陕西省榆林市定边县第四中学2024届高三上学期高考滚动检测(三)(期中)文科数学试题（含解析）

定边县第四中学2024届高三上学期高考滚动检测(三)(期中)
文科数学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色．黑水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4．本卷命题范围：集合、常用逻辑用语、函数、导数及其应用、三角函数、三角恒等变换、解三角形、平面向量（30%），数列、不等式（70%）。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若平面向量，满足，，且，则向量与夹角的大小是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知为等比数列的前n项和，若，，则公比（ ）
A． B． C．或1 D．或1
5．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．初始感染者传染个人，为第一轮传染，这个人中每人再传染个人，为第二轮传染，……．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．假设新冠肺炎的基本传染数，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当时需要的天数至少为（ ）
A．34 B．35 C．36 D．37
参考数据：
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．若x，y满足不等式组，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．2
8．已知，且ab的最大值为2，则（ ）
A． B．4 C．2 D．
9．已知数列满足，若，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知数列的前n项和为，且，若，则k的取值集合是（ ）
A． B． C． D．
12．设等差数列的前n项和为，且，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若在等差数列中，，，则________．
14．设表示不超过x的最大整数，例如，．若，则实数x的取值范围为________．
15．已知函数满足，若，则不等式的解集为________．
16．已知数列的通项公式为，前n项和为，则________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）已知关于x的不等式的解集为．
（1）求实数a，b的值；
（2）求的最大值．
19．（本小题满分12分）如图，在中，，，O是内部一点，且，．
（1）求OB的长；
（2）求证：为等腰三角形．
20．（本小题满分12分）设正项数列的前n项和为，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，若数列的前n项和为，证明：．
21．（本小题满分12分）如图所示，公园有一块边长为4的等边三角形草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．
（1）设，，求y关于x的函数关系式；
（2）如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又在哪里？
22．（本小题满分12分）设函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数有2个零点，求实数a的取值范围．
定边县第四中学2024届高三上学期高考滚动检测(三)(期中)
文科数学
参考答案、提示及评分细则
1．C ∵，，∴．故选C．
2．A 设向量与的夹角是，则．
又因为，所以．故选A．
3．C 当，时，，故A选项不正确；
当时，，故B选项不正确；
因为，，根据不等式性质知，故C选项正确；
当，，，时，，故D选项不正确．故选C．
4．C 因为，，所以，，即，，
所以，解得或．故选C．
5．D 设第n轮感染人数为，则数列为等比数列，其中，公比为，
所以，解得，
而每轮感染周期为7天，所以需要的天数至少为．故选D．
6．B ，，因为，函数在区间上单调递减，所以，即．故选B．
7．B 作出不等式组，表示的平面区域，易知表示平面区域内的点到点的距离的平方．据题设分析知，z的最小值为点到直线距离的平方，即为．故选B．
8．A 因为，，所以．又因为，所以，解得（舍）或．故选A．
9．D 据题设知，对一切恒成立，所以对一切恒成立，即对一切恒成立．又当时，，所以，所以所求实数k的取值范围是．故选D．
10．D 的定义域为，，由题意知，在上有两个相异实数根，即在有两个相异实数根．法1：令，则即解得，经验证适合题意．故选D．
法2：设两根为，，则，解得，经验证适合题意．故选D．
11．C 当时，，解得；当时，和两式相减，得，即，则数列是首项为16、公比为的等比数列，即各项依次为16，4，1，，，，，所以，，，结合，得k的取值集合是．故选C．
12．A 因为，所以，得，即．由，知，即，所以，所以，所以，所以，所以．故的最小值为1．故选A．
13．7 由题意知，．又，，所以，所以．
14． 由得，又，所以，所以实数x的取值范围为，即x的取值范围为．
15． 因为，，
所以，
所以不等式为，解得．
16． 因为，
所以
．
17．（1）证明：由，得． 2分
又，所以．于是，
所以是首项为1，公比为2的等比数列． 4分
（2）解：由（1）得，则．
， ①
． ② 6分
①②，得
． 8分
所以． 10分
18．解：（1）据题意，得 3分
所以 6分
（2）据（1）求解知，，，
所以 7分
． 8分
因为，所以，
所以，当且仅当时等号成立， 10分
所以，即所求的最大值为． 12分
19．（1）解：在中，由正弦定理，得， 2分
则． 4分
（2）证明：因为，所以为锐角，
由，得， 6分
所以
， 8分
． 9分
在中，由余弦定理，得
， 11分
所以，故为等腰三角形． 12分
20．（1）解：由题意得，
当时，，解得或， 2分
因为，所以．
当时，，，
两式相减，得，
整理得， 4分
因为，所以，，，
故数列是以3为首项，2为公差的等差数列，所以． 6分
（2）证明：因为，
所以， 8分
则
， 10分
因为，所以， 11分
又，所以单调递增，
所以，
所以． 12分
21．解：（1），∴，
∴，∴． 3分
在中，，
所以． 6分
（2）由（1）知，
所以，当且仅当，即时等号成立，所以DE的最小值为．此时，且． 8分
令，则，，易证在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以． 10分
所以．
所以DE的最大值为．此时DE与过点B或过C的高线重合． 12分
22．解：（1）当时，，． 1分
令，得或（舍）．
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在处取得极小值，极小值为． 4分
（2）函数的定义域为，
令，则，
所以当时，；当时，，所以的单调递增区间是，单调递减区间是． 6分
①当时，的最小值为，
即有唯一的零点； 7分
②当时，的最小值为，
且，即不存在零点； 8分
③当时，的最小值，又，，所以函数在上有唯一的零点， 9分
又当时，，，令，则，解得， 10分
可知在上递减，在上递增，所以，所以，
所以函数在上有唯一的零点．
所以当时，有2个不同的零点． 11分
综上所述，实数a的取值范围是． 12分