2023—2024 学年第一学期高二年段期中六校联考
数 学 试 卷
（满分：150 分，完卷时间：120 分钟）
班级 座号 姓名 准考证号
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题的四个选项中，只有一
项符合题目要求.）
1、已知直线 l过点 A 3 3,6 3 ， B 3 2 3,3 3 ，则直线 l的斜率为（ ）
3 3
A． 3 B． C． D． 3
3 3
【答案】B【详解】因为直线 l过点 A 3 3,6 3 ，B 3 2 3,3 3 ，所以由过两点的直线的
3 3 6 3 3
斜率公式，得直线 l的斜率 3 2 3 .故选：B．3 3 3
2、已知三棱锥O ABC，点 M，N分别为 AB，OC的中点，且OA a，OB b，OC c，用 a，
b， c表示MN，则MN等于（ ）
1 1
A． b c a B． a b c2 2
1
C． a b c 1D．2 2 c a b
【答案】D【详解】因为OA a，OB b，OC c，所以
1 1 1 MN ON OM OC OA OB c b a . 2 2 2
3、已知圆心为 ( 2,1)的圆过点 (0,1)，则该圆的标准方程是（ ）
A． (x 2)2 (y 1)2 4 B． (x 2)2 (y 1)2 1
C． (x 2)2 (y 1)2 4 D． (x 2)2 (y 1)2 1
【答案】A【详解】因为圆心为 ( 2,1)的圆与 y轴相切，而圆心 ( 2,1)到 y轴的距离为 2，所以该
圆的半径为 r=2，故该圆的标准方程为 (x 2)2 (y 1)2 4 .故选：A.
4、已知 i ， j ，k 是空间直角坐标系O xyz中 x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，且OA 3k ，
AB i j k ，则点 B的坐标为 ( )
A． (1， 1，1) B．( 1，1，1) C． (1， 1， 2) D． ( 1，1， 2)
高二数学 第 1页，共 11页
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【答案】D解：由题意可知，OA (0,0,3),AB ( 1,1, 1) ，所以OB AB OA，设 B(x， y， z)，
则 (x， y， z) = ( 1，1,2)，故 B( 1，1， 2)．故选：D．
5、在三棱柱 ABC - A1B1C1中，AB (0,1, 1)，AC (1, 4,0)，AA1 (1, 1,4)，则这个三棱柱的高 h
（ ）
A．1 B． 2 C
2 D 3． ．
6 6
【答案】C【详解】设平面 ABC的法向量为 n x, y, z ，而 AB 0,1, 1 ， AC 1,4,0 ，
n ·AB 0 y z 0
则 ,即有 ,不妨令 y z 1,则 x 4,故n 4,1,1
n·AC 0 x 4y
,
0
n·AA1 4 1 1 1 1 4ABC A BC 2设三棱柱 1 1 1的高为 h，则h ,故选：C.n 18 6
6、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中， ⊥平
面 BCD， ⊥ ，且 AB BC CD，M为 AD的中点，则异面直线 BM与 CD夹角的余弦值为
（ ）
A． 2 B． 3 C． 3 D． 2
3 3 4 4
【答案】B【解析】四面体 是由正方体的四个顶点构成的，如下
图所示建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2，
(0,0,0), (2,0,0), (2,2,0), (1,1,1)， = (1,1,1), = (0,2,0)，
,
=
=
2 = 3 因为异面直线夹角的范围为0, ，
| | 3×2 3 2
所以异面直线 BM与 CD夹角的余弦值为 3故选：B
3
7、已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直径，点G是
正方体表面上的一个动点，则GM GN的取值范围为（ ）
A． 0,8 B．[0,8) C． 0,4 D．[0,4)
【答案】A【详解】因为球O是棱长为 4的正方体的内切球，MN是球O的直径，所以OM ON 2，
OM ON ，OM ON 2 2 cos180 4，因为GM GN GO OM GO ON GO OM GO OM
2 2 2
GO OM GO 4，又因为点G是正方体表面上的一个动点，所以当G为正方体顶点时，GO
1
有最大值为 42 42 42 2 3；当G为内切球与正方体的切点时， GO 有最小值为 2，即
2
2
2 GO 2 3 2 ， 4 GO 12，所以 GO 4 0,8 .
高二数学 试卷第 2页，共 11页
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8、在平面直角坐标系中，过直线 2x y 3 0上一点 P作圆C : x2 2x y2 1的两条切线，切点分
别为 A、B，则 sin APB的最大值为（ ）
A 5 B 6 C 2 5 D 2 6． ． ． ．
5 5 5 5
【答案】D【解答】由题意圆C : x2 2x y2 1的标准方程为
C : x 1 y2 2，如图 sin APB sin 2 2sin cos ，又
AC
sin 2 2 ，所以 cos 1 sin
2 2 1
CP ，又由圆心到CP CP 2
直线的距离可求出 CP 的最小值，进而求解.【详解】如下图所示： 由
题意圆C的标准方程为C : x 1 y2 2， sin APB sin 2 2sin cos ，
AC
又因为 sin
2
cos 1 sin 2 2 1
CP ，所以 ，CP 2 CP 2
所以 sin APB 2sin cos 2 2 1 2 ，又圆心C 1,0 到直线 2x y 3 02 的距离为CP CP
2
2 0 3
d 5 1 1
2 ，所以 CP d 52 ，所以不妨设 t 2 , 0 t 5 ，2 1 CP
2
sin APB 2 2 1 2 2 2t 1 2t 2 4 t 1 1则 2 f 2 t ，CP CP 4 4
又因为 f t 在 0,
1 1
单调递增，所以当且仅当 t 即 CP 5，即当且仅当直线CP垂直已知直 5 5
2
2x y 3 0 sin APB sin APB f 1 2 4 1 1 1 2 6线 时， 有最大值 .故选：D.max 5 5 4 4 5
二、多选题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分.）
9、已知向量 a 1,2,2 ，b 6, 3,2 ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b 7, 1,4 B． a b 5, 1,0 C．a b 4 D． | a | 5
【答案】AC【详解】因为 a 1,2,2 ，b 6, 3,2 ，所以 a b 7, 1,4 ，故 A正确；a b 5,5,0 ，
故 B不正确；a b 1 6 2 3 2 2 4，故 C正确； a 1 4 4 3，故 D不正确.故选：AC.
高二数学 第 3页，共 11页
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10、已知圆C : x2 y2 Dx Ey 3 0，圆心在直线 x y 1 0上，且圆心在第二象限，半径为 2，
则( )
A．D 2 B．D 2 C． E 4 D． E 4
D E 1 2 2
【答案】AD【详解】由圆的方程知：圆心C , 2 2
，半径 r D E 12 2； 圆心在
2
D E
第二象限， D 0，E 0； 圆心在直线 x y 1 0上， 1 0，即D E 2 0；
2 2
D E 2 0
D 2 D 4
由 1 2 2 得：D E 12 2 E 4
或 （舍）；故选：AD.
E 2 2
11、如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以顶点 A为端点的三条
棱长均为 6，且它们彼此的夹角都是 60°，下列说法中正确的是（ ）
A． AC1 6 6 B．向量 B1C与 AA1 的夹角是 60°
C 6． BD 平面 ACC1 D．直线BD1与 AC所成角的余弦值为
6
【答案】ACD【详解】对于 A ： AC1 AB BC CC1 AB AD AA1，
2 2 2 2 AC1 AB AD AA1 2AB AD 2AD AA1 2AD AA1
36 36 36 2 6 6 cos60 2 6 6 cos60 2 6 6 cos60 216，所以 | AC1 | 216 6 6，选项 A
正确；对于 B：由 BCC1B1是 CBB1 60 °的菱形，向量 B1C与 BB1 的夹角是180 60 120 ，
所以向量 B1C与 AA1 的夹角也是120°，选项 B错误；
对于 C：AC1 BD (AB AD AA1) (AD AB)
2 2
AB AD AB AD AB AD AA1 AD AA1 AB 0，
所以 AC1 DB 0，即 AC1 DB
2 2 2 2
， AC BD (AB AD) (AD AB) AD AB AD AB 0，所以
AC BD 0，即 AC BD，因为 AC AC1 A， AC, AC1 平面 ACC1，所以 BD 平面 ACC1，
选项 C正确；对于 D： BD1 AD AA1 AB， AC AB AD
2 2 2 2 2 所以 BD1 AD AA1 AB AD AA1 AB 2AD AA1 2AD AB 2AA1 AB，
| BD | 36 36 36 2 1 1 1
1 6 6 2 6 6 2 6 6 6 2，同理，可得 | AC | 6 3，2 2 2
AC BD1 (AD AA1 AB) (AB AD) 18 18 36 36 18 18 36，
AC BD
所以 cos BD1 AC 1
36 6
6 ，所以选项 D正确．故选：ACD．| AC | | BD1 | 6 3 6 2
高二数学 试卷第 4页，共 11页
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12、已知直线 l： x y 1 0和圆 C： x2 y2 4y 0，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 l过定点 1,1
B．对于λ∈R，直线 l与圆 C相交
C．对于λ∈R，圆 C上恒有 4 个点到直线的距离为 1
D．若 0，直线 l与圆 C交于 A，B两点，则 AB 的最大值为 4
【答案】ABD【分析】对 A：根据直线过定点运算求解；对 B：先判断定点 1,1 与圆 C的位置关
系，进而确定直线 l与圆 C的位置关系；对 C：先求圆心C 0,2 到直线 l的距离，再根据垂径定
理结合基本不等式求弦长的取值范围；对 D：根据圆心C 0,2 到直线 l的距离的取值范围，分析
判断.
x 1 0 x 1
【详解】对 A：整理直线 l的方程，得 x 1 y 1 0，令 y 1 0，解得 y 1，
可知 l过定点 1,1 ，故 A正确；对 B：将 1,1 代入圆 C的方程，得到12 12 4 1 2 0，可知
点 1,1 在圆 C内，所以对任意λ，直线 l与圆 C相交，故 B正确；
对 C：因为圆心C与点 1,1 之间的距离为 d1 2，则圆心C到直线 l的距离 d 0, 2 ，
当1 d 2 时，即 r 1 d r 1，则圆 C上有 2个点到直线的距离为 1；当 d 1时，即d r 1，
则圆 C上有 3 个点到直线的距离为 1；当0 d 1时，即 d r 1，则圆 C上有 4 个点到直线的距
离为 1；故 C不正确.对 D：圆 C： x2 y2 4y 0的圆心C 0,2 ，半径 r 2，因为圆心C 0,2 到
1 2
直线 l的距离 d ，所以 AB 2 2
2 d 2 2 3 2 32 2 3
2
2 2 3
2
2 1 1 1
1 ，
∵ 0，则 1 2 1 2 ，当且仅当 1 ，即 1时等号成立，∴ 1 2，
12
1
1 0,3 3
2 4,2 3 d 4
则 1 ，所以 AB 的最大值为 4，故 D正确；故选：ABD.
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分）
13、若直线3x my 1 0与直线3x y 1 0平行，则这两平行线间距离为
【来源】江苏省淮安市涟水县第一中学 2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题
10
【答案】 【详解】由题意直线3x my 1 0与直线3x y 1 0平行，所以3 1 m 3 0，
5
1 1
m 1 10解得 ，所以两平行线3x y 1 0、3x y 1 0之间的距离为 d .
32 12 5
高二数学 第 5页，共 11页
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14、已知 A 2,0,0 ， B 0,1,0 ，C 0,0,2 ，则点 A到直线 BC的距离为_______.
2 30
【答案】 【详解】由题意可得， BA 2, 1,0 ， BC 0, 1,2 ，则
5 BA
在 BC上的投影为
BA BC
1 5 2 2 30，则点到直线的距离为
5 5 BA (
5 )2 5 1 2 30 .故答案为：
BC 5 5 5 5
15、设圆C : (x 1)2 (y 1)2 2 ，直线 l经过原点且将圆C分成1:3两部分，则直线 l的方程
为 .
【答案】 x 0，或 y 0
【详解】由C : (x 1)2 (y 1)2 2 可知：该圆的圆心坐标为C 1,1 ，半径为
2，因为 (0 1)2 (0 1)2 2，所以该圆过原点，设直线 l与圆C相交另一
点为A点，因为直线 l经过原点且将圆C分成1:3两部分，所以弦 AO所以
1 π
圆心角为 2π ，因为圆C的半径为 ，
4 2 2
2 2 1
所以 AO 2 2 2因此圆心C到直线 AO的距离为 AO 1，2
当直线 l不存在斜率时，方程为 x 0，显然C 1,1 到直线 x 0的距离为 1，符合题意；
当直线 l存在斜率时，设为 k，方程为 y kx
1
，因为圆心C到直线 AO的距离为 AO 1，
2
k 1
所以 1 k 0 y 02 2 ，即方程为 ，综上：直线 l的方程为 x 0，或 y 0 .k 1
16、已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2，点 M是棱 BC的中点.
（1）若点 N为棱CC1的中点，则平面 AMN截正方体的截面的面积为 ；
（2）若点 N是棱CC1上的一个动点，则点 A1到平面 AMN的距离的最小值为 ．
9 6
【答案】 【分析】当 N是CC1的中点时，画出截面，根据梯形面积公式求得截面面积.2 3
当 N是棱CC1上任意一点时，建立空间直角坐标系，利用向量法求得 A1到平面 的距离的表达式，
结合二次函数的性质求得其最小值.
【详解】（1）当 N是CC1的中点时，连接 AD1,BC1，由于MN //BC1 //AD1，
所以 A,M ,N ,D1四点共面，所以平面 即平面 AMND1，
根据正方体的性质可知，四边形 AMND1是等腰梯形，
高二数学 试卷第 6页，共 11页
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2
2
MN 2, AD1 2 2,D1N AM 5
2 2 2 3 2
，所以等腰梯形 AMND1的高为 5 ，
2 2
2 2 2 3 2 9
所以截面面积为 .
2 2 2
（2）当 N是棱CC1上任意一点时，建立空间直角坐标系如下图所示，
A 2,0,0 ,M 1,2,0 ,AM 1,2,0 ，设 N 0,2, t ,0 t 2，MN 1,0,t ，
n AM x 2y 0
设平面 的法向量为n x, y, z ，则 ，故可设 n 2t, t, 2 ，
n MN x tz 0
AA 0,0,2 A AA1 n 41 ，所以 1到平面 的距离为 ，n 5t 2 4
0 t2 4,4 5t2 4 24，所以当 t 2，5t 2 4 24时， A1到平面 的距离取得最小值为
4 4 2 6 9
6.故答案为： ；
24 2 6 6 3 2 3
四、解答题（本题共 6小题，第 17 题 10 分，第 18－22 题各 12 分，共 70 分.解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（10 分）菱形 ABCD中， A 4,7 ,C 2, 3 ,BC 边所在直线过点 P 3, 1 .
（1）求 AD边所在直线的方程；
（2）求对角线 BD所在直线的方程．
1 3
解：（1）kBC= =2，.......................2分
3 2
∵AD∥BC，∴kAD=2， .......................3分
∴直线 AD方程为 y-7=2（x+4），.......................4分
即 2x-y+15=0．.......................5分（备注：方程有整理即可，形式不限.）
3 7 5
（2）kAC= 2 4 = ，.......................6分3
3
∵菱形对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴kBD= ，.......................7分5
而 AC中点（-1，2），也是 BD的中点，.......................8分
3
∴直线 BD的方程为 y-2= （x+1）， .......................9分
5
即 3x-5y+13=0． .......................10分（备注：方程有整理即可，形式不限.）
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
18.（12 分）已知圆 ：( + 2)2 + 2 = 5，直线 ： + 1 + 2 = 0， ∈ ．
（1）判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由；
（2）直线 与圆 交于 ， 两点，求弦 的中点 的轨迹方程．
解：（1）直线 ： + 1 + 2 = 0，即 1 = + 2 ，故直线 恒过点( 2,1)，..........2分
又( 2 + 2)2 + 12 < 5，.......................3分
故点( 2,1)在圆( + 2)2 + 2 = 5 的内部，.......................4分
高二数学 第 7页，共 11页
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所以直线 与圆 相交．.......................5分
（2）设 点坐标为 ( , )， 2,0 ，
因为直线 ： + 1 + 2 = 0恒过定点 ( 2,1)，由 ⊥ 可得 ⊥ ，............6分
即点 在以 为直径的圆上，.......................7分
以 为直径的圆的方程为( + 2)2 + ( 12 )
2 = 14，.......................9分
当直线 的斜率不存在时，直线 为 = 2，此时中点 2,0 ，.......................10分
由直线 ： + 1 + 2 = 0 可知直线 的斜率存在，故点 2,0 不满足题意，..................11分
所以弦 的中点 1 1的轨迹方程为( + 2)2 + ( )22 = 4 ≠ 0 ， .......................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
19.（12 分）如图所示，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面是边长为 2的菱形，且 BAD 60 ，E
为棱 AD的中点， AA1 2．
(1)证明：DB1 平面 BA1C1；
(2)求平面BA1C1与平面 A1BE 所成的角．
解：（1）连结 EB，过点 E作底面 ABCD的垂线交 A1D1于 F，以 E为坐标
原点，分别以 EA、EB、EF为 x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系
则 A1(1,0, 2),C1( 2, 3, 2),B(0, 3,0),D( 1,0,0)B1(0, 3, 2)
E
,.............1分
则 A1C1 3, 3,0 , A1B 1, 3, 2 ,DB1 1, 3, 2 .................2 分
因为 A1C1 DB1 0, A1B DB1 0,所以 A1C B1D, A1B B1D,............4分
又 A1B A1C1 A1 ,故DB1 平面 BAC ；.................5分 1 1
(2)已知DB1 平面 BA1C1，所以DB1是平面BA1C1的法向量 ...............6分
则 A1(1,0, 2),B(0, 3,0),E(0,0,0),则
EB 0, 3,0 ,EA1 1,0, 2 . .................7分
n EB 0
设平面 A1BE 的法向量为 n (x, y, z) ，则 ,即
n EA1 0
3y 0
，.................8 分
x 2z 0
取 x 2, z 1 ，则 n ( 2,0, 1)，.................9分
设平面 BA1C1与平面 A1BE 所成的角为 , ( [0,180 ])，则 cos | cos DB1,n | 0 ，.................10分
故θ =
2 ，.................11分
平面 BA 1C1与平面 A1BE 所成的角为2.................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
20.（12 分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，E，M，N分别是
BC， AE，CD1的中点， AD AA1 1， AB 2 .
(1)求证：MN∥平面 ADD1A1；
(2)在（1）的条件下，试确定直线 BB1与平面DMN的交点 F的位置，
并求 BF的长.
解：（1）如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为 x，y，z轴建立
空间直角坐标系，
D 0,0,0 A 1,0,0 D 0,0,1 C 0,2,0 E 1 1则 ， ， 1 ， ， , 2,0 ，M
3
,1,0
，N 0,1,
4
. .............1分
2 2
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所以MN
3
,0,
1
. ............2分
4 2
由题意知DC 0,2,0 是平面 ADD1A1的一个法向量，..................3分
因为MN DC 0. .................4分
所以MN DC ..................5分
因为MN 平面 ADD1A1，所以MN∥平面 ADD1A1 ..................6分
（2）由已知，得点 F在直线 BB1上，
因为直线 BB1与 z轴平行，可设 F 1,2,t ， t R ，.................7分
又点 F在平面DMN内，所以存在实数 ， ，使得DF DM DN，.................8分
3
1 4
3
即 1,2, t ,1,0
0,1, 1 ，整理得 1,2, t
3
, ,
1 ，所以 2 ，..........9分
4 2 4 2
t 1
2
4
3
2 1
解得 ，所以 F 1,2, ，.................10分
3 3
t 1 3
故 F是棱 BB1上靠近点 B的一个三等分点，.................11分
且 BF
1
..................12分
3
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
21.（12 分）如图，已知平面四边形 ABCD存在外接圆，且 AB 5，BC 2，
cos ADC 4 ．
5
(1)求 ABC的面积；
(2)求△ADC的周长的最大值．
解：（1）因为平面四边形 ABCD存在外接圆，
4
所以 ABC π ADC，cos ABC cos ADC ，...............2分
5
2
又 ABC 0, π ，所以 sin ABC 1 cos2 ABC 4 3 1 ，..............3分
5 5
S 1 AB BC sin ABC 1所以 ABC的面积 △ABC 5 2
3
3．..................5分
2 2 5
（2）解法一：在 ABC中，由余弦定理得
AC 2 AB2 BC 2 2AB BC cos ABC 52 22 2 5 2 4 45，..................6分
5
解得 AC 3 5．..................7分
在△ADC中，由余弦定理得 AC 2 DA2 DC 2 2DA DC cos ADC ，..................8分
2 2 8
即 45 DA DC DA DC DA DC 2 18 DA DC
5 5
2
DA DC 2 18 DA DC 1 DA DC
2
．..................10分
5 2 10
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15 2
由此得DA DC 15 2，当且仅当DA DC 时，等号成立，
2
所以 DA DC 15 2max ，..................11分
故△ADC的周长 p AC CD DA 3 5 1p5 A2C． 其C最D大 D值A为 3 5 15 2 ...................12分
解法二：在 ABC中，由余弦定理得：
AC 2 AB2 4 BC 2 2AB BC cos ABC 52 22 2 5 2
45，..................6分
5
解得 AC 3 5．..................7分
4
因为 cos ADC ，所以 sin ADC 3 .
5 5
AD CD AC 3 5
在△ADC 5 5中，由正弦定理得： sin ACD sin CAD sin ADC 3 ...............8 分
5
所以 AD 5 5sin ACD,CD 5 5sin CAD.
所以 AD CD 5 5sin ACD 5 5sin CAD 5 5 sin ADC CAD sin CAD
5 5 sin ADCcos CAD sin CADcos ADC sin CAD ..................9 分
5 5 3 cos CAD 9 sin CAD 15 2 1 cos CAD 3 sin CAD
5 5 10 10
15 2 sin cos CAD cos sin CAD 15 2sin CAD 1 其中 tan .......10 分
3
当sin CAD 1时，AD CD取得最大值15 2...................11 分
故△ADpC 的AC周 长C最D大 D值A为 3 5 15 2 ...................12 分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
22.（12 分）已知圆 C经过点 E 0,6 ， F 5,5 ，且圆心在直线 l : 3x 5y 9 0上.
（1）求圆 C的方程.
（2）过点M 0,3 的直线与圆 C交于 A，B两点，问：在直线 y 3上是否存在定点 N，使得 kAN kBN
（ kAN ， kBN分别为直线 AN，BN的斜率）恒成立？若存在，请求出点 N的坐标；若不存在，请说
明理由.
5 11
解：（1）由题可知线段 EF的中点为D , ，EF的垂直平分线的斜率为 5，
2 2
EF 的垂直平分线的方程为5x y 7 0 ...................1分
EF的垂直平分线与直线 l的交点即为圆心 C，
3x 5y 9 0 x 2
由 ，解得 ，即C 2,3 ...................2分
5x y 7 0 y 3
又 r 2 0 2 3 6 2 13，...................3分
圆 C的方程为 x 2 2 y 3 2 13...................4分
（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为 k，则过点M 0,3 的直线AB的方程为 y kx 3，
y kx 3
由 2 2 ，消去 y
2 2
整理得 1 k x 4x 9 0....................5分
x 2 y 3 13
设 A x1, y1 ， B x2 , y x
4 9
2 ， 1 x2 ， x x .（*）...................6分1 k 2 1 2 1 k 2
高二数学 试卷第 10页，共 11页
{#{QQABAYYQogCoQBIAAQhCAwWwCgIQkBECAKoGxBAAIAABQAFABAA=}#}
y
N t ,3 k 1
3 y2 3
设 ，则 AN k x1 t
， BN x2 t
y1 3 y k 2
3
AN kBN， 0x1 t x2 t
，....................7分
y1 3 x2 t y2 3 x1 t 0，即 2kx1x2 kt x1 x2 0，...................8分
18k 4kt 9 9
将（*）式代入得 2 2 0，解得 t 故点 N的坐标为 ,32 ...................9
分
1 k 1 k 2
当直线 AB的斜率不存在时，
直线 AB的方程为 x 0， A 0,6 ，B 0,0 ，显然点 N可使 kAN kBN 成立...................11分
9 在直线 y 3上存在定点 N ,32
使得 kAN kBN恒成立...................12分
说明：其他解法参照对应步骤相应给分。
高二数学 第 11页，共 11页
{#{QQABAYYQogCoQBIAAQhCAwWwCgIQkBECAKoGxBAAIAABQAFABAA=}#}2023一2024学年第一学期高二年段期中六校联考
数学试卷
(满分：150分，完卷时间：120分钟)
班级
座号」
姓名
准考证号
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一
项符合题目要求.)
1、已知直线1过点A3-5,6-5,B(3+25,3-√3，则直线1的斜率为(
A.-√5
B.-5
3
c.
D.5
2、已知三棱锥O-ABC,点M,N分别为AB,OC的中点，且OA=a,OB=b,OC=c,用a,
B,c表示，则等于()
A.26+-a)
B.36+6-)
C.(a-i+e)
D.c-a-列
3、己知圆心为(-2，)的圆过点(0，)，则该圆的标准方程是(
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+0y-102=1
C.(x-2+(y+1)2=4
D.(x-2)2+(y+1)2=1
4、己知7，了，K是空间直角坐标系0-9中x轴、y轴、：轴正方向上的单位向量，且OA=3张，
AB=-i+7-K,则点B的坐标为()
A.1,-1,1)
B.H,1,)
C.1,-1,2)D.(-1,1,2)
5、在三棱柱ABC-A,BC中，AB=(0,1-1),AC=(L,4,0),AA=(1,-1,4),则这个三棱柱的高h=
()
A.1
B.√
c.②
6
D.
6
6、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖瞒，在鳖瞒A-BCD中，AB⊥平
面BCD,BC⊥CD,且AB=BC=CD,M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为
()
A.号
B.号
c.9
D.9
7、己知正方体ABCD-ABCD的棱长为4，球O是正方体的内切球，MN是球O的直径，点G是
正方体表面上的一个动点，则G.G示的取值范围为()
A.[0,8
B.[0,8)
c.[0,4]
D.[0,4)
8、在平面直角坐标系中，过直线2x-y-3=0上一点P作圆C:x2+2x+y2=1的两条切线，切点分
别为AB,则sin∠APB的最大值为()
A.
B.6
c.25
D.2v6
5
5
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求.全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分.)
9、已知向量a=(1,2,2),b=(6,-3,2),则下列结论正确的是()
A.a+i=(7,-1,4)
B.a-i=-5,-1,0)C.a6=4
D.|a=√5
10、已知圆C:x2+y2+Dx++3=0,圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径为√互，
则()
A.D=2
B.D=-2
C.E=4
D.E=-4
D
11、如图，在平行六面体ABCD-ABCD,中，以顶点A为端点的三条
棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()
A.AC=6v6
B.向量B,C与AA的夹角是60°
D
C.BD⊥平面4CCD.直线BD与AC所成角的余弦值为6
6
12、己知直线：x-y-元+1=0和圆C:x2+y2-4y=0,则下列说法正确的是()
A.直线1过定点(L,)
B.对于以∈R,直线I与圆C相交
C.对于以∈R,圆C上恒有4个点到直线的距离为1
D.若2<0，直线I与圆C交于A,B两点，则AB的最大值为4
