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(总课时28)§3.7 切线长定理
一.选择题：
1.如图1，已知⊙O分别与△ABC的BC边、AB的延长线、AC的延长线相切，则∠BOC等于( C )
A. ∠A B. 90°＋∠A C. 90°－0.5∠A D. 180°－0.5∠A
2.如图2，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ A ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
3.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（D）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.如图3，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（A）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 16
5.如图4，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（D）
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D.PA2=PC PO
二.填空题：
6.如图5，四边形 ，以为直径的⊙切于点，已知，则⊙的半径为．
7.一个钢管放在V形架内，如图6是其截面图，O为钢管的圆心．若钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝50cm
8.如图7，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为2．
9.如图8，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为15．
三.解答题：
10.如图9，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．
试题解析：是的切线，
又为等边三角形．
是的切线，
又是的直径，
11.如图10，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周长；
(2)若∠P＝40°，则∠AFB=70°．
解：(1)∵DA,DC都是☉O的切线，∴DC=DA
同理：EC=EB,PA=PB∴△PED的周长为
PD+PE+DE=PD+DC+PE+CE=PA+PB=2PA=8
即△PED的周长是8
四.提高题：
12.如图11，在Rt△ABC中，∠C=30°，以AC上一点O为圆心、OA长为半径作圆，与边AC相交于点F，BC与⊙O相切于点D．
⑴求证：点D为线段BC的中点．
⑵若AB=3，点E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE，DF，EF.
①当AE＝时，四边形DAEF为矩形；
②当点E运动到半圆中点时，DE=．
解（1）证明：连接DO.∵BC与⊙O相切于点D，∴∠ODC=90°．
∵∠C=30°，∴∠DOC=60°，∵OD=OA ，∴∠DAO=30°，∴DA=DC
∵∠BAC=90°∴∠B=60°，∠BAD=60°，∴DB=DA ，∴DB=DC∴点D为线段BC的中点．
图5
图4
图3
图1
图2
图7
图8
图6
图9
图10
图11
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(总课时28)§3.7 切线长定理
【学习目标】理解切线长定义，证明切线长定理,并能初步运用.
【学习重难点】应用切线长定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆的切线具有的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径.②圆心到切线的距离等于半径.
2.圆的切线还有哪些判定方法
①：与圆有唯一共公点的直线是圆的切线（定义）
②：圆心到直线的距离等于半径时，直线是圆的切线.（定量）
③：过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.（定理）
3.三角形的内心是指：三角形三内角平分线的交点.（三角形内切圆的圆心）.
二.探究新知
探究1：切线长定理
1.引入.如图1，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。
2.切线长定义：过圆外一点，可以作圆的两条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
3.切线与切线长的区别和联系
（1）切线是一条与圆相切的直线，不能度量.
（2）切线长是切线上一条线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.
4.切线长定理
如图2，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
⑴这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
答：是轴对称图形.直线OP是对称轴.
⑵在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点.求证：PA=PB.
证明：连接OA,OB.∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=90°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵OA=OB,OP=OP.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA=PB
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
符号语言：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PA=PB.
探究2：圆的外切四边形性质
如图3，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和相等.
练习1.如图3，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形
ABCD的周长为52．
三.典例与练习
例1.已知如图4，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.
解：连接OD,OE,OF,则OD=OE=OF，设OD=r.
在Rt△ABC中，AC=10，BC=24，由勾股定理得AB=26
∵⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D,E,F，∴OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,BD=BE,AD=AF,CE=CF.
又∵∠C=90°，∴四边形OECF为正方形.∴CE=CF=r.∴BE=24-r,AF=10-r.
∴AB=BD+AD=BE+AF=24-r+10-r=34-2r而AB=26，∴34-2r=26∴r=4，⊙O的半径为4.
经验小结：在Rt△ABC中，两直角边AC=b,BC=a,斜边AB=c,则内切圆半径r=
练习2.如图5，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=AE=x,BF=BD=y,CE=CD=z,
则：x+y=9
x+z=13 解得：x=4,y=5,z=9.∴AF=4,BD=5,CE=9
y+z=14
例2.如图6，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE CD，正确的有_4_个．
练习3.如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝63度．
四.课堂小结
1.过圆外一点所作的圆的两条切线长相等；
2.圆外切四边形两组对边和相等.
3.直角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边的差的一半.
五.分层过关
1.如图8，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( B) A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
2.如图9，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为( C )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 无法确定
3.如图10，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝6cm，BD＝4cm， CE＝2cm．
4.如图11，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为11.
5.如图12，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=5cm．
6.如图13，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为8cm.
7.如图14，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
解：∵CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，∴CD=CE，
∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴AD=CE，
∵AD=2，∴CE=2．
思考题：
8.如图15，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
(1)证明：连接OE，∵AM、DE是⊙O的切线，∴DA=DE,∠OAD=∠OED=90
又∵OD=OD，∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠ABE，∴OD∥BE；
(2)理由：连接OC，∵BC、CE是O的切线，∴∠OCB=∠OCF，∵AM∥BN，
由(1)得∠ADO=∠EDO，
即在Rt△DOC中，∵F是DC的中点，
方法①借助三角板，画出⊙O的切线；方法②用圆规和直尺画出切线.
·
B
A
O
P
图1
图2
图3
图4
图5
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(总课时28)§3.7 切线长定理
一.选择题：
1.如图1，已知⊙O分别与△ABC的BC边、AB的延长线、AC的延长线相切，则∠BOC等于( )
A. ∠A B. 90°＋∠A C. 90°－0.5∠A D. 180°－0.5∠A
2.如图2，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形(△AMN)，则剪下的△AMN的周长为（ ）
A. 20cm B. 15cm C. 10cm D. 随直线MN的变化而变化
3.圆外切等腰梯形的一腰长是8，则这个等腰梯形的上底与下底长的和为（ ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
4.如图3，⊙O是△ABC的内切圆，点D、E分别为边AB、AC上的点，且DE为⊙O的切线，若△ABC的周长为25，BC的长是9，则△ADE的周长是（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 16
5.如图4，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论中，错误的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D.PA2=PC PO
二.填空题：
6.如图5，四边形 ，以为直径的⊙切于点，已知，则⊙的半径为______．
7.一个钢管放在V形架内，如图6是其截面图，O为钢管的圆心．若钢管的半径为25cm，∠MPN＝60°，则OP＝____.
8.如图7，AC⊥BC于点C，BC＝4，AC＝3，⊙O与直线AB、BC、CA都相切，则⊙O的半径为____．
9.如图8，△ABC的内切圆与三边分别切于点D，E，F，若∠C＝90°，AD＝3，BD＝5，则△ABC的面积为____．
三.解答题：
10.如图9，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°，OA＝2，求BC的长．
11.如图10，P是⊙O外的一点，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，C是弧AB上的任意一点，过点C的切线分别交PA、PB于点D、E.
(1)若PA＝4，求△PED的周长；
(2)若∠P＝40°，则∠AFB=____．
四.提高题：
12.如图11，在Rt△ABC中，∠C=30°，以AC上一点O为圆心、OA长为半径作圆，与边AC相交于点F，BC与⊙O相切于点D．
⑴求证：点D为线段BC的中点．
⑵若AB=3，点E是半圆上一动点，连接AE，AD，DE，DF，EF.
①当AE＝____时，四边形DAEF为矩形；
②当点E运动到半圆中点时，DE=________．
图5
图4
图3
图1
图2
图7
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图6
图9
图10
图11
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(总课时28)§3.7 切线长定理
【学习目标】理解切线长定义，证明切线长定理,并能初步运用.
【学习重难点】应用切线长定理解决问题．
【导学过程】
一.知识回顾
1.圆的切线具有的性质：①__________________________.②__________________________.
2.圆的切线还有哪些判定方法
①：__________________________（定义）
②：__________________________________________________.（定量）
③：_____________________________________.（定理）
3.三角形的内心是指：__________________________.（三角形内切圆的圆心）.
二.探究新知
探究1：切线长定理
1.引入.如图1，过⊙O外一点P，画出⊙O的所有切线。
2.切线长定义：过圆外一点，可以作圆的___条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.
3.切线与切线长的区别和联系
（1）切线是一条与圆相切的___，___度量.
（2）切线长是切线上一条______，这条线段的两个端点分别是________________，___度量.
4.切线长定理
如图2，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．
⑴这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
答：________________________________.
⑵在这个图中你能找到相等的线段吗？说说你的理由．
已知：如图2，PA、PB分别是⊙O的切线，A、B是切点.求证：PA=PB.
证明：连接OA,OB.∵PA、PB分别是⊙O的切线，∴∠PAO=∠PBO=___°.
在Rt△AOP和Rt△BOP中，∵____________.∴Rt△AOP≌Rt△BOP∴PA___PB
切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
符号语言：∵PA、PB切⊙O于点A、B，
∴PA=PB.
探究2：圆的外切四边形性质
如图3，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交流．
圆的外切四边形性质：圆的外切四边形的两组对边的和______.
练习1.如图3，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形
ABCD的周长为___．
三.典例与练习
例1.已知如图4，在Rt△ABC的两条直角边AC=10，BC=24，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F，求⊙O的半径.
经验小结：在Rt△ABC中，两直角边AC=b,BC=a,斜边AB=c,则内切圆半径_________.
练习2.如图5，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB＝9cm，BC＝14cm，CA＝13cm，求AF，BD，CE的长.
例2.如图6，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，
连接OD、OC，下列结论：①∠DOC=90°，②AD+BC=CD，③S△AOD：S△BOC=AD2：AO2，
④OD：OC=DE：EC，⑤OD2=DE CD，正确的有___个．
练习3.如图7，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，点D，E，F分别在线段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，则∠EDF＝___度．
四.课堂小结
1.过圆外一点所作的圆的两条切线长___；
2.圆外切四边形两组对边和___.
3.直角形内切圆的半径等于______________________________.
五.分层过关
1.如图8，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别为A、B.如果∠APB＝60°，PA＝8，那么弦AB的长是( ) A. 4 B. 8 C. 4 D. 8
2.如图9，PA、PB是⊙O的切线，切点为A、B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为( )
A. 60° B. 90° C. 120° D. 无法确定
3.如图10，△ABC的内切圆I与AB、BC、CA分别切于D、E、F.若AB＝10cm，BC＝6cm，AC＝8cm，则AD＝___，BD＝___， CE＝___．
4.如图11，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为___.
5.如图12，PA，PB分别切⊙O于A，B，并与⊙O的切线，分别相交于C，D，已知△PCD的周长等于10cm，则PA=___cm．
6.如图13，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为4cm，则Rt△MBN的周长为___.
7.如图14，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD、CE分别与⊙O相切于点D、E，若AD=2，∠DAC=∠DCA，求CE.
思考题：
8.如图15，AB是⊙O的直径，AM和BN是它的两条切线，DE切⊙O于点E，交AM于点D，交BN于点C，F是CD的中点，连接OF.(1)求证：OD∥BE；
(2)猜想：OF与CD有何数量关系？并说明理由．
方法①借助三角板，画出⊙O的切线；方法②用圆规和直尺画出切线.
图1
图2
图3
图4
图5
图7
图8
图13
图12
图11
图10
图9
图14
图15
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