人教A版数学必修第一册达标自测5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式（含解析）

第五章　5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、选择题
1．若sin＝，则cos α等于(　　)
A．－ B．－
C． D．
2．(2021·全国高考乙卷文科)cos 2－cos 2＝(　　)
A． B．
C． D．
3．函数y＝的最小正周期是(　　)
A． B．
C．π D．2π
4．sin 2α＝－，则cos2的值为(　　)
A．－ B．－
C． D．
5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于(　　)
A． B．－
C． D．－
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　　)
A． B．
C． D．
7．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
8．若sin＝，则sin＝(　　)
A． B．
C． D．
9．(多选题)下列各式中，值为的是(　　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
10．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
二、填空题
11．若sin ＝， 则cos 2θ＝ ．
12．计算：tan －＝ ．
13．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝ ．
14．若tan＝，则tan 2α＋＝ ．
15．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝ ；sin θ＝ ．
16．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝ ．
三、解答题
17．已知π<α<，cos α＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)tan.
18．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
19．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 2α的值；
(3)求α－β的值．
第五章　5.5.1 第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式
一、选择题
1．若sin＝，则cos α等于(　C　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　cos α＝1－2sin2＝1－2×＝.
2．(2021·全国高考乙卷文科)cos 2－cos 2＝(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意，cos 2－cos 2＝cos 2－cos 2＝cos 2－sin 2＝cos＝.故选D．
3．函数y＝的最小正周期是(　B　)
A． B．
C．π D．2π
[解析]　y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.
4．sin 2α＝－，则cos2的值为(　C　)
A．－ B．－
C． D．
[解析]　cos2＝
＝＝＝.
5．若△ABC的内角A满足sin 2A＝，则sin A＋cos A等于(　A　)
A． B．－
C． D．－
[解析]　∵sin 2A＝2sin Acos A＝，
∴sin Acos A＝.
∵在△ABC中，00，
∴cos A>0，
∴sin A＋cos A＝＝＝＝.
6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　C　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，
∴tan 2α＝tan [(α＋β)＋(α－β)]
＝＝－1，
又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.
7．已知锐角α的终边经过点P(cos 50°，1＋sin 50°)，则锐角α等于(　C　)
A．10° B．20°
C．70° D．80°
[解析]　由三角函数的定义tan α＝＝＝＝＝＝tan 70°.
所以α＝70°.
8．若sin＝，则sin＝(　D　)
A． B．
C． D．
[解析]　由题意及诱导公式可得
sin＝cos＝
cos，
又由余弦的倍角公式，可得cos＝1－2sin2＝1－2×＝，
即sin＝.
9．(多选题)下列各式中，值为的是(　BC　)
A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°
C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°
[解析]　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．
10．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　BCD　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
[解析]　因为f(x)＝＝＝－tan x，
所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD．
二、填空题
11．若sin ＝， 则cos 2θ＝－．
[解析]　由sin＝cos θ＝，
得cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－.
12．计算：tan －＝－2．
[解析]　原式＝＝＝－2.
13．若cos 2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝．
[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos 2θ＝－，
∴sin22θ＝1－cos22θ＝.
∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.
14．若tan＝，则tan 2α＋＝2．
[解析]　由tan＝＝，可求得tan α＝，
∴tan 2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.
15．若θ∈，sin 2θ＝，则cos 2θ＝－；sin θ＝．
[解析]　∵θ∈，
∴2θ∈，∴cos 2θ≤0.
∴cos 2θ＝－
＝－＝－.
又∵cos 2θ＝1－2sin2θ，
∴sin2θ＝＝＝，
∴sin θ＝.
16．在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则cos＝－1．
[解析]　由题意知cos θ＝，sin θ＝，
∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－，
sin 2θ＝2sin θcos θ＝，
∴cos＝cos 2θcos－sin 2θ·sin＝－×－×＝－1.
三、解答题
17．已知π<α<，cos α＝－，求下列各式的值：
(1)；
(2)tan.
[解析]　(1)＝＝，
由π<α<，cos α＝－，可得：sin α＝－，
∴原式＝＝6.
(2)由(1)知：tan α＝，
tan＝＝＝7.
18．已知函数f(x)＝cos2－sin cos －.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
[解析]　(1)因为f(x)＝cos2－sin cos －＝(1＋cos x)－sin x－＝cos ，
所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知，f(α)＝cos ＝，
所以cos ＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos 2＝1－2cos2＝1－＝.
19．已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求tan 2α的值；
(2)求cos 2α的值；
(3)求α－β的值．
[解析]　(1)tan 2α＝＝；
(2)因为α为锐角，且tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，
所以cos 2α＝2cos 2α－1＝2×－1＝.
(3)由(1)知，sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝，
因为α，β为锐角，cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，
sin(α－β)＝sin [2α－(α＋β)]＝sin 2α·cos(α＋β)－cos 2αsin(α＋β)＝×－×＝－，又α，β为锐角，
∴α－β∈，故α－β＝－.