人教A版数学必修第一册达标自测5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)（含解析）

第五章　5.6函数y＝Asin(ωx＋φ)
一、选择题
1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　　)
A．　 B．
C． D．
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin 　　 B．y＝sin x－
C．y＝sin D．y＝sin x＋
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为(　　)
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A．2，2 B．2，1
C．4，2 D．2，4
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　　)
A．2 B．4　
C．6 D．8
5．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
6．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的一个对称中心是(　　)
A． B．
C． D．
7．(2021·全国高考乙卷理科)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
8．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　　)
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A．点 B．点
C．点 D．点
10．(多选题)(2021·山东济南高一月考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．g(x)在上的最小值为－
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为
D．g(x)在上的最大值为1
二、填空题
11．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝．初相φ＝ ．
12．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为 ．
13．(2021·全国高考甲卷文科)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝ ．
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14．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为 ．
15.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝ ．
16．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为 ．
三、解答题
17．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
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18．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
19．已知函数f(x)＝sin ＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
第五章　5.6
一、选择题
1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　A　)
A．　 B．
C． D．
[解析]　令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.
2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　C　)
A．y＝sin 　　 B．y＝sin x－
C．y＝sin D．y＝sin x＋
[解析]　函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象．
3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为(　A　)
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A．2，2 B．2，1
C．4，2 D．2，4
[解析]　由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，
∴ω＝＝2，故选A．
4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)
A．2 B．4　
C．6 D．8
[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，
则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.
5．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　D　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
[解析]　C1：y＝cos x＝sin.
即y＝sin
y＝sin
＝sin 2
y＝sin 2＝sin 2.
6．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的一个对称中心是(　B　)
A． B．
C． D．
[解析]　函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：y＝sin，再向右平移个单位得到图象的解析式y＝sin＝sin 2x，当x＝时，y＝sin π＝0，所以是函数y＝sin 2x的一个对称中心．故选B．
7．(2021·全国高考乙卷理科)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　B　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
[解析]　解法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，
根据已知得到了函数y＝sin的图象，
所以f＝sin，
令t＝2，则x＝＋，x－＝＋，
所以f(t)＝sin，所以f(x)＝sin.
解法二：由已知的函数y＝sin逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，
即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin.
故选B．
8．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　B　)
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A．点 B．点
C．点 D．点
[解析]　由函数图象知A＝2，由图象过点(0，)，可得2sin φ＝，即sin φ＝.
由于|φ|<，得φ＝，即f(x)＝2sin.
由2x＋＝kπ，k∈Z可解得x＝－，k∈Z.
故f(x)的图象的对称中心点，k∈Z.
当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心是点.
9．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)(　BD　)
A．在区间上单调递减
B．在区间上单调递增
C．在区间上单调递减
D．在区间上单调递增
[解析]　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，函数f(x)的图象过点P(0，1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在，上单调递增．
10．(多选题)(2021·山东济南高一月考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　AD　)
A．g(x)在上的最小值为－
B．g(x)在上的最小值为－1
C．g(x)在上的最大值为
D．g(x)在上的最大值为1
[解析]　f(x)左移个单位，得到函数g(x)＝sin 2，即g(x)＝sin，当0≤x≤时，≤2x＋≤，故－≤sin≤1，当2x＋＝，x＝时g(x)max＝1，当2x＋＝，x＝时g(x)min＝－.故选AD．
二、填空题
11．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝．初相φ＝．
[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝.
12．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为y＝－cos__2x．
[解析]　把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象．
13．(2021·全国高考甲卷文科)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝－．
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21GK1.TIF" \* MERGEFORMATINET
[解析]　由题意可得：T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，
当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，
∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，
令k＝1可得：φ＝－，据此有：f(x)＝2cos，f＝2cos＝2cos＝－.故答案为：－.
14．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y＝cos．
15.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝－．
[解析]　由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是奇函数，可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A>0，ω>0)．由△EFG是边长为2的等边三角形，可得A＝，周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.
16．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为②④．
[解析]　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．
三、解答题
17．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\20Y29.TIF" \* MERGEFORMATINET
[解析]　方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，
∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.
又＝，
∴图象上的最高点为，
∴＝sin，
即sin＝1，可取φ＝－，
故函数的一个解析式为y＝sin.
方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得
解得
故函数的一个解析式为y＝sin.
18．已知函数y＝3sin.
(1)用“五点法”画函数的图象；
(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．
[解析]　(1)列表：
x－ 0 π 2π
x
y 0 3 0 －3 0
描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.
连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\W15a.TIF" \* MERGEFORMATINET
这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图象．
(2)①把y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；
②把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；
③将y＝sin的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．
19．已知函数f(x)＝sin ＋.
(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；
(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；
(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．
[解析]　(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，
所以对称中心为(k∈Z)．
(3)当sin＝－1，
即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，
所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.
20．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)．
(1)求f(x)的解析式及x0的值；
(2)求f(x)的单调增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．
[解析]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．
INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "H:\\111111\\111111\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\MMMMMMMMM\\原稿\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\成才之路数学必修第一册RJA\\新建文件夹\\21WY62.TIF" \* MERGEFORMATINET
由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，
∴4π＝，即ω＝，
∴f(x)＝2sin，
∴f(0)＝2sin φ＝1，
又∵|φ|<，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin.
∵f(x0)＝2sin＝2，
∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.
∴x0＝4kπ＋，k∈Z，
又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点，
∴x0＝.
(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，
∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，
故f(x)的值域为[－，2]．