四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题
1．（2023高二下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023高二下·达州期末）复数，则的虚部是（ ）
A．bi B． C．0 D．
3．（2023高二下·达州期末）某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围（单位：cm）
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（ ）
A．165 B．167 C．170 D．173
4．（2023高二下·达州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高二下·达州期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B． C． D．15
6．（2023高二下·达州期末）某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（ ）
A．72 B．36 C．18 D．24
7．（2023高二下·达州期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2023高二下·达州期末）桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9．（2023高二下·达州期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高二下·达州期末）在棱长为1的正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023高二下·达州期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023高二下·达州期末）设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
13．（2023高二下·达州期末）已知向量，满足，，，则 ．
14．（2023高二下·达州期末）曲线在点处的切线方程是 ．
15．（2023高二下·达州期末）某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
16．（2023高二下·达州期末）已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来 ．
17．（2023高二下·达州期末）已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（2023高二下·达州期末）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计
（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
19．（2023高二下·达州期末）已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．
（1）证明：；
（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
20．（2023高二下·达州期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
（1）求E的标准方程；
（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
21．（2023高二下·达州期末）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．
22．（2023高二下·达州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．
23．（2023高二下·达州期末）已知函数，函数的最小值为k．
（1）求k的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】∵B={x|（x+1)(x+2)≤ 0}={x|-2≤x≤-1}， A={0，1，2}.
∴ A∩B= .
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵z=2+bi
∴=2-bi
∴=(2+bi)(2-bi)=4+b2
∴只有实部4+b2，所以虚部为0.
故选：C.
【分析】先通过复数z求出对应的共轭复数，再对进行乘法计算.
3．【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据题意，随机抽取的学生总人数为5+40+40+10+5=100人，
由加权平均数定义可估计该地区高三学生的平均身高为：
；
故答案为：B 。
【分析】根据加权平均数的定义可计算出该地区高三学生的平均身高。
4．【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据诱导公式可知，
，
再利用二倍角公式可知，
.
故选A.
【分析】先使用诱导公式，再使用二倍角公式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】由于(1-2x+x2)3表示3个因式(1-2x+x2)的乘积，
所以它的展开式中，要想得到含x3的项，可分为两种情况：
①3个因式都取-2x；
②有一个因式取x2，一个因式取-2x，还有一个因式取1；
根据组合的定义可得x3的系数为： ；
故答案为：B 。
【分析】由题意，利用乘方的意义，组合数公式，计算求得结果.
6．【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意可分2步进行：
①四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，
且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为1，1，2，则有种分组方法；
②将分好的三组对应三个项目，有A3=6种对应方法；
根据乘法原理，则四名同学所有可能选择的方案有：6×6=36种.
故答案为：B .
【分析】按照1，1，2把4人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案。
7．【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵ x=c与曲线C的一个交点为P，
∴ PF2⊥x轴，则 ；
由双曲线的性质定义可得 ；
又∵|PF1|=3|PF2|，
∴ ；化简得a=b；
∴离心率 ；
故答案为：C。
【分析】由题意可得|PF2|的大小，再由双曲线的定义可得|PF1|的大小，再由题意可得a，b的关系，进而可得双曲线的离心率 。
8．【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系；进行简单的合情推理
【解析】【解答】对于①，其正面是小写字母，所以无论①的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；
对于②，其正面是大写字母，如果②的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；
对于③，其正面是3，如果③的背面是大写字母，则命题是真命题，否则命题是假命题；
对于④，其正面是6，无论④的背面是大写字母还是小写字母，都无法判断命题的真假；
综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是②③；
故选：B
【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果。
9．【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】∵ ；
∴ bccos（π-A）=-4 ；
即bccosA=4 ；
又 ∵ ；
∴ ；
∴
又∵ ；
∴ ；
∴ bc = 8 ；
则
故答案为：D 。
【分析】根据数量积及面积公式列方程求得 ，利用射影定理化简式子，代入求解即可。
10．【答案】D
【知识点】几何概型；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】如图，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则有C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，
∴， ；；；
∵，，.
∴；
∴ ；
设B1P与AD所成角为θ，则 ；
又∵B1P与AD所成角小于等于，
∴，
即，
即，
即，
设目标函数；
由题，满足的约束条件为
则z的可行域如下图所示
由图可知z为图中阴影部分的区域，
则， ；
根据几何概型可知， 与所成角小于等于的概率为，
即在满足条件的P中随机取一点，B1P与AD所成角小于等于的概率为.
故答案为：D.
【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出 ， 设B1P与AD所成角为θ，则，依题意可得，即可得到，再根据几何概型的概率公式计算可得.
11．【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知椭圆的两条相互垂直的切线的交点P轨迹为：，
圆心为（0，0），半径=2，
在圆上总存在点P，
圆心为（4，3），半径=r，
点P同时存在两个圆上，说明两圆一定有交点，
，
，
.
故选：D.
【分析】先利用椭圆可知a，b的值，代入求出P的轨迹：圆的方程，从而得到圆心坐标以及半径，再根据两圆存在公共点，得到圆心距与半径之间的关系，最后求出r的范围.
12．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ 集合的子集个数为2n，
∴， ，；
对于①，当k=1时， ；
∴；
又∵当时，，
∴是函数的一个对称中心 ，故①正确；
对于②，当 时，，
根据余弦函数的性质，在上不单调，
故函数在上不是单调函数，故②错误；
对于③，由题
当cosx=1时，f2(x)取最大值，所以当时，f2(x)取最小值，即函数f2(x)的值域是，故③正确；
对于④，由题 ，故④正确；
综上，真命题为 ①③④ ，故答案为C.
【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得 ，
对于①②，根据余弦函数的图象与性质判断即可；
对于③，根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可；
对于④，根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.
13．【答案】7
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知向量 ， ，可得；
∵ ；
∴=3×2+1-k=0，解得k=7.
故答案为：7.
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.
14．【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题 的导函数 ，
当x=2时，求得切线斜率；
所以曲线 在点 (2，8) 处的切线方程是y-8=13(x-2) ，
化简得13x-y-18=0.
故答案为：13x-y-18=0.
【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.
15．【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意可知，正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，要使内壁最小，正四面体刚好内接于该圆柱的内切球，
如图，作正四面体，作平面，
，
.
设半径为r，
，
故填：.
【分析】结合题意画图，作出平面ABC的高，再通过勾股定理，求出PH的值，二次使用勾股定理，求出球的半径，进一步得出内壁高.
16．【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据函数有两个零点，得，即，问题可转化为y=m与有两个交点；
令，
作出g(x)的图象，直线y=m与g(x)的图象有两个交点，
由图可知0
又∵
∴由图可知0由图可得 ，
∴，即 ；
令x1+4=k，x2+1=n，则，；
则a=2kn，b=n2k，c=k2n，利用由函数y=2x与y=x2在上的图象.
当2x=x2，解得x=2或x4，
由图可知当0x2；当24时，2x>x2 .
由题 c=k2n=(k2)n，a=2kn=(2k)n，
∵ 4∴ k2<2k，即(k2)n＜(2k)n，
∴c由题a=2kn=(2n)k，b=n2k=(n2)k
∵ 2∴ 2n∴ (2n)k<(n2)k，即a综上，c故答案为：c【分析】由 ，得 ，令 ，借助g(x)的图象可得x1，x2的范围，令x2+1=n，x1+4=k，则a=2kn，b=n2k，c=k2n，利用由函数y=2x与y=x2在上的图象得出的结论，以及指数幂运算和函数的单调性可比较大小.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵等差数列前五项和为15，且，
∴，解得，
∴，
∵等比数列的前三项积为8，且，
∴，∴，
∴．
（2）解：，
即，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可得到等差数列{an}的通项公式，再设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，根据题干已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，即可得到等比数列{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{Cn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Sn.
18．【答案】（1）解：根据题意，选考物理的考生有人，
选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
因为，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.
（2）解：在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，
易知，随机变量服从二项分布，即，
所以可取0，1，2，3，
，，
，.
分布列如下：
0 1 2 3
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)根据题意完成2×2列联表，再根据公式计算出，然后与10.828比较即可得出判断；
(2)因为任取一人物理和政治都选了的概率，且且变量X符合二项分布，即X~B(3，)，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列，然后计算数学期望即可.
19．【答案】（1）证明：连接，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，
所以，且是的中点，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面，因为平面，
所以.
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，即，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
则为PB与底面ABCD所成角，故，
因为，所以，则，
因为分别是的中点，则，所以平面ABCD，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
，
因为二面角的大小为锐角，
故二面角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1)连接AC，BD，AC∩BD=O，根据题意可知AC⊥BD，PO⊥AC，所以AC⊥平面PBD，从而得结论；
(2)根据条件可证PD⊥平面ABCD，所以∠PBD为PB与底面ABCD所成角，可得PD=BD=2，由OE II PD，可得OE⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OA、OB、OE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAE、平面AED的法向量，利用向量夹角公式求解.
20．【答案】（1）解：抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）解：由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由抛物线的性质及题意可得的值，进而可得p的值，得出抛物线的方程；
(2)设直线l1的方程，与抛物线的方程联立，由韦达定理可得两根之和，再弦长公式得|AC|的表达式，同理可得弦长|BD|的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式，可得面积的最小值.
21．【答案】（1）解：，的定义域是，，
当时，在递增，
当时，令，解得：，
当时，递增；当时，递减，
综上：当时，在递增；
当时，在递增，在递减.
（2）解：因为，
所以，
若函数存在极大值点，
则有零点，且零点左侧导数大于0，右侧导数小于0．
令得，
记，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即在上单调递减，
则，且，时，时，
作出的图象如图所示，则，且．
又，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增，
而，即，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)先求出函数的导数，再通过分情况讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据题意，求出g(x)表达式，再求其导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数，数形结合 ，且 ；又，所以，设，由函数的单调性可得 ，进而得实数a的取值范围.
22．【答案】（1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），
把代入方程得：，
所以曲线C的极坐标方程是.
（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：
，设点所对参数分别为，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据恒过定点P(3，1) 设立参数方程，根据直角坐标转换为极坐标，再将极坐标代入后得到极坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，将第一问中得到的直线的参数方程代入圆的方程，结合韦达定理进行化简，最后根据函数的定义域，求出表达式最小值.
23．【答案】（1）依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以k的值为3.
（2）由（1）知，，而均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，
所以当时，取得最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式公式求最小值
（2）根据柯西不等式求最小值
1 / 1四川省达州市2022-2023学年高二下学期期末监测数学（理）试题
1．（2023高二下·达州期末）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】∵B={x|（x+1)(x+2)≤ 0}={x|-2≤x≤-1}， A={0，1，2}.
∴ A∩B= .
故选：A.
【分析】先通过一元二次不等式求出集合B，再求出集合A和集合B的交集.
2．（2023高二下·达州期末）复数，则的虚部是（ ）
A．bi B． C．0 D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】∵z=2+bi
∴=2-bi
∴=(2+bi)(2-bi)=4+b2
∴只有实部4+b2，所以虚部为0.
故选：C.
【分析】先通过复数z求出对应的共轭复数，再对进行乘法计算.
3．（2023高二下·达州期末）某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围（单位：cm）
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是（ ）
A．165 B．167 C．170 D．173
【答案】B
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】根据题意，随机抽取的学生总人数为5+40+40+10+5=100人，
由加权平均数定义可估计该地区高三学生的平均身高为：
；
故答案为：B 。
【分析】根据加权平均数的定义可计算出该地区高三学生的平均身高。
4．（2023高二下·达州期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】根据诱导公式可知，
，
再利用二倍角公式可知，
.
故选A.
【分析】先使用诱导公式，再使用二倍角公式即可求解.
5．（2023高二下·达州期末）的展开式中，的系数为（ ）
A．20 B． C． D．15
【答案】B
【知识点】二项式系数
【解析】【解答】由于(1-2x+x2)3表示3个因式(1-2x+x2)的乘积，
所以它的展开式中，要想得到含x3的项，可分为两种情况：
①3个因式都取-2x；
②有一个因式取x2，一个因式取-2x，还有一个因式取1；
根据组合的定义可得x3的系数为： ；
故答案为：B 。
【分析】由题意，利用乘方的意义，组合数公式，计算求得结果.
6．（2023高二下·达州期末）某市2023年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试.如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选择的方案为（ ）
A．72 B．36 C．18 D．24
【答案】B
【知识点】排列及排列数公式；组合及组合数公式；简单计数与排列组合
【解析】【解答】根据题意可分2步进行：
①四名同学在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目考试，
且每个项目至少有一名同学报名，可以把四名同学分成三组，人数分别为1，1，2，则有种分组方法；
②将分好的三组对应三个项目，有A3=6种对应方法；
根据乘法原理，则四名同学所有可能选择的方案有：6×6=36种.
故答案为：B .
【分析】按照1，1，2把4人分层三组，将分好的三组对应三个项目，由分步计数原理计算可得答案。
7．（2023高二下·达州期末）已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线与C的一个交点为P，，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】∵ x=c与曲线C的一个交点为P，
∴ PF2⊥x轴，则 ；
由双曲线的性质定义可得 ；
又∵|PF1|=3|PF2|，
∴ ；化简得a=b；
∴离心率 ；
故答案为：C。
【分析】由题意可得|PF2|的大小，再由双曲线的定义可得|PF1|的大小，再由题意可得a，b的关系，进而可得双曲线的离心率 。
8．（2023高二下·达州期末）桌上放着4张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个0到9的整数数字，小明只能看到卡片的一面．下面的4张卡片，要判断命题“卡片的一面是大写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【知识点】四种命题的真假关系；进行简单的合情推理
【解析】【解答】对于①，其正面是小写字母，所以无论①的背面是奇数还是偶数，都无法判断命题的真假；
对于②，其正面是大写字母，如果②的背面是奇数，则命题是真命题，否则命题是假命题；
对于③，其正面是3，如果③的背面是大写字母，则命题是真命题，否则命题是假命题；
对于④，其正面是6，无论④的背面是大写字母还是小写字母，都无法判断命题的真假；
综上，要验证命题的真假，至少要翻开的是②③；
故选：B
【分析】根据题目信息进行合情推理，能求出结果。
9．（2023高二下·达州期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；数量积表示两个向量的夹角；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】∵ ；
∴ bccos（π-A）=-4 ；
即bccosA=4 ；
又 ∵ ；
∴ ；
∴
又∵ ；
∴ ；
∴ bc = 8 ；
则
故答案为：D 。
【分析】根据数量积及面积公式列方程求得 ，利用射影定理化简式子，代入求解即可。
10．（2023高二下·达州期末）在棱长为1的正方体中，点满足，，．在满足条件的中随机取一点，与所成角小于等于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何概型；异面直线；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】如图，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则有C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，
∴， ；；；
∵，，.
∴；
∴ ；
设B1P与AD所成角为θ，则 ；
又∵B1P与AD所成角小于等于，
∴，
即，
即，
即，
设目标函数；
由题，满足的约束条件为
则z的可行域如下图所示
由图可知z为图中阴影部分的区域，
则， ；
根据几何概型可知， 与所成角小于等于的概率为，
即在满足条件的P中随机取一点，B1P与AD所成角小于等于的概率为.
故答案为：D.
【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出 ， 设B1P与AD所成角为θ，则，依题意可得，即可得到，再根据几何概型的概率公式计算可得.
11．（2023高二下·达州期末）椭圆任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆上总存在点P，使得过点P能作椭圆的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意可知椭圆的两条相互垂直的切线的交点P轨迹为：，
圆心为（0，0），半径=2，
在圆上总存在点P，
圆心为（4，3），半径=r，
点P同时存在两个圆上，说明两圆一定有交点，
，
，
.
故选：D.
【分析】先利用椭圆可知a，b的值，代入求出P的轨迹：圆的方程，从而得到圆心坐标以及半径，再根据两圆存在公共点，得到圆心距与半径之间的关系，最后求出r的范围.
12．（2023高二下·达州期末）设表示集合的子集个数，，，其中.给出下列命题：
①当时，是函数的一个对称中心；②时，函数在上单调递增；③函数的值域是；④对任意的实数x，任意的正整数k，恒成立.
其中是真命题的为（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数恒成立问题；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】∵ 集合的子集个数为2n，
∴， ，；
对于①，当k=1时， ；
∴；
又∵当时，，
∴是函数的一个对称中心 ，故①正确；
对于②，当 时，，
根据余弦函数的性质，在上不单调，
故函数在上不是单调函数，故②错误；
对于③，由题
当cosx=1时，f2(x)取最大值，所以当时，f2(x)取最小值，即函数f2(x)的值域是，故③正确；
对于④，由题 ，故④正确；
综上，真命题为 ①③④ ，故答案为C.
【分析】根据子集个数确定数列通项公式，求得 ，
对于①②，根据余弦函数的图象与性质判断即可；
对于③，根据二倍角的余弦公式，结合二次函数的最值判断即可；
对于④，根据余弦函数的有界性及等比数列求和判断即可.
13．（2023高二下·达州期末）已知向量，满足，，，则 ．
【答案】7
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】由已知向量 ， ，可得；
∵ ；
∴=3×2+1-k=0，解得k=7.
故答案为：7.
【分析】根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.
14．（2023高二下·达州期末）曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【知识点】简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】由题 的导函数 ，
当x=2时，求得切线斜率；
所以曲线 在点 (2，8) 处的切线方程是y-8=13(x-2) ，
化简得13x-y-18=0.
故答案为：13x-y-18=0.
【分析】先求导数，得切线斜率，利用点斜式可得方程.
15．（2023高二下·达州期末）某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为4 cm的正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
【答案】
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】由题意可知，正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，要使内壁最小，正四面体刚好内接于该圆柱的内切球，
如图，作正四面体，作平面，
，
.
设半径为r，
，
故填：.
【分析】结合题意画图，作出平面ABC的高，再通过勾股定理，求出PH的值，二次使用勾股定理，求出球的半径，进一步得出内壁高.
16．（2023高二下·达州期末）已知，是函数的两个零点，且，记，，，用“＜”把a，b，c连接起来 ．
【答案】
【知识点】指数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】根据函数有两个零点，得，即，问题可转化为y=m与有两个交点；
令，
作出g(x)的图象，直线y=m与g(x)的图象有两个交点，
由图可知0又∵
∴由图可知0由图可得 ，
∴，即 ；
令x1+4=k，x2+1=n，则，；
则a=2kn，b=n2k，c=k2n，利用由函数y=2x与y=x2在上的图象.
当2x=x2，解得x=2或x4，
由图可知当0x2；当24时，2x>x2 .
由题 c=k2n=(k2)n，a=2kn=(2k)n，
∵ 4∴ k2<2k，即(k2)n＜(2k)n，
∴c由题a=2kn=(2n)k，b=n2k=(n2)k
∵ 2∴ 2n∴ (2n)k<(n2)k，即a综上，c故答案为：c【分析】由 ，得 ，令 ，借助g(x)的图象可得x1，x2的范围，令x2+1=n，x1+4=k，则a=2kn，b=n2k，c=k2n，利用由函数y=2x与y=x2在上的图象得出的结论，以及指数幂运算和函数的单调性可比较大小.
17．（2023高二下·达州期末）已知等差数列前五项和为15，等比数列的前三项积为8，且．
（1）求和的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
∵等差数列前五项和为15，且，
∴，解得，
∴，
∵等比数列的前三项积为8，且，
∴，∴，
∴．
（2）解：，
即，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】(1)先设等差数列{an}的公差为d，根据题干已知条件列出关于公差d的方程，解出d的值，即可得到等差数列{an}的通项公式，再设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)，根据题干已知条件列出关于公比q的方程，解出q的值，即可得到等比数列{bn}的通项公式；
(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{Cn}的通项公式，再运用错位相减法即可计算出前n项和Sn.
18．（2023高二下·达州期末）某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目.现从该地区已选科的学生中随机选出200人，对其选科情况进行统计，选考物理的占，选考政治的占，物理和政治都选的有80人.
（1）完成选考物理和政治的人数的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合计
（2）在该地区已选科的考生中随机选出3人，这3人中物理和政治都选了的考生的人数为X，视频率为概率，求X的分布列和数学期望.
附：参考数据和公式：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，其中.
【答案】（1）解：根据题意，选考物理的考生有人，
选考政治的考生有人，列联表补充完整如下：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
因为，
所以在犯错误概率不超过的前提下，可以认为考生选考物理与选考政治有关.
（2）解：在该地区已选科的考生中随机选出1人，则物理和政治都选了的概率，
易知，随机变量服从二项分布，即，
所以可取0，1，2，3，
，，
，.
分布列如下：
0 1 2 3
则.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】(1)根据题意完成2×2列联表，再根据公式计算出，然后与10.828比较即可得出判断；
(2)因为任取一人物理和政治都选了的概率，且且变量X符合二项分布，即X~B(3，)，所以根据二项分布的概率计算公式列出分布列，然后计算数学期望即可.
19．（2023高二下·达州期末）已知四棱锥的底面ABCD是边长为2的菱形，且，，，E为PB中点．
（1）证明：；
（2）若PB与底面ABCD所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因为底面ABCD是边长为2的菱形，
所以，且是的中点，
因为，所以，
又因为平面，
所以平面，因为平面，
所以.
（2）解：因为，所以，
又因为，所以，即，
因为平面ABCD，所以平面ABCD，
则为PB与底面ABCD所成角，故，
因为，所以，则，
因为分别是的中点，则，所以平面ABCD，
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
设平面的法向量为，
由，令，则，，
，
因为二面角的大小为锐角，
故二面角的余弦值为．
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】(1)连接AC，BD，AC∩BD=O，根据题意可知AC⊥BD，PO⊥AC，所以AC⊥平面PBD，从而得结论；
(2)根据条件可证PD⊥平面ABCD，所以∠PBD为PB与底面ABCD所成角，可得PD=BD=2，由OE II PD，可得OE⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以OA、OB、OE所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PAE、平面AED的法向量，利用向量夹角公式求解.
20．（2023高二下·达州期末）已知抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
（1）求E的标准方程；
（2），，交E于A，C两点，交E于B，D两点．求四边形ABCD的面积的最小值．
【答案】（1）解：抛物线的焦点，准线．
∵抛物线上任意一点M到焦点F的距离比M到y轴的距离大1．
根据抛物线的定义可知，，∴，
∴抛物线E的标准方程为.
（2）解：由题可知均有斜率且斜率不为零，且过焦点，
设，，，设，
由，消可得，
∴，，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
当且仅当时取等号，
∴四边形ABCD面积的最小值为32．
【知识点】抛物线的定义；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由抛物线的性质及题意可得的值，进而可得p的值，得出抛物线的方程；
(2)设直线l1的方程，与抛物线的方程联立，由韦达定理可得两根之和，再弦长公式得|AC|的表达式，同理可得弦长|BD|的表达式，代入四边形的面积公式，再由均值不等式，可得面积的最小值.
21．（2023高二下·达州期末）已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数存在极大值点，且，求a的取值范围．
【答案】（1）解：，的定义域是，，
当时，在递增，
当时，令，解得：，
当时，递增；当时，递减，
综上：当时，在递增；
当时，在递增，在递减.
（2）解：因为，
所以，
若函数存在极大值点，
则有零点，且零点左侧导数大于0，右侧导数小于0．
令得，
记，则，
令，解得，即在上单调递增，
令，解得，即在上单调递减，
则，且，时，时，
作出的图象如图所示，则，且．
又，所以，
设，则，
所以函数在上单调递增，
而，即，所以，
所以，
所以，即实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】(1)先求出函数的导数，再通过分情况讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)根据题意，求出g(x)表达式，再求其导函数，转化为导函数有零点问题，构造函数，数形结合 ，且 ；又，所以，设，由函数的单调性可得 ，进而得实数a的取值范围.
22．（2023高二下·达州期末）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为，直线l过点且倾斜角为．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出直线l的参数方程（用P点坐标与表示）和曲线C的极坐标方程；
（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最小值．
【答案】（1）因为直线l过点且倾斜角为，则直线l的参数方程为（为参数），
把代入方程得：，
所以曲线C的极坐标方程是.
（2）由（1）知，把直线l的参数方程代入方程得：
，设点所对参数分别为，则，
因此
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
【知识点】圆的参数方程
【解析】【分析】（1）根据恒过定点P(3，1) 设立参数方程，根据直角坐标转换为极坐标，再将极坐标代入后得到极坐标方程；
（2）直线l与曲线C交于A，B两点，将第一问中得到的直线的参数方程代入圆的方程，结合韦达定理进行化简，最后根据函数的定义域，求出表达式最小值.
23．（2023高二下·达州期末）已知函数，函数的最小值为k．
（1）求k的值；
（2）已知a，b，c均为正数，且，求的最小值．
【答案】（1）依题意，，当且仅当，即时取等号，
所以k的值为3.
（2）由（1）知，，而均为正数，
所以，当且仅当时取等号，
由解得，
所以当时，取得最小值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据绝对值三角不等式公式求最小值
（2）根据柯西不等式求最小值
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