人教A版2019必修第一册 4.5.1函数的零点与方程的根 课件（共24张PPT）

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必修第一册 第四章
指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的根
第四章 指数函数与对数函数
情景引入
问题1：观察下表，求出方程的实数根，并写出函数图象与轴交点的坐标.
函数y=f(x) 方程f(x)=0的根 函数f(x)的图象与x轴的交点
y=x2-3x+2
y=x+1
y=x2-2x+3
y=2x-4
x1=1, x2=2
x1=x2=1
无实数根
x=2
(1,0) (2,0)
(1,0)
无
(2,0)
方程2x-4=0的根是2
函数f(x)的图象与x轴的交点横坐标是2
函数f(x)=2x－4的零点是2
新知1：函数零点的定义
1.函数零点的定义：方程f(x)=0的实数根x叫做函数f(x)的零点。
①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零；
②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标；
③函数的零点就是方程的实数根．
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
抽象概念，内涵辨析
在端点a,b的函数值异号，即f (a)·f (b)<0
函数在区间[a,b]上有零点：
零点附近的区间[a,b]上的函数图象连续不断且“穿过”x轴(一上一下)
新知2：函数零点存在定理
如果函数在一个区间上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点，使，这个也就是方程的根.
条件：①f(x)在[a,b]连续，②f (a)·f (b)<0
结论：函数f(x)在(a,b)内至少有1个零点.
①两个条件缺一不可；
若二缺一，则f(x)在(a,b)内可能有零点、也可能无零点.
②其逆定理不成立.
即:若f(x)在(a,b)内有零点，f(a)·f(b)<0不一定成立.
【例1】（2023·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解方程，
即，
解得或，因此，函数的零点为．
故选：．
题型一：求函数的零点
【对点训练1】（2023·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）函数的零点为（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】首先函数的零点不是点，而是数，故排除C，D选项，
而函数的定义域为，则排除A选项，
，故函数的零点为1，
故选：B．
题型一：求函数的零点
【例2】（2023·江苏·高一假期作业）关于的函数的两个零点为，且，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意得是方程的两不等实根，
所以，
，，
所以，即，
又，所以．
故选：A
题型二：根据零点求函数解析式的参数
【对点训练2】（2023·高一课时练习）若函数的零点为2，则函数的零点是（ ）
A．0， B．0， C．0，2 D．2，
【答案】A
【解析】因为函数的零点为2，所以，
∵，，∴，∴．
令，得或．
故选：A．
题型二：根据零点求函数解析式的参数
【例3】（2023·全国·高一专题练习）的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在上单调递增，
且，
所以函数零点所在区间为．
故选：C
题型三：零点存在性定理的应用
【对点训练3】（2023·全国·高一专题练习）方程的根所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数，
因为和在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
且函数的图象是一条连续不断的曲线，
因为，
，，
由的单调性可知，，
则，
故函数的零点所在的区间为，
即方程的根属于区间．
故选：C
题型三：零点存在性定理的应用
【例4】（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数，在上单调递增，
所以函数在上单调递增，
由函数的一个零点在区间内
得，
解得，
故选：A
题型四：根据零点所在区间求参数范围
【对点训练4】（2023·全国·高一专题练习）函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】和在上是增函数，
在上是增函数，
只需即可，即，解得．
故选：B．
题型四：根据零点所在区间求参数范围
【例5】（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
如图所示，根据二次函数及指数函数的图象和性质可作出分段函数的图象，
可知
而有两个不同零点等价于函数与函数有两个不同交点，
结合图象可知．
故答案为：
题型五：根据零点的个数求参数范围
【对点训练5】（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】若函数在区间内恰有一个零点，
则方程在区间内恰有一个根，
若，则方程可化为：，得，不成立；
若时，设方程的两根为，
且，得，且，
当时，有
故，，不符合题意；
若时，则函数图象开口向上，又，
若函数在上恰有一个零点，
则，所以．
综上：．
故答案为：
题型五：根据零点的个数求参数范围
【例6】（2023·高一课时练习）若函数的表达式在内有零点，则实数的取值范围 ．
【答案】
【解析】当时，，显然不成立；
当时，函数在内有零点，需，
即，即，解得或，
故实数a的取值范围是．
故答案为：
题型六：一次函数零点分布求参数范围
【对点训练6】（2023·高一校考课时练习）若方程的根在内，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设，
则，
解得：，
即的取值范围为．
故答案为：．
题型六：一次函数零点分布求参数范围
【例7】（2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，所以可转化为的两个根均为负数，
则，
解得m的取值范围为，
故答案为：
题型七：二次函数零点分布求参数范围
【对点训练7】（2023·全国·高一假期作业）若方程的两根分别在区间和内，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】令，
因为方程的两根分别在区间和内，
所以，
解得，
故答案为：
题型七：二次函数零点分布求参数范围
【例8】（2023·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）函数的零点为，函数的零点为，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，
，
函数的零点为，
函数的零点为，
则
又因为，
这两函数均单调递增，
当时，，
解得．
故选：D．
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
【对点训练8】（2023·湖南岳阳·高一校考阶段练习）函数，若互不相同，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设，
作出函数的图象，如图：
由图可知，，，，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，所以．
因为二次函数的对称轴为
，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
所以．
故选：C
题型八：指对幂函数零点分布求参数范围
小结提升，形成结构
请你带着下列问题回顾本节课学习的内容：
(1)函数零点的概念；
(2)函数零点存在定理.
布置作业，应用迁移
作业：教科书第144页第1、2、3题．