四川省达州外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

达州外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
考试时间：120分钟；满分：150分
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).
1．已知点，则直线的斜率是（ ）
A． B． C．3 D．
2．直线，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．或1
3．如图，空间四边形OABC中，，，，点M在上，且，点N为BC中点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．刘老师在课堂中与学生探究某个圆时，有四位同学分别给出了一个结论.
甲：该圆经过点; 乙：该圆的半径为;
丙：该圆的圆心为; 丁：该圆经过点.
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
7．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．碳是一种非金属单质，它是由个碳原子构成，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则其六元环的个数为（ ）
A．12 B．20 C．32 D．60
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．已知i是虚数单位，若，则（ ）
A．复数z的虚部为 B．
C．复数z对应的点在第二象限 D．
10．已知直线：在轴上的截距是轴上截距的2倍，则的值可能是（ ）
A． B．0 C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
12．已知点，动点满足，则下面结论正确的为（ ）
A．点的轨迹方程为 B．点到原点的距离的最大值为5
C．面积的最大值为4 D．的最大值为18
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，答案填在答题卡对应题号后的横线上）．
13．圆C的方程是，则圆的半径是 .
14．直线与平行，则的值为 .
15．唐代诗人李颀的诗《古从军行》：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 .
16．如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．（本小题10分）设直线与相交于一点.
（1）求点的坐标；
（2）求经过点，且垂直于直线的直线的方程.
18．（本小题12分）为进一步增强流感高发期间群众的预防流感意识，使广大群众充分了解流感相关知识，提高预防能力，做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行流感防控科普知识问答，共有 100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分 100 分）分成 ，，，，，这六组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计这 100 人问答成绩的平均数 (同一组数据用该组数据的中点值代替）；
(2)用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.
19．（本小题12分）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
20．（本小题12分）已知，，
(1)求的面积；
(2)求的外接圆方程.
21．（本小题12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且为的中点，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
22．（本小题12分）直线的方程为.
(1)证明：直线过定点；
(2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴 轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程
参考答案：
1．D
2．C
3．B
4．A
5．D
6．B
7．C
8．B
9．AD
10．AC
11．BCD
12．ABD
13．
14．
15．4
16．
17．（1）；（2）.
【详解】（1）由，解得，因此，点的坐标为；
（2）直线的斜率为，垂直于直线的直线斜率为，
则过点且垂直于直线的直线的方程为，
即：.
【点睛】本题两直线交点坐标的计算，同时也考查了直线的垂线方程的求解，解题时要将两直线的垂直关系转化为斜率关系，考查计算能力，属于基础题.
18．(1)，72
(2)
【详解】（1）由图可知，，解得，
估计这人问答成绩的平均数为：
.
（2）由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为 5 的样本，
则问答成绩在内的有(人)，分别记为、，
问答成绩在 内的有(人)，分别记为、、，
从中任意抽取 2 人，则实验的样本空间为：
共有 个样本点.
设事件 为 2 人的问答成绩均在内，则，
所以这 2 人的问答成绩均在 内的概率.
19．（1）证明见解析；（2）．
【详解】（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因为，所以，即．
故四棱锥的体积．
[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法
由（2）知,所以．
建立如图所示的平面直角坐标系，设．
因为，所以，，，．
从而．
所以，即．下同方法一.
[方法三]【最优解】：空间直角坐标系法
建立如图所示的空间直角坐标系，
设，所以，，，，．
所以，，．
所以．
所以，即．下同方法一.
[方法四]：空间向量法
由，得．
所以．
即．
又底面，在平面内，
因此，所以．
所以，
由于四边形是矩形，根据数量积的几何意义，
得，即．
所以，即．下同方法一.
【整体点评】(2)方法一利用相似三角形求出求出矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法二构建平面直角坐标系，利用直线垂直的条件得到矩形的另一个边长，从而求得该四棱锥的体积；
方法三直接利用空间直角坐标系和空间向量的垂直的坐标运算求得矩形的另一个边长,为最常用的通性通法，为最优解；
方法四利用空间向量转化求得矩形的另一边长.
20．(1)15
(2)
【详解】（1）由题意可得：直线AB的斜率，，
则直线AB的方程为，即，
点到直线AB的距离，
故的面积为.
（2）设的外接圆方程为，
则可得，解得，
故的外接圆方程，即.
21．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）连接与交于点，连接
为三棱柱，为平行四边形，点为的中点
又为的中点，则，
又平面平面，平面．
（2）解法1：
，面
面，
，，即
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
面，则平面的一个法向量为
设平面的法向量为，则，即
令
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的余弦值是．
解法2：设点为的中点，点为的中点，
连接交于点，连接，
设点为的中点，连接
点为的中点，点为的中点
且，点为的中点
为矩形，
又平面，
在中，，可得
为等腰直角三角形，其中
而点为的中点，且
点为的中点，点为的中点
且，
又在Rt中，，点为的中点，
在中，，且点为的中点
且
即为平面与平面的夹角
在中，
．
平面与平面的夹角的余弦值是．
22．(1)证明见解析
(2)，
【详解】（1）直线的方程变形为为，
由，得到，
又时，恒成立，
故直线恒过定点.
（2）由，
令，得到，令，得到，
由，得到，
所以，，
令，得到，
当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，
又，，
所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为