英吉沙县 2023-2024 学年第一学期期中考试
6．若直线 l1 : 3x y 1 0与直线 l2的斜率互为相反数，则 l 的倾斜角为高二数学试题 2
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ A．30° B．60° C．120° D．150°
1
7．在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E是棱 BB1的中点，G是DD1的中点， F 是 BC上的一点且 FB BC，则4
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 异面直线GB与 EF 所成的角为
1．若直线经过 A(0,1),B( 3,4)两点，则直线 AB的倾斜角为
A． B．120 C．60 D．90
A．30o B．45o C．60o D．120o
8．已知直线 l :mx y 1 0 m R 是圆C : x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴，过点 A 2,m 作圆 C的一条切线，
2．以 A 1,1 ，B 2, 1 ，C 1,4 为顶点的三角形是（ ）
切点为 B，则 AB 等于（ ）
A．以A点为直角顶点的直角三角形 B．以 B点为直角顶点的直角三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形 A．4 B． 2 5 C． 4 2 D．3
3．以 A 1,3 ， B 5,1 为端点的线段的垂直平分线的方程（ ）
A． y 3x 4 B． y 3x 4 C． y 3x 4 D． y 3x 4 二、选择题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得
5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 2 分.
4．在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，E为 PD中点，若PA a，PB b，PC c，则BE （ ） 9 n ．若 (2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是（ ）
A． n1 ( 2，3， 1) B． n2 (200， 300，100)
C． n3 ( 2 5， 3 5 ， 5 ) D．n4 ( 2，3，0)
10．在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD A1B1C1D1是棱长为 1的正方体，给出下列结论中，正确的是（ ）
1 3 1 a b c 1 a 1
b 1 A． B． c
2 2 2 2 2 2
1 3 1 1 3 1
C． a b c D． a b c
2 2 2 2 2 2
5．如图，在正四面体 A BCD中， AB,DA 等于( )
A．直线 BD1的一个方向向量为 ( 2,2,2)
B．直线BD1的一个方向向量为 (2,2,2)
C．平面 B1CD1的一个法向量为 (1,1,1)
A． 45 B．60
D．平面 B1CD的一个法向量为 (1, -1, -1)
C．90 D．120
第 1页 共 4页 ◎ 第 2页 共 4页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
11．下列各结论，正确的是（ ） 19．（12分）已知直线 l1 : m x 4y m 2和直线 l2 : x m y m ，试确定m的值或范围，使得：
A．直线 x y 1 0与两坐标轴交于 A，B两点，则 | AB | 2 （1） l1与 l2垂直.
B．直线 2x y 0与直线 2x y 5 0之间的距离为 5 （2） l1与 l2平行；
C．直线 3x y 2 0上的点到原点的距离最小为 1 （3） l1与 l2相交
D．点 A( 1,1)与点 B(2,0)到直线 x y 0的距离相等
12．已知圆C : (x 1)2 (y 1)2 169 ，直线 l : kx y 4k 5 0,k R．则下列选项正确的是（ ） 20．（12分）已知圆 ，直线 过点 .
A．直线 l恒过定点 B．直线 l与圆 C的位置可能相交、相切和相离 (1)当直线 与圆 相切时，求直线 的斜率；
3
C．直线 l被圆 C截得的最短弦长为 12 D．直线 l被圆 C截得的最短弦长对应的 k值为 (2)线段 的端点 在圆上运动，求线段 的中点 的轨迹方程
4
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13．已知向量 a 1, 3, 2 ,b x, 3,1 若 a b ，则 x= .
21．（12分）已知点 ，圆 的圆心在直线 上且与 轴切于点 ，
14．直线3x 2y a 0和直线3x 2y 1 0的位置关系是 (填相交、平行、垂直).
(1)求圆 的方程；
15．点 P 1,3 关于直线 x 2y 2 0的对称点为Q，则点Q的坐标为
(2)若直线 过点 且被圆 截得的弦长为 ，求直线 的方程．
16．在平面直角坐标系 xOy中，已知过点 ( 10,0)的圆 M与圆 x2 y2 6x 6y 0 相切于原点，则圆 M的半径
是 ．
22．（12分）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1中，CA CB 1， BCA 90o，AA1 2，M ,N分别是 A1B1, A1A
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 的中点．
17（10分）．已知 a 1， 2，4 c ，b 1，0，3 ， 0，0，2 ．求：
(1)a b c ；
(2) cos b ,c ．
(1)求证：BN C1M ；
18（12分）．在空间直角坐标系中，已知， A -1, 2,3 ， B -1,3, -1 C - 3 , 1, m ，
(2)求平面MNC1与平面 NBC的夹角
若 ABC是直角三角形，求 m的值．
第 3页 共 4页 ◎ 第 4页 共 4页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}参考答案：
1．C
【详解】试题分析：设直线 AB的倾斜角为， 直线经过 A(0,1),B( 3,4)两点，所以
，
即 ，
又因为 ，
所以
考点：直线的斜率与倾斜角
2．A
【分析】根据两点求斜率以及斜率之间的关系即可求解.
【详解】由 A 1,1 ，B 2, 1 ，C 1, 4 ，
k 1 1 2 k 1 4 3AB ， ， 1 2 3 AC 1 1 2
由 kAB kAC 1，所以直线 AB与直线 AC垂直，
所以以A点为直角顶点的直角三角形.
故选：A
3．A
【分析】根据斜率公式结合垂直关系可求垂直平分线的斜率，以及中点坐标公式求线段 AB
的中点坐标，再结合直线的点斜式方程运算求解.
3 1 1
【详解】∵直线 AB的斜率 kAB 1 5 3，则垂直平分线的斜率 k 3
又∵线段 AB的中点为M 2,2
∴所求直线方程为 y 2 3 x 2 ，即 y 3x 4
故选：A.
4．C
【分析】根据向量线性运算法则计算即可.
1
【详解】 BE (BP BD)
1 PB 1 (BA BC)
2 2 2
答案第 1页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
1 1 1 1 1 1
PB BA BC PB ( PA PB) ( PC PB)
2 2 2 2 2 2
3 1 1 PB PA PC 1 3
1
a b c
2 2 2 2 2 2 ．
故选：C．
5．D
【分析】由正四面体的性质可得 BAD为正三角形，所以 BAD 60 ，即可解得向量所夹角
度.
【详解】两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，
故应把向量DA的起点平移到A点处，
因为 BAD为正三角形，
所以 BAD 60 ，
AB,DA 180 60 所以 120 ．
故选：D．
6．B
【详解】 kl 3 kl 3 l2的倾斜角为 60°1 2
故选 B
7．D
【详解】以DA,DC,DD为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则
BG 1, 1, 1 ,EF 1 ,0, 1 ,BG EF 1 1 1 0 1 1 1 1 0 2 , , 4 2 4 2 2 4 4 BG EF
异面直线GB与 EF 所成的角为90 ，故选 D.
8．A
答案第 2页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
【分析】根据直线 l :mx y 1 0 m R 是圆C : x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴，则圆心在
直线 l上，求得m，由过点 A 2,m 作圆 C的一条切线，切点为 B，利用勾股定理即可求得
AB .
x2 y2 4x 2y 1 0 x 2 2 y 1 2【详解】由方程 得 4，圆心为C 2, 1 ，
因为直线 l是圆 C的对称轴，所以圆心在直线 l上，所以m 1，所以 A点坐标为 2,1 ，
2
则 AC 20 2 5，所以 AB 2 5 22 4.
故选：A．
9．ABC
【分析】因为同一个平面的法向量共线，所以可利用向量共线的判定进行求解.
【详解】因为 n1 n， n2 100n
，n 3 5n , 3 0 1 3 ,
所以 n与n1 ， n2 ， n3 均共线，与 n4 不共线，
所以 n1 ， n2 ， n3 可以作为平面α的法向量
故选：ABC.
10．AC
【分析】求出 BD1 1,1,1 即可判断AB的正误，求出平面 B1CD1的法向量判断C的正误，
求出平面 B1CD的法向量判断D的正误.
【详解】由题意， B 1,0,0 , B1 1,0,1 ,C 1,1,0 ,D 0,1,0 ,D1 0,1,1 ,
∵BD1 1,1,1 ，∴向量 ( 2,2,2)为直线BD1的一个方向向量，故A正确,B不正确；
n CB1 0
设平面 B1CD1的法向量为n x, y, z ， 则 ,
n CD1 0
y z 0
由CB1 0, 1,1 ，CD1 1,0,1 得 ，
x z 0
令 x 1得 n 1,1,1 ，则C正确;
m CB 0
设平面B1CD的法向量为m a,b,c
，则 1 ，
m CD 0
答案第 3页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
b c 0
由CB1 0, 1,1 ，CD 1,0,0 得
a 0
，
令b 1得m 0,1,1 ，则D不正确.
故选：AC .
11．ACD
【分析】由两点间、点到直线，平行线的距离公式对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于 A，直线 x y 1 0与两坐标轴的交点 A 0, 1 ,B 1,0 ，
则 | AB | 2，故 A正确；
对于 B，直线 2x y 0与直线 2x y 5 0之间的距离为
5
d 1，故 B不正确；
4 1
对于 C，直线 3x y 2 0上的点到原点的距离最小为
2
原点到直线 3x y 2 0的距离即 d1 1，故 C正确；3 1
1 1
对于 D，点 A( 1,1)到直线 x y 0的距离为 2
2
2 - 0
与点 B(2,0)到直线 x y 0的距离为 = 2 .
2
所以点 A( 1,1)与点 B(2,0)到直线 x y 0的距离相等，故 D正确.
故选：ACD.
12．AD
【分析】根据题意得 l : y 5 k x 4 ,k R，故直线过定点 4,5 ，进而根据点与圆的位置
关系得点 4,5 在圆内，即可得直线与圆相交，当直线 l与过点 4,5 和圆心的直线垂直时直
线 l被圆 C截得的弦长最短，再求解即可.
【详解】解：由直线 l : kx y 4k 5 0,k R得 l : y 5 k x 4 ,k R，
所以直线 l过定点 4,5 ，故 A选项正确；
此时将点 4,5 代入圆C : (x 1)2 (y 1)2 169 得 (4 1)2 (5 1)2 25 169，
所以点 4,5 在圆内，故直线 l与圆 C的位置是相交，故 B选项错误；
答案第 4页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
当直线 l与过点 4,5 和圆心的直线垂直时，直线 l被圆 C截得的弦长最短，为2 132 25 24，
k 1 3
此时直线 l的斜率为 5 1 4，故 C选项错误，D选项正确.
4 1
故选：AD
13．1
【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解
【详解】由题意得 a b x 3 2 0，则 x=1，
故答案为：1
14．相交
【分析】首先求出两条直线的斜率，得到 k1 k2 且 k1k2 1，所以两条直线相交但不垂直.
3
【详解】直线3x 2y a 0的斜率 k1 ，直线3x 2y 1 0
3
的斜率为 k ，
2 2 2
则 k1 k2 ,且 k1k2 1，所以两条直线相交但不垂直.
故答案为：相交
【点睛】本题主要考查两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线平行和相交的充要条件是解
题的关键，属于简单题.
15． 1, 1
【分析】设出对称点的坐标，利用直线 PQ垂直于直线 x 2y 2 0，以及P,Q的中点在直
线 x 2y 2 0上，列方程求解即可.
【详解】设点 P 1,3 关于直线 x 2y 2 0的对称点为Q的坐标为 a,b
则 ，
b 3 1
1 a 1
2
a 1 2 b 3 2 0 2 2
解得 a 1,b 1
所以Q 1, 1 .
故答案为： 1, 1 .
16．5 2
答案第 5页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
【解析】由两圆相切于原点且圆 M过点 ( 10,0)，而已知圆 (x 3)2 (y 3)2 18知它们的圆
心都在直线 y x上，即若圆 M圆心为(a, a)由圆心与圆上点距离相等列方程求 a，即可求半
径
【详解】 x2 y2 6x 6y 0 化为 (x 3)2 (y 3)2 18
即为圆心为(3,3)，半径为3 2的圆
∵所求的圆 M与圆 x2 y2 6x 6y 0相切于原点
∴两圆心在直线 y x上
可设所求圆 M的圆心为(a, a)且过 ( 10,0)，
∴ (a 10) 2 a 2 2a 2 ，解得 a 5
所求圆 M的半径为5 2．
故答案为：5 2
【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，考查数学转化思想方法与数形结合的，属于中档题．
17.
（1) a b c 0， 2， 1
(2) b c 6,
b 10, c 2
b c cos b,c 6 3 10 b c 2 10 10
18．因为
AB 0,1, 4 ,BC 2, 2,m 1
AC 2, 1,m 3 ,
若 A=90o则有
AB AC=0
-1-4 m 3 0
m 11
4
答案第 6页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
若 B=90o ，则有
AB BC=0
-2-4 m+1 0
m - 3
2
若 C=90o，则有 AC BC=0
4+2+ m+1 m 3 0
m2 2m 3 0
方程无解
综上， 3 11
m - m
2 4
19．（1）m 0；（2）m 2；（3）m 2
【分析】（1）讨论m 0和m 0两种情况，由直线垂直的性质运算可求解.
m 4 m 2
（2）由 运算 可求解；
1 m m
m 1
（3）由 运算 可求出；
4 m
【详解】（1）若 l1与 l2垂直，
m 0 1当 时， l1 : y ， l2 : x 0，此时两直线垂直，符合题意，2
m 1
当m 0 时，则
1，无解，
4 m
综上，m 0 .
（2）可得m 0，
m 4 m 2
要使 l1与 l2平行，则 ，解得m 2；1 m m
3 m 0 l : y 1（ ）当 时， 1 ， l2 : x 0，此时两直线相交，符合题意，2
m 1
当m 0时，要使 l1与 l2相交，则 ，解得m 2，4 m
综上，m 2；
答案第 7页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
20．解：（1）设斜率为 k,则直线方程为
y k x 2 ,可化为
kx y 2k 0,则圆心 0,0 到直线的距离
2k
d , 直线与圆相切，r= 3
k 2 1
2k
3,解得k 3
k 2 1
(2)
设M x, y ,B x , y , x x0 20 0 则有 , y
y
0
2 2
x0 2x 2, y0 2y
又 B x0 , y0 在圆上运动
x2 20 y0 3,代入得
2x 2 2 2 3 2 2y 3，化简得 x 1 y2
4
21．解：(1)因为圆 的圆心在直线 上且与 轴切于点 ，
可设圆心 a, 2 ,代入直线方程得a 3
C 3, 2 ,圆的方程可设为
x 2 3 y 2 2 r 2
代入M 0, 2 得r 2=9，可得圆的方程为
x 3 2 y 2 2 9
(2)
由 1 知 圆 的 方 程 为
x 3 2 y 2 2 9，
设 直 线 方 程 为 y k x 2
即 k x y 2 k 0
设 圆 心 到 直 线 距 离 为 d， 弦 长 A B = 4 2
3k 2 2k k+2
d
k 2 1 k 2 1
d 2 AB
2
2 2
r
k + 2 2
8 9
k 2 1
解 得 k 3 , 直 线 方 程 为 y 3 x 2 ,
4 4
即 3x+ 4 y 6= 0，
当 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 方 程 为 x 2
综 上 ， 直 线 方 程 为 x 2或 3x+ 4 y 6= 0
答案第 8页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
22．(1)证明见解析
(2)
2
【分析】（1）由等腰三角形中位线性质和线面垂直性质可得C1M A1B1 ， AA1 C1M ，由
线面垂直的判定可得C1M 平面 ABB1A1，由线面垂直性质可得结论；
（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果.
（1）
三棱柱 ABC - A1B1C1为直三棱柱， AA1 平面 A1B1C1， AC BC A1C1 B1C1，
M 为 A1B1中点， C1M A1B1，
AA1 平面 A1B1C1，C1M 平面 A1B1C1， AA1 C1M，
AA1, A1B1 平面 ABB1A1， AA1 A1B1 A1 ， C1M 平面 ABB1A1，
又 BN 平面 ABB1A1， BN C1M .
（2）以C为坐标原点，CA,CB,CC 正方向为 x, y, z1 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则B 0,1,0 ，C 0,0,0 ， N 1,0,1 ，C1 0,0,2 M
1 1
， , , 2
，
2 2
uuuur
C M 1 1
uur
1 , , 0 ，C1N 1,0, 1 ，CB 0,1,0 ，CN 1,0,1 ， 2 2
设平面MNC1的法向量 n x, y, z ，
C 1 1 1
M n x y 0
2 2 ，令 x 1，解得： y 1， z 1， n 1, 1,1 ；
C1N n
x z 0
设平面 NBC的法向量m a,b,c ，
答案第 9页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
CB m b 0
，令 a 1，解得：b 0，c 1， m 1,0, 1 ；
CN m a c 0
m n
cos m,n 0， 平面MNC1 平面 NBC，
m n
即平面MNC1与平面 NBC的夹角为 .2
答案第 10页，共 10页
{#{QQABKYYUoggAQgBAAAgCEwXACgMQkAGCCCoGwAAAIAABQBFABAA=}#}
