中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时32)§3.10圆复习（2）
【学习目标】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【学习重难点】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.一组概念——圆及其相关概念；
2.四个定理:(①垂径定理,②圆心角、弦、弧间的关系定理,③圆周角定理，④切线长定理.)
3.三个关系:(①点与圆的位置关系,②直线与圆的位置关系,③正多边形和圆的位置关系.)
4.圆与三角形:(①三角形的外接圆,②三角形的内切圆)
5.两个计算公式:(①弧长公式,②扇形面积公式.)
6.两条重要的辅助线:(①作直径所对的圆周角,②连接切点（交点）与圆心.)
7.两种思想:(分类讨论思想,方程思想.)
二.探究新知
引例：如图1.已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，CD＝，∠ACB＝30°.问题串：
1.求证：点D是BC的中点；2.求证DE是⊙O的切线；3.求⊙O的半径；4.求弧AD的长；
5.求扇形AOD的面积；6.求弧AD与线段AE和DE围成的面积；7.求证：CD2=CE×AC；
8.求△BOC的面积；9.求证AD平分∠CAB；10.求DE、AE、AD的长;11求弓形BD的面积.
解：1.证明：连接AD，则∠BDA=90°，∵AB=AC，∴BD=CD，∴点D是BC的中点.
2.证明：连接DO，则DO//AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线
3.∵CD＝，∠ACB＝30°，∴BD=，∠ABC＝30°，∴AD=1，∴AB=2，∴⊙O的半径=1.
4.弧AD的长=, 5.扇形AOD的面积= ,6.弧AD与线段AE和DE围成的面积=
7.在直角三角形ADC中，由射影定理得：CD2=CE×AC；
8.由S△ABC=，得：S△BOC=；
9.由等腰三角形底边中线、底边高线、顶角平分线三线合一得：AD平分∠CAB
10.DE=，AE=0.5，AD=1；11.弓形BD的面积=-.
练习1.如图2，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
（1）略
(2)如图，过点O作OH⊥AF于点H，则∠ODE＝∠DEH＝∠OHE＝90°，∴四边形ODEH是矩形，
∴OD＝EH，OH＝DE．∴AH＝0.5AF＝8，设AE＝x．∵DE+AE＝8，∴OH＝DE＝8﹣x，OA＝OD＝HE＝AH+AE＝8+x，
在Rt△AOH中，由勾股定理知：AH2+OH2＝OA2，即82+(8﹣x)2＝(8+x)2，
解得：x＝2，∴OA＝8+2＝10．∴⊙O的半径为10．
三.典例与练习
例1.如图3，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则30．
练习2.如图4，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是( D )A．50° B．45° C．140° D．130°
例2.已知：如图5，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AD=BD；（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O直径为18，，求DE的长.
证明：（1）连接CD∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥AB．∵AC=BC，∴AD=BD．
连接OD；∵AD=BD，OB=OC，∴OD是△BCA的中位线，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．
∵OD为半径，∴DF是⊙O的切线
（3）在Rt△BCD中，即，∴CD=6，在Rt△ACD中,，可得：．
练习3.如图6，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．
（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴．∵BD=AD，∴，∴，又∵AC=3，∴CD=2．
四.课堂小结
1．通过上面的问题你觉得圆中可能会涉及到哪些问题
①证明切线；②求半径或其他线段的长；
③求弧长或扇形面积（延伸出的弓形面积、不规则阴影部分的面积等）
2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.
五.分层过关
1.有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（B）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2.如图7，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（B ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
3.如图8，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升10或70cm．
4．如图9，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_26度．
5.如图10，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则_1_．
6.如图11，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
解（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，
∵OC∥BD，∴∠AEO=∠ADB=90°，即OC⊥AD，∴AE=ED；
∵OC⊥AD，∴ ，∴∠ABC=∠CBD=36°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°，
∴ =．
图1
图2
图3
图5
图4
图6
图10
图9
图8
图7
图11
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时32)§3.10圆复习（2）
一.选择题：
1.已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（ ）
A. 40° B. 80° C. 160° D. 120°
2.点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（ ）
A. 1cm B. 2cm C. cm D. 2cm
3.如图1，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ ）
A. 4cm B. 2cm C. cm D. cm
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ）
A. 1. 5，2.5 B. 2，5 C. 1， 2.5 D. 2，2.5
5.如图2，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ ）
A. B. 15 C. 2 D. 2.5
二.填空题：
6.如图3，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8㎝，则AC的长等于_____㎝．
7.如图4，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，若，则的度数为_____度
8.如图5，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝_____．
9.如图6，AB是⊙O的直径，OB=3，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=20°，则的长等于_____．
10.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是_____．
三.解答题：
11.如图8，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
求证：CF＝BF.
12.如图9，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）
四.提高题：
13.如图10，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）．
图3
图5
图4
图2
图1
图6
图7
图8
图9
图10
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时32)§3.10圆复习（2）
【学习目标】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【学习重难点】理解弧长和扇形面积公式，并会应用公式解决问题.
【导学过程】
一.知识回顾
1.一组概念——圆及其相关概念；
2.四个定理:(①________,②_____________________________,③__________，④________.)
3.三个关系:(①________________,②________________,③________________________.)
4.圆与三角形:(①三角形的外接圆,②三角形的内切圆)
5.两个计算公式:(①________,②________________.)
6.两条重要的辅助线:(①作直径所对的圆周角,②连接切点（交点）与圆心.)
7.两种思想:(分类讨论思想,方程思想.)
二.探究新知
引例：如图1.已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E，CD＝，∠ACB＝30°.问题串：
1.求证：点D是BC的中点；2.求证DE是⊙O的切线；3.求⊙O的半径；4.求弧AD的长；
5.求扇形AOD的面积；6.求弧AD与线段AE和DE围成的面积；7.求证：CD2=CE×AC；
8.求△BOC的面积；9.求证AD平分∠CAB；10.求DE、AE、AD的长;11求弓形BD的面积.
解：1.证明：连接AD，则∠BDA=____，∵AB=AC，∴BD__CD，∴点D是BC的中点.
2.证明：连接DO，则DO____AC，∵DE⊥AC，∴DE____DO，∵____在⊙O上，∴DE是⊙O的切线
3.∵CD＝，∠ACB＝30°，∴BD=，∠ABC＝__°，∴AD=__，∴AB=__，∴⊙O的半径=__.
4.弧AD的长=____, 5.扇形AOD的面积=____ ,6.弧AD与线段AE和DE围成的面积=_______.
7.在直角三角形________中，由射影定理得：____________；
8.由S△ABC=____，得：S△BOC=________；
9.由等腰三角形________________________________三线合一得：AD平分∠CAB
10.DE=____，AE=____，AD=__；11.弓形BD的面积=________.
练习1.如图2，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，交AC于点E，AC的反向延长线交⊙O于点F．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE+EA＝8，AF＝16，求⊙O的半径．
三.典例与练习
例1.如图3，是⊙的直径，、是⊙上的两点，，则____．
练习2.如图4，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝40°，点D是劣弧上一点，连结CD、BD，则∠D的度数是( )A．50° B．45° C．140° D．130°
例2.已知：如图5，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作DE⊥AC于点E，交BC的延长线于点F．（1）求证：AD=BD；（2）求证：DF是⊙O的切线；
（3）若⊙O直径为18，，求DE的长.
练习3.如图6，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．
四.课堂小结
1．通过上面的问题你觉得圆中可能会涉及到哪些问题
①证明切线；②求半径或其他线段的长；
③求弧长或扇形面积（延伸出的弓形面积、不规则阴影部分的面积等）
2．《圆》的内容综合性较强，在具体应用中，进一步完善知识体系构建.
五.分层过关
1.有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的说法有（ ）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2.如图7，A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是（ ）．
A．10° B．20° C．40° D．80°
3.如图8，一下水管道横截面为圆形，直径为100cm，下雨前水面宽为60cm，一场大雨过后，水面宽为80cm，则水位上升______cm．
4．如图9，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
5.如图10，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__．
思考题：
6.如图11，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连结BC．
（1）求证：AE=ED；
（2）若AB=10，∠CBD=36°，求的长．
图1
图2
图3
图5
图4
图6
图10
图8
图9
图7
图11
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
(总课时32)§3.10圆复习（2）
一.选择题：
1.已知点O为△ABC的外心，若∠A=80°，则∠BOC的度数为（C ）
A. 40° B. 80° C. 160° D. 120°
2.点P在⊙O内，OP=2cm，若⊙O的半径是3cm，则过点P的最短弦的长度为（ D ）
A. 1cm B. 2cm C. cm D. 2cm
3.如图1，将半径为的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心，则折痕的长为（ A ）
A. 4cm B. 2cm C. cm D. cm
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3， AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ C ）
A. 1. 5，2.5 B. 2，5 C. 1， 2.5 D. 2，2.5
5.如图2，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（ B）
A. B. 15 C. 2 D. 2.5
二.填空题：
6.如图3，△ABC内接于⊙O，∠B=∠OAC，OA=8㎝，则AC的长等于__㎝．
7.如图4，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，若，则的度数为_65度
8.如图5，在⊙O中，弦AB平分弦CD于E，若CD＝8，AE：EB＝1：4，则弦AB＝10．
9.如图6，AB是⊙O的直径，OB=3，BC是⊙O的弦，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接OD，若∠BAC=20°，则的长等于．
10.如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心在x轴上，且经过点A（m，﹣3）和点B（﹣1，n），点C是第一象限圆上的任意一点，且∠ACB=45°，则⊙P的圆心的坐标是（2，0）．
三.解答题：
11.如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F.
求证：CF＝BF.
证明：如图．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°.
∴∠2＝90°－∠ACE＝∠A.又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A.
∴∠1＝∠2，∴CF＝BF.
12.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．
（1）求AC的长度；
（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）
解（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=，∴OB=6，AB=2OB=12，
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；
（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，
在Rt△ACF和Rt△AOF中，∵AF=AF，AC=AO，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，
∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=，
∴，即．
四.提高题：
13.如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留）．
解：（1）证明：∵⊙O切BC于D，∴OD⊥BC，∵AC⊥BC，∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ADO，∴∠OAD=∠CAD，即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．∵∠BAC=60°，OA=OE，∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，∴AE=AO=OD，又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，∴S△AEM=S△DMO，∴S阴影=S扇形EOD=．
图3
图5
图4
图2
图1
图6
图7
图8
图9
图10
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
