重庆市九龙坡区等地2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

重庆市九龙坡区等地2024届高三上学期期中考试
数学试题
（数学试题卷共6页，考试时间120分钟，满分150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设均为非空集合，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题，命题：复数为纯虚数，则命题是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知向量的夹角为，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．《几何原本》卷2中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这种方法，很多代数的公理或定理都通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设．则该图形可以完成的无字证明是（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列均为等差数列，且，设数列前项的和为，则（ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
6．函数的最大值为（ ）
A．2 B． C．0 D．
7．为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（ ）
A．60种 B．150种 C．180种 D．300种
8．已知函数，若方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（ ）
A．样本的众数为70
B．样本的分位数为78.5
C．估计该市全体学生成绩的平均分为70.6
D．该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人
10．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增
B．的图象向右平移个单位长度后所得图像关于轴对称
C．若对任意实数都成立，则
D．方程有3个不同的实数根
11．甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球次后球仍回到甲手里的概率为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．的展开式中的系数为______．
14．曲线在处的切线的倾斜角为，则______．
15．定义：在数列中，，其中为常数，则称数列为“等比差”数列，已知“等比差”数列中，，则______．
16．若是定义在上的函数，且为奇函数，为偶函数．则在区间上的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）在中，内角的对边分别为．
（1）求；
（2）若，点在边上，且，求面积的最大值．
18．（12分）2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
男生 女生 合计
喜欢 120 100 220
不喜欢 80 100 180
合计 200 200 400
（1）根据表中数据，采用小概率值的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
（2）为弄清学生不喜欢电子竞技的原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为，求的数学期望．
参考公式及数据：，其中．
0.15 0.10 0.05 0.025 0.01
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
19．（12分）已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，若对任意都有成立，求实数的取值范围．
20．（12分）当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
编号 1 2 3 4 5 6
企业总数量（单位：百个） 50 78 124 121 137 352
（1）若用模型拟合与的关系，根据提供的数据，求出与的经验回归方程；
（2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
参考数据：，其中，
参考公式：对于一组数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为
21．（12分）已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若函数在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；
（3）若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
22．（12分）已知函数．
（1）若函数是减函数，求的取值范围；
（2）若有两个零点，且，证明：．
重庆市九龙坡区等地2024届高三上学期期中考试
数学仅供参考
1-8CCBB DABA 9-12BC BC ACD BD
13．10 14． 15．399 16．
19．（2）由（1）知，
，
，
，
．
因此，
当，即，
，即．
最大项，．
21．（1）若时，，则，
，
在点处的切线方程为，即．
（2）函数，则，
令得，
①若，则在上恒成立，
此时在上单调递增，无极值，不符合题意，
②若，则与的情况如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
若在上恰有一个极小值点，则需满足，，
即实数的取值范围为．
（3），可化为，
又，
即对于任意恒成立，
令，则，
，
又，
在上单调递减，，，
即实数的取值范围为．
22．（2）若有两个零点，则，得．，令，则，得，
则．
令，则，令，则，
在上单调递增，，
则在上单调递增，，即，故证得！