宁夏回族自治区固原市彭阳县2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

彭阳县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，共60分．
第一部分：单选题，共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2．已知点、，点关于轴对称的点为，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知直线：，和直线：垂直，则（ ）．
A. B. C. 或 D.
4．已知，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
5．同时掷红、蓝两枚质地均匀的骰子，事件A表示“两枚骰子的点数之和为5”，事件B表示“红色骰子的点数是偶数”，事件C表示“两枚骰子的点数相同”，事件D表示“至少一枚骰子的点数是奇数”. 则下列说法中正确的是（ ）
①A与C互斥 ②B与D对立 ③A与D相互独立 ④B与C相互独立
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6．经过三个点的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知直线：和点，，若l与线段相交，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
第二部分：多选题，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分
9．已知向量，，，则（ ）
A. 向量，的夹角为 B. ∥
C. D.
10．下列命题正确是（ ）
A. 任何直线方程都能表示为一般式
B. 两条直线相互平行的充要条件是它们的斜率相等
C. 直线与直线的交点坐标是
D. 直线方程可化为截距式为
11．下列说法中正确的是（ ）
A. 若向量共线，则向量所在的直线平行
B. 已知不共面，则一定能构成空间的一个基底
C. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
D. 若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线充要条件
12．长方体中，，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，下列说法正确的是（ ）
A. B. 的最大值为0
C. 三角形BNC面积的最大值为 D. 三棱锥的体积不变
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知圆的方程为，则圆的半径为___________
14．从装有个红球和个蓝球（除颜色外完全相同）的盒子中任取两个球，则选到的两个球颜色相同的概率为___________.
15.直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的取值范围___________.
16．自然界中，构成晶体的最基本的几何单元称为晶胞，其形状一般是平行六面体，具体形状大小由它的三组棱长a、b、c及棱间交角、、（合称为“晶胞参数”）来表征.如图是某种晶体的晶胞，
其中，，，，，
则该晶胞的对角线的长为__________ .
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（10分）17.已知向量，，，且．
（1）求实数的值；
（2）若，求实数的值．
18.（12分）已知直线和直线的交点为.
（1）求过点且与直线平行的直线方程；
（2）若直线 与直线垂直，且到 的距离为 ，求直线的方程
19．（12分）在长方体中，，，与交于点，点为中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
20．（12分）为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
21.（12分）如图,在三棱柱中,侧面底面ABC, ,且,O为AC中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值;
(2)在上是否存在一点E,使得平面,若不存在,
说明理由;若存在,确定点E的位置.
22.（12分）已知直线的方程为：．
（1）求证：不论为何值，直线必过定点；
（2）过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．
彭阳县2023-2024学年高二上学期期中考试
数学答题卡
班级： 姓名： 得分：
一、选择题：本大题共12小题，共60分．
第一部分：单选题，共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C C B C D D
第二部分：多选题，共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
题号 9 10 11 12
答案 BC AC BCD AD
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13、 3 ； 14、 0.4 ；
15、 ［0,2］ ； 16、 ；
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分10分）
(1):因为，所以，使得，
所以有，解得，所以，.
(2):由（1）知，，所以，.
因为，所以，
即，解得.
18.（本小题满分12分）
(1):由解得,所以，
设所求直线为,
因为直线过点，所以解得，
所以所求直线方程为.
(2):直线 与直线垂直,所以可设为，
又因为到 的距离等于，解得或，
所以所求直线方程为或.
19．（本小题满分12分）
(1)证明：在长方体中，因为平面，平面，所以，
因为为正方形，所以，
因为，平面
所以平面
(2)以为坐标原点，、、分别为、、轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，；
，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，即，
设平面的法向量为，则
，令，则，即，
，所以，平面与平面的夹角的余弦值为.
20．（本小题满分12分）
解：（1）设事件表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件表示“乙在第二轮比赛中胜出”，
则表示“甲赢得比赛”， ，
表示“乙赢得比赛“，，
，派甲参赛赢得比赛的概率更大．
（2）设表示“甲赢得比赛”， 表示“乙赢得比赛”，
由（1）知， 表示“两人中至少有一个赢得比赛”，
．
21.（本小题满分12分）
（1）如图，因为，且O为AC的中点，所以平面平面，交线为，且平面，所以平面.
以O为原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.由题意可知，又
所以得:
则有：
设平面的一个法向量为，则有
，令，得
所以.
因为直线与平面所成角和向量与所成锐角互余，所以.
（2）设 即，得 所以得 令OE平行平面，得，
即得即存在这样的点E，E为的中点.
22.（本小题满分12分）
（1）证明：直线的方程为：
提参整理可得：．令，可得，
不论为何值，直线必过定点.
（2）设直线的方程为．令 则，令．则，直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．
当且仅当，即时，三角形面积最小．此时的方程为