河北省保定市定州市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

定州市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学（B）
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，班级、准考证号等填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）
1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
4．一条光线从点射出，与y轴相交于点，则反射光线所在直线在x轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
5．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．开普勒第一定律也称椭圆定律，轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的个焦点上．将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似成曲，行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离．若行星H的近日点距离和远日点距离之和是（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A． B． C．34 D．88
7．已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知椭圆C：的离心率为，点A，B是椭圆C的长轴顶点，直线与椭圆C交于P，Q两点，记，分别为直线AP和直线BQ的斜率，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）
9．下列命题正确的是（ ）
A．直线与直线之间的距离是
B．已知空间向量，，且，则实数
C．已知，，若直线l：与线段AB有公共点，则
D．与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有两条
10．如图，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆C：的离心率为，，，分别为椭圆的左，右焦点A，B，为椭圆上两个动点，直线l的方程为．下列说法正确的是（ ）
A．C的蒙日圆的方程为
B．对直线l上任意点P时满足
C．记点A到直线l的距离为d，则的最小值为
D．若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为
12．在棱长为2的正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．若E为的中点，则
B．点P在正方形ABCD内运动（含边界），若，则的最小值为
C．点P在正方形ABCD内运动（含边界），若，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为
D．已知过点C的平面α，M为的中点，且，若，且，则Q点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．已知直线l；与曲线有且只有一个公共点，则k的取值范围为______．
14．已知圆锥PO（P为圆锥顶点，O为底面圆心）的轴截面是边长为2的等边三角形，A，B，C为底面圆周上三点，空间一动点Q，满足，则的最小值为______．
15．某休闲广场呈椭圆形，在该椭圆的两个焦点及中心处分别安装有三盏景观灯A，B，C，其中灯B位于灯A的正东400m处，小华沿着该休闲广场的边沿散步，在散步的过程中，他与灯B的最短距离为50m，当小华行走到点M处时，他与灯A，B的距离之比为，则此时他与灯C的距离为______m．
16．已知A，B是圆M：上不同的两个动点，，O为坐标原点，则的取值范围是______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知三条直线：，：，：．
（1）若，且过点，求a、b的值；
（2）若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围．
18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，底面ABCD为直角梯形，，，，点E在棱PA上，且．
（1）证明：平面EBD；
（2）求直线PD与平面EBD所成角的余弦值．
19．（12分）已知圆C：，．
（1）证明：圆C过定点．
（2）当时，过作圆C的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程；
（3）当时，若直线l：与圆C交于M，N两点，且，其中O为坐标原点，求k的取值范围．
20．（12分）椭圆C:的一个焦点为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程和离心率；
（2）若过点且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，点P在直线上，且NP与x轴平行，求直线MP恒过的定点．
21．（12分）2023年9月23日，杭州第19届运动会开幕式现场，在AP技术加持下，寄托着古今美好心愿的灯笼升腾而起，溢满整个大莲花场馆，融汇为点点星河流向远方，绘就了一幅万家灯火的美好图景．灯笼又统称为灯彩，是一种古老的汉族传统工艺品，经过数千做年的发展，灯笼也发展出了不同的地域风格，形状也是千姿百态，每一种灯笼都具有独特的艺术表现形式．
现将一个圆柱形的灯笼切开，如图所示，用平面表示圆柱的轴截面，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为母线的中点，已知为一条母线，且．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（12分）已知椭圆E：的焦距为，点在椭圆外，O为坐标原点，OP与椭圆交于点Q，过Q作椭圆的切线l，切线斜率为．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设斜率为k的直线与椭圆E交于A，B两点，D为线段AB的中点，若E上存在点C，使得，求证：的面积为定值．
定州市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学（B）答案与解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）
1．【答案】C 【解析】在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标为．故选：C．
2．【答案】A 【解析】由题意可知直线的斜率一定存在，设倾斜角为α，则斜率为上，由，得，因此．故选：A．
3．【答案】D 【解析】易知，，所以．
因为，所以，
故在上的投影向量为．故选：D
4．【答案】B 【解析】关于y轴的对称点为，则反射光线所在直线为．
因为，所以反射光线所在直线的方程为．
令，得反射光线所在直线在x轴上的截距为．故选：B
5．【答案】B 【解析】对于A选项，因为，所以，，共面，故A错误；
对于B选项，设，则，此方程组无解，即不存在实数x，y，使得，，共面，所以，，不共面，故B正确．
对于C选项，因为，所以，，共面，故C错误；
对于D选项，因为，所以，，共面，故D错误；故选：B．
6．【答案】C 【解析】曲线为椭圆，根据椭圆方程，
得长半轴，半焦距，
近日点距离为，远日点距离为，
近日点距离和远日点距离之和是，
近日点距离和远日点距离之积是，
解得，，则．故选：C
7．【答案】D 【解析】圆M：与圆N：有两条公切线，所以圆M与N圆相交，
圆M的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为．
依题意可得，即，
即，解得．故选：D
8．【答案】C 【解析】由题意，不妨设，，
不妨设，，则，
则，，，故，同号，
故，当且仅当时取等号，
即的最小值为，故选：C
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请将正确答案的序号填涂在答题卡上．）
9．【答案】BC 【解析】对于A选项，直线，因此两平行直线的距离，故A错误；
对B选项，由于，所以，故B正确；
对C选项，由l：得：l：，∴直线l恒过定点；
∵，，
结合图象可知：，∴，故C正确；
对D选项，当直线过原点时，显然切线存在斜率，设方程为，
圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，直线方程为或，
当直线不过原点时，设直线方程为，圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，此时直线方程为，
综上所述，与圆相切，且在x轴、y轴上的截距相等的直线有四条，故D错误．
故选：BC
10．【答案】AC 【解析】因为，，
所以，，
所以，故A正确；
因为，，，
所以，
所以，故B错误；
因为，，
所以，
因为，所以，
，所以，
所以，故C正确；
因为，，
所以，故D错误．故选：AC
11．【答案】AD 【解析】对于A选项，过可作椭圆的两条互相垂直的切线：，，所以在蒙日圆上，则蒙日圆方程为：；
由得：，
所以C的蒙日圆方程为：，故A正确；
对于B选项，由l方程知：l过，
又P满足蒙日圆方程，所以在圆上，
当A，B恰为过椭圆的两条互相垂直的切线的切点时，，故B错误；
对于C选项，因为A在椭圆上，所以，
即；
当时，取得最小值，最小值为到直线l的距离，
又到直线l的距离，
所以，故C错误；
对于D选项，当矩形MNGH的四条边均与C相切时，蒙日圆为矩形MNGH的外接圆，
∴矩形MNGH的对角线为蒙日圆的直径，
设矩形MNGH的长和宽分别为x，y，则，
∴矩形MNGH的面积（当且仅当时取等号），
即矩形MNGH面积的最大值为，故D正确．故选：AD
12．【答案】ABD 【解析】对于A选项，（法一）平面，
，
在正方体中，以点D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
设平面的一个法向量为，则，
取，则，，得，
则点E到平面的距离为：，
而，，
，，故A正确；
（法二）都以作为底面，
三棱锥的高即为点B到平面距离，
三棱锥的高即为点到平面距离，
，平面，平面，
所以平面，即，得，故A正确；
对于B选项，若，连接DP，平面ABCD，则为直角三角形，
又∵，∴，
即点P在以D为圆心，DP为半径的圆上，此时点P的轨迹为弧，
∴，故B正确；
对于C选项，按照A选项的建系方法，连接AC，BD，，，
则，，，，
设，x，，则，，
当，有，
则，此时，又∵，，
设直线与直线所成角为θ，
∴
当时，有最大值，此时，故C错误．
对于D选项，按照A选项的建系方法，设，∵，
∴，
∴，
∴，∴
∴Q的轨迹是以为球心，为半径的球面，
由，，则是平面α的一个法向量，
又因为，，
∴球心E到平面α的距离，
∴平面α截球面的截面圆的半径为，
∴Q点的轨迹长度为，故D正确；故选：ABD
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的横线上．）
13．【答案】
【解析】l：，即l过定点，，即曲线为原点为圆心，3为半径的上半圆，
如图所示，设l：与曲线切于点，C曲线与横轴负半轴交于点B，
则，，故．故答案为：．
14．【答案】 【解析】因为，
所以，，所以，，共面，
又A，B，C为底面圆周上三点，所以点Q为平面ABC上一点，由已知平面ABC，
所以，又圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形，所以，
所以的最小值为，故答案为：．
15．【答案】 【解析】以点C为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设椭圆的方程为，且，
由小华与灯B的最短距离为50m，得，又，则，．
由于点M与灯A，B的距离之比为，所以可设点M与灯A，B的距离分别为，3，，
由椭圆的定义可知，解得，
所以，，
所以．
由，得
所以，即此时小华与灯C的距离为．
16．【答案】
【解析】因为，所以圆M的圆心坐标，半径，
设圆心到直线AB的距离为d，由圆的弦长公式，可得，
即，解得，设AB的中点为N，，
所以点N的轨迹表示以为圆心，以为半径的圆，
所以点N的轨迹方程为，
因为，
又因为，所以，
即，即的取值范围为．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）
解：（1）因为：，：，且，所以，
又直线过点，所以，所以，
即，即，所以或；
（2）因为，则：，：，
①当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形；
④当，，交于一点时，，则由解得与的交点，将M代入到方程解得；
综上所述：时，，，三条直线能围成三角形得a的取值范围为．
18．（12分）
解：（1）∵底面ABCD，底面ABCD，∴，
∵，，PB，平面PBD，∴平面PBD，
∵平面PBD，∴，
∵底面ABCD为直角梯形，，，，
∴在直角三角形ABD中，，，
在直角三角形CBD中，，，
设，连接AC，EG，则，
∴，∴
又平面，平面EBD，∴平面EBD；
（2）∵底面ABCD，BC，底面ABCD，∴，，
∵底面ABCD 为直角梯形，∴
以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
∴，，，∴，
设平面EBD的一个法向量为，∴，取，则，，
则平面EBD的一个法向量为，设直线PD与平面EBD所成角大小为θ，，
∵，∴，得，
故直线PD与平面EBD所成角的余弦值为．
19．（12分）
解：（1）由，
得，
令，得，解得，，
所以圆C过定点，且定点的坐标为
（2）当时，圆C的标准方程为，即，
根据切线的性质知切点分别为A，B，都在以PC为直径的圆上，设PC中点为D，即为圆心，
圆D的方程为，即，
则AB为圆C、圆D两圆的公共弦，两圆方程相减得直线AB得方程为．
（3）当时，圆C的标准方程为，即，
将代入，得．
则恒成立，
设，，则，，
所以
，
整理得，则，所以k的取值范围是（没有恒成立扣1分）
20．（12分）
解：（1）法一：由题意，可得，
则椭圆C的标准方程为C：，离心率为；
法二：设椭圆的左焦点为，
则由椭圆的定义知，
所以，又，得，则椭圆C的标准方程为C：，离心率为；
（2）因为直线MN过点且斜率不为0，
所以设方程为，，，则，
联立，消去x得，，
所以，所以，
直线MP方程为，由对称性可知直线MP恒过的定点在x轴上，
所以令，得，且，
所以，
可得，直线MP恒过的定点．
21．（12分）
解：（1）因为，平面ABC，BC是圆柱底面的直径，
所以，则，，，
则有，所以；
又E为的中点所以，，，，
则有，所以；
又，所以平面AEO，平面，所以平面平面；
（2）由题意可知，平面ABC，，
以A为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
则，，，，，
，，．
由（1）知，平面OAE的一个法向量为
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
所以，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
22．（12分）
解：（1）法一：由题意知，解得，
设点Q坐标为，则过点Q作椭圆的切线l方程为，
所以切线l的斜率为，
又O，P，Q三点共线，所以，所以，即，
又，，所以，，
故椭圆E的标准方程为．
法二：由题意知，解得，由O，P，Q三点共线，设点Q坐标为，
又Q为椭圆E上的点，所以有，解得，
过Q作椭圆的切线l，切线斜率为，故设切线l的方程为，
联立消去x得
则，
即，代入，化简得，
即，得，又，，所以，，
故椭圆E的标准方程为
（2）设直线AB的方程为，，，
由，消去y得
又，得，
设，则，．
由，可得O为的重心，
所以，且，
，
故由在椭圆E上，得，得，
又原点O到直线l的距离为，
所以，故为定值．