中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时31)§3.10圆复习（1）
【学习目标】系统地归纳总结本章的知识内容，认识知识之间的相互联系.
【学习重难点】掌握圆的有关性质、定理等知识及其简单运用.
【导学过程】
一.知识回顾
圆
二.基础练习
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
2.经过半径的外端，并且垂直于这条 半径 的直线是圆的切线.
3.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
4.如图1，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为(B)
A．30° B．45° C．55° D．60°
5.如图2，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（C）
A．30° B．45° C．60° D．70°
6.如图3，把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示．已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（ B）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
7.如图4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°,则∠D=26°．
8.如图5，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( C )
A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm
9.如图6，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，∠C=40°；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
（2）连接∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，
∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=0.5OC，
设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=0.5(r+2)，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．
三.课堂小结
本章有几条重要辅助线可添加：
①已知切点，则可连接切点与圆心；②过圆心作直线的垂线，若垂线段等于半径，则直线是圆的切线；
③已知圆的直径，则可作直径所对的圆周角；④已知弦，可过圆心作弦的垂线......
四.分层过关
1.同弧或等弧所对的圆周角相等 ，都等于它所对弧的圆心角度数的一半 .
2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；圆又是中心对称图形，圆心是它的对称中心.
3.下列说法中，结论错误的是（B）
A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
4.如图7，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（A）
A．51° B．56° C．68° D．78°
5.如图8，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（B）
A．150° B．75° C．60° D．15°
6.如图9，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，
∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，
∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OC2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，
∴cos∠COE=，∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB= 3 3﹣．
思考题：
7.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，∠D＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
证：（1）连接OC．在⊙O中，OA＝OC，∴∠ACO＝∠A，故∠COB＝2∠A．
又∵∠D＝2∠A，∴∠D＝∠COB．又∵OD⊥AB，∴∠COB＋∠COD＝90°．
∴∠D＋∠COD＝90°．即∠DCO＝90°．即OC⊥DC，又点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
∵∠DCO＝90°，∴∠DCE＋∠ACO＝90°．
又∵OD⊥AB，∴∠AEO＋∠A＝90°．
又∵∠A＝∠ACO，∠DEC＝∠AEO，
∴∠DEC＝∠DCE ∴DE＝DC．
圆定义：确定圆的两个条件圆心、半径.
弧---等弧：能够完全重合的两条弧.
圆周角：顶点在圆上且两边与圆有另外交点的角
三角形外接圆---外心
三角形内切圆---内心
基本概念
有关性质
对称性：
旋转不变性--圆周角定理及推论
不共线的三点可以确定一个圆.
圆内接四边形对角互补.
轴对称：垂径定理及逆定理：①垂直弦②平分弦....⑤经过圆心.
中心对称：圆心角，弧，弦之关系：在同（等）圆中一换三.
有关计算
弦心距、半径、弦长的关系：半径2=弦心距2+（0.5弦长）2
弧长公式：
扇形面积公式：
位置关系
点与圆
直线与圆
点在圆外（d>r）
点在圆上（d=r）
点在圆内（d相离（d>r）
相切（d=r）
相交（d切线的性质：_______________________________
切线的判定：_______________________________
切线长定理：_______________________________
图3
图2
图4
图5
图1
图6
图7
图8
图9
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时31)§3.10圆复习（1）
【学习目标】系统地归纳总结本章的知识内容，认识知识之间的相互联系.
【学习重难点】掌握圆的有关性质、定理等知识及其简单运用.
【导学过程】
一.知识回顾
圆
二.基础练习
1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___相等，所对的___相等.在同圆或等圆中，如果两个______，两条弧，两条弦，中有一组量______，那么它们所对应的其余各组量都分别______.
2.经过______的外端，并且_________这条______的直线是圆的切线.
3.平分弦（_________）的直径垂直于___，并且______所对的弧。
4.如图1，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°.若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( )
A．30° B．45° C．55° D．60°
5.如图2，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
6.如图3，把一个球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示．已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（ ）
A．2cm B．2.5cm C．3cm D．4cm
7.如图4，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°,则∠D=___°．
8.如图5，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为( )
A．6mm B．12mm C．6mm D．4mm
9.如图6，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．
（1）若∠ADE=25°，∠C=______；
（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．
三.课堂小结
本章有几条重要辅助线可添加：
①已知切点，则可连接切点与圆心；②过圆心作直线的垂线，若垂线段等于半径，则直线是圆的切线；
③已知圆的直径，则可作直径所对的圆周角；④已知弦，可过圆心作弦的垂线......
四.分层过关
1.同弧或等弧所对的圆周角______，都等于它所对弧的圆心角_________.
2.圆是__对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的______；圆又是___对称图形，___是它的对称中心.
3.下列说法中，结论错误的是（ ）
A．直径相等的两个圆是等圆 B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆中最长的弦是直径 D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧
4.如图7，AB是⊙O的直径，，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（ ）
A．51° B．56° C．68° D．78°
5.如图8，在⊙O中，，∠A＝30°，则∠B＝（ ）
A．150° B．75° C．60° D．15°
6.如图9，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互
相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．
思考题：
7.如图10，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，∠D＝2∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：DE＝DC；
圆定义：确定圆的两个条件_________.
弧---等弧：_________________________.
圆周角：_________________________________.
三角形外接圆---外心
三角形内切圆---内心
基本概念
有关性质
对称性：
旋转不变性--圆周角定理及推论
_____的三点可以确定一个圆.
圆内接四边形对角_____.
轴对称：垂径定理及逆定理：____________________________
中心对称：圆心角，弧，弦之关系：______________________.
有关计算
弦心距、半径、弦长的关系：_________________________.
弧长公式：_______________
扇形面积公式：_____________
位置关系
点与圆
直线与圆
点在圆外（d>r）
点在圆上（d=r）
点在圆内（d相离（d>r）
相切（d=r）
相交（d切线的性质：_______________________________
切线的判定：_______________________________
切线长定理：_______________________________
图3
图2
图4
图5
图1
图6
图7
图8
图9
图10
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时31)§3.10圆复习（1）
一.选择题：
1.如图1，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是(A)
A.36° B.33° C.30° D.27°
2.如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为( A )
A．6 B．3 C．6 D．12
3.如图3，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为(D )
A．60° B．75° C．70° D．65°
4.如图4，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（C）
A. B. 2 C. 2 D. 8
5.已知，如图5，点、在⊙上，直径，弦、相交于点，若，则阴影部分面积为（B）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的相邻的内对角.
7.已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是__5_．
8.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为90度.
9.正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正三角形的面积为__27__．
10.如图6，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为( C ）
A. 1 B. C. D.
三.解答题：
11.如图7，点I是的内心，AI的延长线交的外接圆于点D，交BC边于点E，
求证：（1）ID=BD （2）BD2=DA·ED
解（1）连接BI．∵I是△ABC的内心，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∵∠5=∠1，∴∠5=∠2．∵∠BID=∠3+∠2，∠DBI=∠4+∠5，
∴∠BID=∠DBI，∴ID=BD；
由（1）得：∠5=∠2．又∵∠D=∠D，
∴△BDE∽△ADB，∴BD：DE=AD：BD；∴BD2=AD DE．
12.如图8，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为何值时，BP与⊙O相切．
解：连接OP，∵当OP⊥PB时，BP与⊙O相切，∵AB=OA，OA=OP，
∴OB=2OP，∠OPB=90°；∴∠B=30°；∴∠O=60°；∵OA=6cm，
弧AP==2π，∵圆的周长为：12π，
∴点P运动的距离为2π或12π-2π=10π；
∴当t=2秒或10秒时，有BP与⊙O相切．
四.提高题：
13如图9，在△ABC中，AB=AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长C至点F，使CF=AC，连接AF.
（1）求证：ED=EC；
（2）求证：AF是☉O的切线；
解(1)∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BCD=∠ACB，∠ABC=∠ADC，∴∠BCD=∠ADC∴ED=EC；
(2)连接OA，∵AB=AC，∴OA⊥BC，
∵CA=CF，∴，
∴，∵，∴，
∴，∴，∴，∴为的切线；
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
图8
图9
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时31)§3.10圆复习（1）
一.选择题：
1.如图1，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠BCD＝54°，则∠A的度数是( )
A.36° B.33° C.30° D.27°
2.如图2，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC＝6，则CD的长为( )
A．6 B．3 C．6 D．12
3.如图3，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为( )
A．60° B．75° C．70° D．65°
4.如图4，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 8
5.已知，如图5，点、在⊙上，直径，弦、相交于点，若，则阴影部分面积为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题：
6.圆的内接四边形的对角____，并且任何一个外角等于它的____________.
7.已知三角形的边长分别为6，8，10，则它的外接圆的半径是______．
8.已知扇形的弧长为4π,半径为8,则此扇形的圆心角为________.
9.正三角形ABC内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正三角形的面积为_________．
10.如图6，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为( ）
A. 1 B. C. D.
三.解答题：
11.如图7，点I是的内心，AI的延长线交的外接圆于点D，交BC边于点E，
求证：（1）ID=BD （2）BD2=DA·ED
12.如图8，⊙O的半径为6cm，B为⊙O外一点，OB交⊙O于点A，AB=OA，动点P从点A出发，以π cm/s的速度在⊙O上按逆时针方向运动一周回到点A立即停止．当点P运动的时间为何值时，BP与⊙O相切．
四.提高题：
13如图9，在△ABC中，AB=AC，☉O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD=∠ACB交☉O于点D，连接AD交BC于点E，延长C至点F，使CF=AC，连接AF.
（1）求证：ED=EC；
（2）求证：AF是☉O的切线；
图5
图4
图3
图2
图1
图6
图7
图8
图9
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
