形.
2.正四边形的定义:四边都相等，四角也相等的四边形叫正四边形，即正方形.
3.各条边都相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形
4.正n边形的有关计算公式：每个内角=，每个外角=
二.探究新知
探究1：正多边形与圆的有关概念
【观察】观察下面的图片：
【定义】1.顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.
2.把一个圆分成n等份，连接各点所得到的多边形是正多边形，它的中心角等于.
3.一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
如图1，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的的边心距.
探究2：正多边形有关计算
【议一议】
1．正n边形的每一个内角等于，它的中心角等于.
2．设正n边形的半径为R，边长为an，边心距为rn，则它们之间的数量关系是R2=．这个正n边形的面积Sn=．
【想一想】
1．正八边形的一个内角等于135°，它的中心角等于45°．
2．正六边形的边长a，半径R，边心距r的比a∶R∶r=2：2：．
3．同一圆的内接正方形和正六边形的周长比为：3．
4.⊙O的半径为R，求⊙O的内接正六边形、⊙O的外切正六边形的边长比AB∶A′B′为:2；
面积比S内∶S外为3:4.
探究3：正多边形的画法
1.把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形.
2.利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．
由于正六边形的中心角为60°，因此它的边长等于外接圆的半径R所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正多边形．
为了减少累计误差，通常作法如下：
(1)作⊙O的任意一条直径FC，如图2；
(2)分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于A，E和B，D，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点；
(3)顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF，如图3.
三.典例与练习
例1.如图4，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距．
解：连接OD，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD＝60°.
∴△COD为等边三角形．∴CD＝OC＝4.
在Rt△COG中，OC＝4，CG＝2，
∴OG＝2.∴正六边形ABCDEF中心角为60°，边长为4，边心距为2.
练习1.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（C）
A．3 B．2 C．3 D．6
例2.填空:
⑴正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
(2)用一张圆形的纸剪一个边长为4cm的正六边形，则这个圆形纸片的半径最小应为4cm
练习2.半径相等的正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ B ）
A．1：：3 B．：：1 C．3：2：1 D．1：2：3
四.课堂小结
正多边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边为边长的一半，顶点在中心的锐角为中心角的一半.
五.分层过关
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（A）
A．10 B．8 C．6 D．5
2.正六边形的边长等于2，则这个正六边形的面积等于（B）
A．4 B．6 C．7 D．8
3.圆内接正六边形的周长为12，则该圆的内接正三角形的周长为6.
4.如图5，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，则⊙O的面积等于2π.
5.如图6，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=72°.
6.完成下表中有关圆内接正多边形的计算：
思考题：7.⊙O半径为r,其内接正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a,b,c.
（1）求a,b,c;
（2）以a,b,c为边可否构成三角形？如果能，构成什么三角形？如果不能，请说明理由.
解：（1）如图6所示，
在正三角形ABC中，连接OB，过O作OD⊥BC于D，则∠OBC=30°，BD=OB cos30°=r，故a=BC=2BD=r；
如图7所示，在正方形ABCD中，连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=r，故b=BC=r；如图8所示，在正六边形ABCDEF中，连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，故AG=OA cos60°=r，c=AB=2AG=r；
（2）能构成三角形，构成直角三角形；
理由如下：∵a=r，b=r，c=r，
∴c2+b2=a2，∴能构成直角三角形．
图1
图2
图3
图4
图6
图5
120°
4
2
2
1
2
2
120°
60°
90°
90°
8
12
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(总课时29)§3.8圆内接正多边形
一.选择题：
1.下列说法错误的是( )
A. 圆内接正多边形每个内角都相等，B. 圆内接正多边形都是轴对称图形
C. 圆内接正多边形都是中心对称图形，D. 圆内接正多边形的中心到各边的距离相等
2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A. 正三角形 B. 正四边形 C. 正六边形 D. 正八边形
3.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（ ）
A. a=2rsin36° B. a=2rcos36° C. a=rsin36° D. a=2rsin72°
4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( )
A. 12 mm B. 12 mm C. 6 mm D. 6 mm
5.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )
A. S3＞S4＞S6 B. S6＞S4＞S3 C. S6＞S3＞S4 D. S4＞S6＞S3
二.填空题是：
6.如图1，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝______．
7.如图2，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB=18°，则这个正多边形的边数为___．
8.如图3，正六边形ABCDEF内接于半径为4的圆，则B、E两点间的距离为___．
9.如图4，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为______.
10.如图5点M、N分别是正八边形相邻的边AB、BC上的点，且AM＝BN，点O是正八边形中心，则∠MON＝___．
三.解答题：
11.已知，如图6，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
12.如图7，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD＝5cm，求⊙O的半径R.
四.提高题：
13.如图1、2、3、…、n，M、N分别是☉O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON．
（1）求图1中∠MON的度数；
（2）图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
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