北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期中检测
数 学
2023．11
2022．4
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）斜率为的直线的倾斜角为
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知两个向量，且，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是
（A）至多一次中靶 （B）两次都中靶
（C）只有一次中靶 （D）两次都没有中靶
（4）点到直线的距离等于
（A） （B）
（C） （D）
（5）圆关于点中心对称的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（6）“”是“直线和直线垂直”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（7）已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为
（A） （B）
（C） （D）
（8）在空间直角坐标系中，已知若点在平面 内，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是
（A）存在点，使
（B）三棱锥的体积随动点变化而变化
（C）直线与所成的角不可能等于
（D）存在点，使平面
（10）如图，已知两点，从点射出的光线经直线
反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光
线所经过的路程等于
（A） （B）
（C） （D）
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）直线的一个方向向量的坐标为 ．
（12）在空间直角坐标系中，已知，，，则的坐标为 ．
（13）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另
一个端点的轨迹方程为 ．
（14）甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下:若射击
一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击. 已知甲、乙
二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击
中1次的概率是 ；第3次由甲射击的概率是 ．
（15）在平面直角坐标系中，定义两点间的直角距离
为. 如图，是圆当
时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为
中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线，则
；若为曲线上任一点，则的最大值为 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
已知中，点，点，点．
（Ⅰ）求边上的高所在直线的方程；
（Ⅱ）求角平分线所在直线的方程．
（17）（本小题14分）
有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.用表示试的样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字. 设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”.
（Ⅰ）写出这个试验的样本空间；
（Ⅱ）分别求出的值；
（Ⅲ）判断事件和事件是否相互独立，并说明理由.
（18）（本小题14分）
在长方体中，，是的中点．以为原点，
,,所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（Ⅰ）写出在平面上的投影向量的坐标；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.
（19）（本小题14分）
已知圆经过点和点，且圆心在直线上.
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
（20）（本小题15分）
如图，在三棱柱中, 平面,,, 分别是的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：平面；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使得平面与平面
的夹角为？若存在, 求的值；若不存在,请说明理由.
（21）（本小题14分）
已知直线的方程分别是，点的坐标为.过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数
（Ⅰ）若，且为线段中点，求实数的值及的面积；
（Ⅱ）是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；
若不存在，说明理由．参考答案与评分标准
高二数学
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A D C B A D A D B
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（答案不唯一）
（12）
（13）或除去点
（14）；
（15）；
注：14、15题第一空3分，第二空2分.
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共14分）
解：(Ⅰ) 因为点，点,所以边所在直线斜率，
所以边上的高所在直线的斜率，且过点.
所以边上的高所在直线的方程为． …………7分
（Ⅱ）由得，所以角平分线的倾斜角为，
所以角平分线所在直线的斜率.
又因为角平分线过点，
所以角平分线所在直线的方程为. …………7分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）依题意试验的样本空间为：.…………4分
（Ⅱ）因为，
所以
因为，所以…………6分
（III）因为，
所以事件和事件相互独立. …………4分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）依题意：，，．
所以，…………2分
因为在长方体中，平面，
所以在平面上的投影向量为坐标为.………4分
（Ⅱ）由题意知，，，，
所以，．
设平面的法向量为，则
所以
所以
令，则．
所以是平面的一个法向量．
因为，
所以到平面的距离为
． …………5分
（III）设直线与平面所成角为，则
．
直线与平面所成角的正弦是．…………5分
（19）（共14分）
解：（Ⅰ）设圆的方程为，
圆心为.
由题意得，解得.
所以圆的方程为. ……7分
（Ⅱ）设点的坐标是，点的坐标是.
由于点的坐标是，且是线段的中点，
所以.
于是有. ①
因为点在圆上运动，所以点的坐标满足圆的方程，
即. ②
把①代入②，得，
整理，得.……7分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）因为在三棱柱中，平面，
所以平面．又，
所以．
故两两垂直．
以为原点，所在直线为轴、轴、轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，
所以.
因为，
所以，即. ……4分
（Ⅱ）设平面的法向量为，则
因为，
所以 取则.
所以是平面的一个法向量.
因为，
所以.又因为平面，
所以平面. …………5分
（III）设点满足，，
则.
设平面的一个法向量为，则
因为
所以 取则.
所以是平面的一个法向量.
由（1）得，是平面的一个法向量，
则平面与平面的夹角就是与的夹角或其补角.
若平面与平面的夹角为，则
.
解得
所以，在棱上存在点,使得平面与平面的夹角为，
此时. …………6分
（21）（共14分）
解：（Ⅰ）因为直线 l过点，且斜率为，
所以直线的方程为.
因为直线与分别交于点，所以 ，
所以由 得 ，即 ，
由 得 ，即.
又因为的纵坐标均为正数，
所以 ，即，
而 ，因此
若时，，，
又点为线段中点，所以解得.
所以，.
所以，的面积. …………6分
（Ⅱ）假设存在满足题意的 ，使得的值与无关．
由（Ⅰ）知：， ，且
因此，，
所以
又因为 ，所以当时，为定值，
所以存在实数，使得的值与无关．…………8分
