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(总课时30)§3.9弧长及扇形的面积
一.选择题：
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（B）
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一个扇形的半径为8 cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为( B )
A. 60° B. 120° C. 150° D. 180°
3.一段圆弧的半径是12，弧长是，则这段圆弧所对的圆心角是（ A ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
4.一个扇形的圆心角是120°，面积为3π cm2，那么这个扇形的半径是( B )
A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm D. 9 cm
5.如图1，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB=4．若∠BCD=120°，则的长为（B ）
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图2，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为．
7.如图3，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则的长为（结果保留π）．
8.如图4，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是4π．
9.如图5，在菱形ABCD中，∠ABC=60，AB=8，对角线交于点O，M为BC中点，以M为圆心，MC长为半径画弧交AB于点E，连接OE，则阴影部分面积为．
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是12π．
三.解答题：
11.如图6，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝2，
∴阴影部分的面积＝2×1﹣＝1﹣．
12.如图7，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点．
（1）求的长；（2）求阴影部分的面积．
解：（1）如图，连接OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，
又∵OC＝OD，∴△OCD是等边三角形，∴∠OCD＝∠AOC＝60°，OC＝CD＝8，
∴的长＝＝cm
（2）∵∠OCD＝∠AOC＝60°∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD＝S△PCD，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
四.提高题：
13.如图8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以AC边上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE.填空：
当的长度是时，四边形ABDE是菱形；
证明：如图8，连接OD，
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴AB=BC，
∵D是BC的中点，∴BD=BC，∴AB=BD，∴∠BAD=∠BDA，
∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠ODB=∠BAO=90°，即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．
图1
图5
图3
图2
图4
图6
图7
图8
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(总课时30)§3.9弧长及扇形的面积
【学习目标】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【学习重难点】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【导学过程】
一.创设情境，引入新课
如图1，在校运动会的田径400米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？
二.探究新知
1.复习：(圆的半径为R)
①圆的周长公式：C=____.②圆的面积公式：S=____ ③圆的圆心角是____度.
2.探索弧长公式:
引例1.如图2,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
①转动轮转一周,传送带上的物品A被传送____厘米
②转动轮转1°,传送带上的物品A被传送____厘米
③转动轮转n°,传送带上的物品A被传送____厘米
【结论】在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：________.
练习1.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图3中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1mm)．
解：∵R＝40mm，n=110°．∴弧AB的长l=πR=____________mm．
因此，管道的展直长度约为________mm．
3.探索扇形面积公式：
引例2.如图4，在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，
那么它的最大活动区域有多大？
解：(1)如图4①，这只狗的最大活动区域是____面积，即____；
（2）如图4②，狗的活动区域是扇形，扇形是____一部分，360°的圆心角对应________面积，1°的圆心角对应圆面积的____，即________，
n°的圆心角对应的圆面积为____________.
【结论】扇形的面积公式：（扇形半径为r，圆心角为n,弧长为l）
用弧长表示扇形的面积：S扇形=lr．
练习2.已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=____，扇形面积=____.
练习3.已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的半径=____cm面积=________．
三.典例与练习
例1.扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
练习3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积为________.
例2.如图5，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( ) A．6π B．5π C．4π D．3π
练习4.如图6，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为________．
例3.△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，则图7中阴影部分的面积是________．
练习5.如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为________．
四.课堂小结
1.两个公式：① ②或S扇形=lr；
2.把“弧”看成“边”，把“扇形”看成“曲边三角形”,
因此扇形面积公式S扇形=lr，就同三角形面积公式；
五.分层过关
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（ ）
A．6π B．3π C．12π D．24π
3.如图9，扇形的圆心角为90°，半径OC＝2，∠AOC＝30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是________．
4.如图10，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是2cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）
的面积之和是________.
5.如图11，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为________
6.如图12.在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为________．
思考题：
7.如图13，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）
图1
图2
图3
图4
图4①
图4②
图7
图5
图6
图8
图12
图11
图10
图9
图13
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(总课时30)§3.9弧长及扇形的面积
一.选择题：
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一个扇形的半径为8 cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为( )
A. 60° B. 120° C. 150° D. 180°
3.一段圆弧的半径是12，弧长是，则这段圆弧所对的圆心角是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
4.一个扇形的圆心角是120°，面积为3π cm2，那么这个扇形的半径是( )
A. 1 cm B. 3 cm C. 6 cm D. 9 cm
5.如图1，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上，AB=4．若∠BCD=120°，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二.填空题：
6.如图2，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧交AC于E点，若∠A=60°，∠B=100°，BC=4，则扇形BDE的面积为____．
7.如图3，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．以点B为圆心，BO长为半径画弧，分别交AB，BC于点E，F，若∠ABD=∠ACD=30°，AD=1，则的长为____（结果保留π）．
8.如图4，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中的圆心依次是A、B、C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是____．
9.如图5，在菱形ABCD中，∠ABC=60，AB=8，对角线交于点O，M为BC中点，以M为圆心，MC长为半径画弧交AB于点E，连接OE，则阴影部分面积为________．
10.已知扇形的圆心角为120°，弧长为4π，则扇形的面积是____．
三.解答题：
11.如图6，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝2，求阴影部分的面积．
12.如图7，C，D是以AB为直径的半圆周的三等分点，CD＝8cm，P是直径AB上的任意一点．
（1）求的长；（2）求阴影部分的面积．
四.提高题：
13.如图8，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以AC边上一点O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F.
(1)求证：BD是⊙O的切线；
(2)若AB＝，E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE.填空：
当的长度是____时，四边形ABDE是菱形；
图1
图5
图3
图2
图4
图6
图7
图8
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(总课时30)§3.9弧长及扇形的面积
【学习目标】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【学习重难点】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【导学过程】
一.创设情境，引入新课
如图1，在校运动会的田径400米跑比赛中，为什么每位运动员的起跑位置不相同？这样的起点位置对每位运动员公平吗？
二.探究新知
1.复习：(圆的半径为R)
①圆的周长公式：C=2πR. ②圆的面积公式：S=πR2. ③圆的圆心角是360度.
2.探索弧长公式:
引例1.如图2,某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
①转动轮转一周,传送带上的物品A被传送20π厘米
②转动轮转1°,传送带上的物品A被传送厘米
③转动轮转n°,传送带上的物品A被传送厘米
【结论】在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长(arclength)的计算公式为：.
练习1.制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算下图3中管道的展直长度，即弧AB的长(结果精确到0．1mm)．
解：∵R＝40mm，n=110°．∴弧AB的长l=πR=×40π≈76．8mm．
因此，管道的展直长度约为76．8mm．
3.探索扇形面积公式：
引例2.如图4，在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长3m的绳子，绳子的一端拴着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
（2）如果这只狗拴在夹角为120°的墙角，那么它的最大活动区域有多大？
解：(1)如图4①，这只狗的最大活动区域是圆的面积，即9π；
（2）如图4②，狗的活动区域是扇形，扇形是圆的一部分，360°的圆心角对应整个圆面积，1°的圆心角对应圆面积的，即×9π＝，
n°的圆心角对应的圆面积为n×＝.
【结论】扇形的面积公式：（扇形半径为r，圆心角为n,弧长为l）
用弧长表示扇形的面积：S扇形=lr．
练习2.已知扇形的圆心角为120°且半径为3，则弧长=2π，扇形面积=3π.
练习3.已知扇形的圆心角是150°，弧长为20πcm，则扇形的半径=24cm面积=240πcm2．
三.典例与练习
例1.扇形AOB的半径为12cm，∠AOB＝120°，求弧AB的长(结果精确到0.1cm)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1cm2)
解：弧AB的长l=π×12=8π≈25.1cm;S扇形=π×122=48π≈150.7 cm2．
因此，弧AB的长约为25.1 cm，扇形AOB的面积约为150.7 cm2．
练习3.已知半径为2cm的扇形，其弧长为，则这个扇形的面积为.
例2.如图5，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是( A ) A．6π B．5π C．4π D．3π
练习4.如图6，菱形ABCD的边长为4cm，∠A＝60°，弧BD是以点A为圆心，AB长为半径的弧，弧CD是以点B为圆心，BC长为半径的弧，则阴影部分的面积为．
例3.△ABC是边长为4的等边三角形，以BC为直径画弧，分别交边AB，AC于点E，F，连接EF，则图7中阴影部分的面积是．
练习5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为．
四.课堂小结
1.两个公式：① ②或S扇形=lr；
2.把“弧”看成“边”，把“扇形”看成“曲边三角形”,
因此扇形面积公式S扇形=lr，就同三角形面积公式；
五.分层过关
1.在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是（B）
A. π B. 2π C. 4π D. 6π
2.一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（B）
A．6 B． C． D．
3.如图9，扇形的圆心角为90°，半径OC＝2，∠AOC＝30°，CD⊥OB于点D，则阴影部分的面积是π﹣．
4.如图10，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且它们的半径都是2cm，则图中的三个扇形（即三个阴影部分）
的面积之和是2π.
5.如图11，⊙O的半径为4，PC切⊙O于点C，交直径AB延长线于点P，若CP长为4，则阴影部分的面积为8-2π
6.如图12.在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为．
思考题：
7.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC=120°，AB=，以点O为圆心，OB长为半径画弧，分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）
解：如图，设⊙O与菱形的边AB、AD分别交于点E、F，连接OE、OF，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，∴AC⊥BD，BO＝DO，OA＝OC，AB＝AD，∠DAB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝BD＝2，∠ABD＝∠ADB＝60°，∴BO＝DO＝，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧，∴BO＝OE＝OD＝OF，∴△BEO，△DFO是等边三角形，
∴∠DOF＝∠BOE＝60°，∴∠EOF＝60°，∴阴影部分的面积＝2×（S△ABD﹣S△DFO﹣S△BEO﹣S扇形OEF）
＝2×＝．
图1
图2
图3
图4
图4①
图4②
图7
图5
图6
图8
图12
图11
图10
图9
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