黑龙江省鹤岗市2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意求集合A，再结合并集运算求解.
2．已知中，，则角的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求sinA，再结合大边对大角分析求解.
3．已知角的终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据任意角三角函数的定义可得，利用诱导公式结合两角和差公式运算求解.
4．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：．若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设某人交谈时的声强为，则 ，解得（），
则火箭发射时的声强 为，
所以 火箭发射时的声强级（ ）.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合对数的定义和运算求解，先求某人交谈时的声强（），进而可得火箭发射时的声强 和声强级.
5．已知角A、B、C为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【知识点】余弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，则或，
又因为 ，则，可得，
且在上单调递减，
所以，即 一定是 等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形角的关系，利用诱导公式可得，再结合余弦函数的单调性分析判断.
6．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到，
再把所得图象向右平移2个单位长度，得到，
可知的最小正周期为，
且，
即
由，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象变换可得，结合函数周期性运算求解.
7．（2023高一下·滁州）已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．3 C．或3 D．1或3
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知，即有唯一解，令，则在R上有唯一零点，
，
为偶函数，要使在R上有唯一零点，则有，解得或，
当时，，，当时，又为偶函数，在单调递增，在单调递减，满足在R上有唯一零点，
当时，，，当时，又为偶函数，在单调递增，在单调递减，满足在R上有唯一零点，或.
故答案为：D.
【分析】将问题转化为方程有一个解，令，根据函数的奇偶性得进而求解判断.
8．，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，则，即，
所以，
令，则对任意恒成立，
可知在上单调递减，则，即，
所以，即，所以，
令，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，则，即，
所以，所以，
综上所述： .
故答案为：D.
【分析】构建函数，，利用导数结合单调性可得；构建，利用导数结合单调性可得.
二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则（ ）
A．是周期为2的周期函数 B．的值域为
C．是图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，则，
又因为 函数是定义在上的奇函数， 则，
可得，所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
对于B：因为当时，，
且函数是定义在上的奇函数， 则，
可得当时，，
且 ，即 关于直线对称，
可知当时，，即当时，，
结合函数周期可知 的值域为，故B正确；
对于C：因为 关于直线对称，且关于原点对称，
则 关于直线对称，结合周期为4可知 是图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：因为关于原点对称，且 关于直线对称，
所以 的图象关于点对称，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】对于A：根据奇函数结合周期性定义分析判断；对于B：根据函数解析式结合函数性质逐项分析判断BCD.
10．已知，则实数满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， 则，可知，
对于A：因为，故A正确；
对于B：
对于C： ，故C错误；
对于B，D：因为，当且仅当，即时等号成立，
但 ，则，可得 ，
且 ，可得，故B错误，D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意可得，对于A：根据对数函数单调性结合中间值2分析判断；对于C：结合对数运输分析判断；对于BD：根据，结合基本不等式分析判断.
11．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
【答案】B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为
，
对于A：的最小正周期为，故A错误；
对于B： 把的图象向左平移个单位长度，
得到，为偶函数，
所以 得到的图象关于轴对称，故B正确；
对于C：因为，则，
若在区间上的最大值是， 则，解得，
所以 的最小值为，故C错误；
对于D：因为，
可得关于点对称
若 ，则 ，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】利用三角恒等变换整理得，对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断；对于C：根据正项函数的图象和最值分析判断；对于D：根据三角函数的对称性分析判断.
12．函数在上有两个零点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上有2个极值点且
【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两角和与差的正切公式；函数与方程的综合运用；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，则，
所以原题意等价于函数的图象在上有两个不同的交点，
当时，则；当时，则；
如图所示，要满足题意，需满足与在间的图象相切于点，
由图象可知，
当时，则，可得，
则切点为，斜率，
则切线方程为，即，
可得，整理得.
对于A：当时，则，且，
令，
则对任意恒成立，
可知在上单调递减，
且，
所以在内存在唯一零点 ，故A错误；
对于B：因为当时，，
则，即；
当时，，
则，可得；
所以，故B错误；
对于C：由，则 ，故C正确；
对于D，当时，，
则，
因为，则有：
当时，，当时，，
所以在内单调递减，在内单调递增，
可知函数在内的有且仅有一个极小值点，无极大值点；
当时，，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
可知函数在内的有且仅有一个极小值点，无极大值点；
综上所述： 在上有2个极值点 ，
则，所以 ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可知原题意等价于函数的图象在上有两个不同的交点，结合导数的几何意义分析可得.对于A：因为，构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性分析说明；对于B：根据题意分析可得，，代入运算即可；对于C：根据两角和差公式运算求解；对于D：利用导数判断原函数的单调性和极值，可知，代入运算即可.
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点 ．
【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若 幂函数在上单调递增，
则，解得，
对于 （且），令，即，可得，
所以的图象过定点 .
故答案为： .
【分析】根据幂函数的定义和性质可得，再结合对数函数求定点.
14．某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为 ．
【答案】30
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，可知，则，
在中，可知，，
由正弦定理，
可得
在中，可知，
可得，
所以学校天文台的高度为30.
故答案为：30.
【分析】 在中可得，在中利用正弦定理求出，然后在中可求出CD的长.
15．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：函数的图象与直线有四个不同的交点，
且直线过定点，
作出函数的图象，
可知，且函数的图象与直线在内有两个交点，
令，整理得，
可得，解得，
所以 实数的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意可知函数的图象与直线有四个不同的交点，结合图象可得函数的图象与直线在内有两个交点，结合二次函数零点分布运算求解.
16．锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【解答】解：因为 ， 且， 则，
由正弦定理可得，整理得，
又因为，则，可得，即，
则 ，
因为 锐角中， 则，解得，
则，可得，可知 ，
所以 的取值范围为
故答案为： .
【分析】根据题意可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，整理得，结合三角函数运算求解.
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的单调递减区间．
【答案】（1）解：因为，，
所以，所以的最小正周期是；
（2）解：令，，解得，，令，则
由于，所以的减区间为．
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 利用三角恒等变换整理得 ，进而可求最小正周期；
(2) 先求 的 单调递减区间，结合 分析求解.
18．已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点，为图象的最高点，且的面积为．
（1）求的解析式及其单调递增区间．
（2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值．
【答案】（1）解：由题意，函数，可得的高为2，的面积为，
即，可得，∴，∴，则，
∵图象与轴交于点，可得，即，∵，∴，
故的解析式为，
令解得，
故的单调递增区间为．
（2）解：将的图象向右平移个单位长度，可得，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得
∴函数，由，即，∴，∵，则，所以．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合五点法求函数解析式 ， 结合正弦函数单调性求单调递增区间；
(2)根据三角函数图象变换可得 ，进而可得 ，根据同角三角关系运算求解.
19．已知函数，其中，且．
（1）当时，求；
（2）设，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数．
【答案】（1）解：由，，
可得
．
则当时，．
（2）解：由（1）可得，当时，，则当时，
，
则当时，数列的前项和，
又当时，，
由恒成立，可得，解之得，
则当时，使得恒成立的的最小整数为2．
当时，成立，综上，使得恒成立的的最小整数为2．
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等差数列求和公式运算求解；
(2) 分 和时两种情况，由（1）可得 ，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解.
20．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
【答案】（1）解：在、、、中，
，
所以，
又在、、、中，
，
所以，
又
所以，所以．
（2）解：由题意可得，所以，
即，所以，又点为线段的中点，即，所以，又，则，设且，
由，所以，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得②，
在中，由正弦定理可得③，
且，
②③得，即④
由①④解得（负值舍去），即
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 (1) 利用面积公式可得 ，， 即可得到 ，同理得到 ， 结合角度关系分析证明；
(2) 由（1）可得 ， 即可得到 ，设OA=x，OC=y，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出x，y，再由余弦定理计算可得.
21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为4．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点．
【答案】（1）解：由的离心率为，可得，所以，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为4，令代入抛物线的方程：
可得，所以，即，解得，所以，
由可得，所以椭圆和抛物线的方程分别为：；
（2）解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，由题意可得，直线与椭圆联立：，
整理可得：，
可得，
直线的方程为：，
整理可得：
所以当时，，即过定点，所以可证直线过定点．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由题意可得 ， ， 进而可得p，c的关系，结合通径和抛物线方程运算求解，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；
(2) 设直线的方程为：，，， 由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.
22．已知函数．（为自然对数的底数）
（1）当时，求函数的极大值；
（2）已知，且满足，求证：．
【答案】（1）解：当时，，定义域为，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为；
（2）解：由题意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，令，又，所以，则，
①若，则，即，所以；
②若，设，且满足，如图所示，
则，所以，下证：．
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，所以，，，
所以，即，又因为，所以，即．
由①②可知，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)， 求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；
(2) 根据题意整理得 ，构建 ， 利用导数判断其单调性， 令 ，分 ， 两种情况， 设，且满足， 结合单调性可得 ，即可得结果.
1 / 1黑龙江省鹤岗市2023-2024学年高三上册数学开学试卷
一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知中，，则角的值是（ ）
A． B． C．或 D．或
3．已知角的终边上一点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功．载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足关系式：．若某人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与此人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A． B． C． D．
5．已知角A、B、C为的三个内角，若，则一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
6．把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移2个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2023高一下·滁州）已知函数的图象和函数的图象有唯一交点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．3 C．或3 D．1或3
8．，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共4个小题，每题5分，共20分）
9．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则（ ）
A．是周期为2的周期函数 B．的值域为
C．是图象的一条对称轴 D．的图象关于点对称
10．已知，则实数满足（ ）
A． B． C． D．
11．已知，下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称
C．若在区间上的最大值是，则的最小值为
D．若，则
12．函数在上有两个零点，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上有2个极值点且
三、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．幂函数在上单调递增，则（且）的图象过定点 ．
14．某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点M（B、M、D三点共线）处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为 ．
15．已知函数，若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是 ．
16．锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围为 ．
四、解答题（本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）当时，求函数的单调递减区间．
18．已知函数的部分图象如图所示．该图象与轴交于点，与轴交于两点，为图象的最高点，且的面积为．
（1）求的解析式及其单调递增区间．
（2）若将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．若，求的值．
19．已知函数，其中，且．
（1）当时，求；
（2）设，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数．
20．射影几何学中，中心投影是指光从一点向四周散射而形成的投影，如图，为透视中心，平面内四个点经过中心投影之后的投影点分别为．对于四个有序点，定义比值叫做这四个有序点的交比，记作．
（1）证明：；
（2）已知，点为线段的中点，，求．
21．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，的离心率为，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为4．
（1）求椭圆和抛物线的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，点关于轴的对称点为点，证明：直线过定点．
22．已知函数．（为自然对数的底数）
（1）当时，求函数的极大值；
（2）已知，且满足，求证：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由题意可知： ，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意求集合A，再结合并集运算求解.
2．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理，可得，
因为，则，所以.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求sinA，再结合大边对大角分析求解.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的正切公式；任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意可知：，
所以 .
故答案为：B.
【分析】根据任意角三角函数的定义可得，利用诱导公式结合两角和差公式运算求解.
4．【答案】C
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的概念与表示；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：设某人交谈时的声强为，则 ，解得（），
则火箭发射时的声强 为，
所以 火箭发射时的声强级（ ）.
故答案为：B.
【分析】根据题意结合对数的定义和运算求解，先求某人交谈时的声强（），进而可得火箭发射时的声强 和声强级.
5．【答案】C
【知识点】余弦函数的性质；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：因为，则或，
又因为 ，则，可得，
且在上单调递减，
所以，即 一定是 等腰三角形.
故答案为：C.
【分析】根据三角形角的关系，利用诱导公式可得，再结合余弦函数的单调性分析判断.
6．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 把函数图象上所有点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，
得到，
再把所得图象向右平移2个单位长度，得到，
可知的最小正周期为，
且，
即
由，可得 .
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象变换可得，结合函数周期性运算求解.
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意知，即有唯一解，令，则在R上有唯一零点，
，
为偶函数，要使在R上有唯一零点，则有，解得或，
当时，，，当时，又为偶函数，在单调递增，在单调递减，满足在R上有唯一零点，
当时，，，当时，又为偶函数，在单调递增，在单调递减，满足在R上有唯一零点，或.
故答案为：D.
【分析】将问题转化为方程有一个解，令，根据函数的奇偶性得进而求解判断.
8．【答案】D
【知识点】导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：令，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，则，即，
所以，
令，则对任意恒成立，
可知在上单调递减，则，即，
所以，即，所以，
令，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，则，即，
所以，所以，
综上所述： .
故答案为：D.
【分析】构建函数，，利用导数结合单调性可得；构建，利用导数结合单调性可得.
9．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：对于A：因为 ，则，
又因为 函数是定义在上的奇函数， 则，
可得，所以 是周期为4的周期函数，故A错误；
对于B：因为当时，，
且函数是定义在上的奇函数， 则，
可得当时，，
且 ，即 关于直线对称，
可知当时，，即当时，，
结合函数周期可知 的值域为，故B正确；
对于C：因为 关于直线对称，且关于原点对称，
则 关于直线对称，结合周期为4可知 是图象的一条对称轴，故C正确；
对于D：因为关于原点对称，且 关于直线对称，
所以 的图象关于点对称，故D正确；
故答案为：BCD.
【分析】对于A：根据奇函数结合周期性定义分析判断；对于B：根据函数解析式结合函数性质逐项分析判断BCD.
10．【答案】A,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用；对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为 ， 则，可知，
对于A：因为，故A正确；
对于B：
对于C： ，故C错误；
对于B，D：因为，当且仅当，即时等号成立，
但 ，则，可得 ，
且 ，可得，故B错误，D正确；
故答案为：AD.
【分析】根据题意可得，对于A：根据对数函数单调性结合中间值2分析判断；对于C：结合对数运输分析判断；对于BD：根据，结合基本不等式分析判断.
11．【答案】B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为
，
对于A：的最小正周期为，故A错误；
对于B： 把的图象向左平移个单位长度，
得到，为偶函数，
所以 得到的图象关于轴对称，故B正确；
对于C：因为，则，
若在区间上的最大值是， 则，解得，
所以 的最小值为，故C错误；
对于D：因为，
可得关于点对称
若 ，则 ，故D正确；
故答案为：BD.
【分析】利用三角恒等变换整理得，对于A：根据正弦型函数的最小正周期分析判断；对于B：根据三角函数图象变换结合诱导公式分析判断；对于C：根据正项函数的图象和最值分析判断；对于D：根据三角函数的对称性分析判断.
12．【答案】A,C,D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；两角和与差的正切公式；函数与方程的综合运用；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，则，
所以原题意等价于函数的图象在上有两个不同的交点，
当时，则；当时，则；
如图所示，要满足题意，需满足与在间的图象相切于点，
由图象可知，
当时，则，可得，
则切点为，斜率，
则切线方程为，即，
可得，整理得.
对于A：当时，则，且，
令，
则对任意恒成立，
可知在上单调递减，
且，
所以在内存在唯一零点 ，故A错误；
对于B：因为当时，，
则，即；
当时，，
则，可得；
所以，故B错误；
对于C：由，则 ，故C正确；
对于D，当时，，
则，
因为，则有：
当时，，当时，，
所以在内单调递减，在内单调递增，
可知函数在内的有且仅有一个极小值点，无极大值点；
当时，，则，
当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
可知函数在内的有且仅有一个极小值点，无极大值点；
综上所述： 在上有2个极值点 ，
则，所以 ，故D正确；
故答案为：ACD.
【分析】根据题意可知原题意等价于函数的图象在上有两个不同的交点，结合导数的几何意义分析可得.对于A：因为，构建，利用导数判断其单调性，结合零点存在性分析说明；对于B：根据题意分析可得，，代入运算即可；对于C：根据两角和差公式运算求解；对于D：利用导数判断原函数的单调性和极值，可知，代入运算即可.
13．【答案】
【知识点】对数函数的图象与性质；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若 幂函数在上单调递增，
则，解得，
对于 （且），令，即，可得，
所以的图象过定点 .
故答案为： .
【分析】根据幂函数的定义和性质可得，再结合对数函数求定点.
14．【答案】30
【知识点】正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，可知，则，
在中，可知，，
由正弦定理，
可得
在中，可知，
可得，
所以学校天文台的高度为30.
故答案为：30.
【分析】 在中可得，在中利用正弦定理求出，然后在中可求出CD的长.
15．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：函数的图象与直线有四个不同的交点，
且直线过定点，
作出函数的图象，
可知，且函数的图象与直线在内有两个交点，
令，整理得，
可得，解得，
所以 实数的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】根据题意可知函数的图象与直线有四个不同的交点，结合图象可得函数的图象与直线在内有两个交点，结合二次函数零点分布运算求解.
16．【答案】
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理
【解析】【解答】解：因为 ， 且， 则，
由正弦定理可得，整理得，
又因为，则，可得，即，
则 ，
因为 锐角中， 则，解得，
则，可得，可知 ，
所以 的取值范围为
故答案为： .
【分析】根据题意可得，利用正弦定理结合三角恒等变换可得，整理得，结合三角函数运算求解.
17．【答案】（1）解：因为，，
所以，所以的最小正周期是；
（2）解：令，，解得，，令，则
由于，所以的减区间为．
【知识点】三角函数的化简求值；含三角函数的复合函数的单调性；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【分析】 (1) 利用三角恒等变换整理得 ，进而可求最小正周期；
(2) 先求 的 单调递减区间，结合 分析求解.
18．【答案】（1）解：由题意，函数，可得的高为2，的面积为，
即，可得，∴，∴，则，
∵图象与轴交于点，可得，即，∵，∴，
故的解析式为，
令解得，
故的单调递增区间为．
（2）解：将的图象向右平移个单位长度，可得，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），可得
∴函数，由，即，∴，∵，则，所以．
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合五点法求函数解析式 ， 结合正弦函数单调性求单调递增区间；
(2)根据三角函数图象变换可得 ，进而可得 ，根据同角三角关系运算求解.
19．【答案】（1）解：由，，
可得
．
则当时，．
（2）解：由（1）可得，当时，，则当时，
，
则当时，数列的前项和，
又当时，，
由恒成立，可得，解之得，
则当时，使得恒成立的的最小整数为2．
当时，成立，综上，使得恒成立的的最小整数为2．
【知识点】等差数列的前n项和；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合等差数列求和公式运算求解；
(2) 分 和时两种情况，由（1）可得 ，利用裂项相消法可得，结合恒成立问题分析求解.
20．【答案】（1）解：在、、、中，
，
所以，
又在、、、中，
，
所以，
又
所以，所以．
（2）解：由题意可得，所以，
即，所以，又点为线段的中点，即，所以，又，则，设且，
由，所以，
即，解得①，
在中，由正弦定理可得②，
在中，由正弦定理可得③，
且，
②③得，即④
由①④解得（负值舍去），即
所以．
【知识点】正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 (1) 利用面积公式可得 ，， 即可得到 ，同理得到 ， 结合角度关系分析证明；
(2) 由（1）可得 ， 即可得到 ，设OA=x，OC=y，利用余弦定理与正弦定理得到方程组，求出x，y，再由余弦定理计算可得.
21．【答案】（1）解：由的离心率为，可得，所以，因为椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，所以，过的右焦点且垂直于轴的直线截所得的弦长为4，令代入抛物线的方程：
可得，所以，即，解得，所以，
由可得，所以椭圆和抛物线的方程分别为：；
（2）解：由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，由题意可得，直线与椭圆联立：，
整理可得：，
可得，
直线的方程为：，
整理可得：
所以当时，，即过定点，所以可证直线过定点．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 由题意可得 ， ， 进而可得p，c的关系，结合通径和抛物线方程运算求解，再由a，b，c的关系求出椭圆的方程及抛物线的方程；
(2) 设直线的方程为：，，， 由题意可得E的坐标，将直线与椭圆联立可得两根之和及两根之积，求出直线AE的直线方程，将两根之和及之积代入可得恒过定点.
22．【答案】（1）解：当时，，定义域为，
则，
所以在上单调递增，在上单调递减，故的极大值为；
（2）解：由题意知，，由可得，
所以，令，
由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减，则，令，又，所以，则，
①若，则，即，所以；
②若，设，且满足，如图所示，
则，所以，下证：．
令，
则，
所以在上单调递增，所以，
所以，即，
又因为，所以，，，
所以，即，又因为，所以，即．
由①②可知，得证．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1)， 求导，利用导数判断原函数的单调性和最值；
(2) 根据题意整理得 ，构建 ， 利用导数判断其单调性， 令 ，分 ， 两种情况， 设，且满足， 结合单调性可得 ，即可得结果.
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