江苏省常州市溧阳市2023-2024学年高二上学期11月阶段性调研(期中)数学试题（含答案）

溧阳市2023-2024学年高二上学期11月阶段性调研(期中)
数学试题
注意事项：1.请将本试卷答案写在答题卡相应位置上；
2.考试时间为120分钟，试卷总分为150分.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
2.若直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则（ ）
A.， B.， C.， D.，
3.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A. B.或 C. D.
4.若圆与轴相切，则这个圆截轴所得的弦长为（ ）
A. B. C.6 D.8
5.若动点满足方程，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
6.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C.2 D.1
7.若直线与直线交于点，与直线交于点，且线段的中点是，则的斜率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知双曲线的中心为，离心率为，焦点为，，为上一点，，则（ ）
A. B.3 C.4 D.8
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9
B.直线（为参数）必过第四象限
C.经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为和
D.过，两点的直线方程为
10.圆与圆相交于，两点，则（ ）
A.的直线方程为
B.公共弦的长为2
C.线段的垂直平分线方程为
D.圆上的点与圆上的点的最大距离为
11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为椭圆上一点，则下列说法正确的是（ ）
A.椭圆的离心率为
B.满足条件的点有两个
C.以，为焦点，以，为顶点的双曲线的渐近线方程为
D.若，则的内切圆面积的最大值为
12.已知，，满足条件的动点的轨迹为，满足条件的动点的轨迹为，则下列结论正确的是（ ）
A.轨迹既是轴对称图形，又是中心对称图形
B.轨迹既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
C.轨迹上的点到点的距离的最小值为2
D.轨迹与轨迹有两个不同的交点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.过点且与直线垂直的直线方程为______.
14.圆上的点到直线的距离的最大值为______.
15.直线与抛物线相交于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，则______.
16.一个竖直放置的圆柱被一个与水平面成60°角的平面所截，得到的截口曲线形状为椭圆，则此椭圆的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知的三个顶点为，，，求：
（1）边上的中线所在的直线方程：
（2）的面积.
18.（本小题满分12分）
（1）求焦点在轴上，离心率为，短轴长为的椭圆的标准方程；
（2）求经过点，且渐近线方程为的双曲线的标准方程.
19.（本小题满分12分）
已知直线与圆，
（1）试判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与圆交于，两点，分别过，的圆的切线相互垂直，求的值.
20.（本小题满分12分）
如图，人们打算对长方形地块进行开发建设，其中百米，百米，长方形各边中点分别为E，F，G，H，现计划在此地块正中间铺一块椭圆形草坪，长轴在线段上且长度为6百米，椭圆离心率为.同时计划修一条长为6百米的路（其中，分别在线段，上，路的宽度忽略不计），并在内修建花圃.
（1）求椭圆上的点到直线的最短距离；
（2）求线段的中点到椭圆中心的距离的最小值.
21.（本小题满分12分）
已知抛物线过点，焦点为.
（1）求抛物线的方程；
（2）求过点的抛物线的切线方程；
（3）从点发出的光线经过点被抛物线反射，求反射光线所在的直线方程.
22.（本小题满分12分）
若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.
（1）求双曲线的方程；
（2）设过焦点的直线与双曲线的右支相交于，两点（不重合），
①求直线的倾斜角的取值范围；
②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.
溧阳市2023-2024学年高二上学期11月阶段性调研(期中)
数学答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C 2.D 3.B 4.D 5.B 6.B 7.A 8.A
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分.
9.ABC 10.AD 11.ACD 12.ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 14. 15.0或 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
解：（1）由题设的中点为，则，……1分
边中线所在直线斜率：，……2分
所以，边中线所在直线方程：，即.……4分
（2）法1：由，得直线的方程为，……5分
又，……6分
点到直线距离为，……8分
所以，的面积.……10分
法2：由题，，……6分
得，即有，……8分
所以，的面积.……10分
18.（本小题满分12分）
解：（1）由题设所求椭圆标准方程为，由题，即，……1分
又，，解得，……4分
所以，所求椭圆的标准方程为.……6分
（2）法1：（1）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①……7分
由双曲线的渐近线方程为得②……8分
由①②解得，，，
此时，所求双曲线方程为.……9分
（2）当焦点在轴上时，设双曲线标准方程为，
由双曲线经过点得①
由双曲线的渐近线方程为得②……10分
不存在同时满足①②的，.……11分
综上所述，所求双曲线的标准方程为.……12分
法2：由渐近线方程为可设所求双曲线的方程为，……8分
又双曲线经过点，则有，……10分
∴所求双曲线的标准方程为.……12分
19.（本小题满分12分）
解：（1）直线与圆相交，理由如下：
直线可化为：，由此可知恒过定点，……2分
由知点恒在在圆内，
所以，直线与圆相交.……4分
（2）设分别过，的圆的切线交点为，
由，，，知四边形为正方形，……6分
则点到直线的距离为，即有，……10分
解得：.……12分
20.（本小题满分12分）
解：如图，以椭圆中心为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系，…2分
（1）设椭圆标准方程为，
由题离心率，，又，解得，……4分
所以，椭圆上的点到直线的最短距离百米.……6分
（2）设线段的中点为，由知，……8分
由圆的定义知，点在以为圆心，3为半径的圆上.
则点运动轨迹为，……10分
所以，线段的中点到椭圆中心的距离的最小值为.……12分
21.（本小题满分12分）
解：（1）由抛物线过点得，
解得，……2分
所以，所求抛物线的方程为.……3分
（2）由题可设切线方程为，……4分
联立，消去并整理得：，
令，解得，……6分
所以，所求切线方程为.……8分
（3）由题点发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于点处的切线对称，
设点关于点处的切线的对称点为，
则由的中点在上及得：，……10分
解得，即，……11分
所以，所求反射光线所在的直线方程为.……12分
22.（本小题满分12分）
解：（1）由题，，又则，，……2分
所以，双曲线的方程为.……3分
（2）①（i）当直线斜率存在时，设直线：，，，
联立，整理得：，
由题得： 或，……5分
此时，直线的倾斜角的范围为.……6分
（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.
综上可知，直线的倾斜角的范围为.……7分
②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，
由（2）①得：
，又 ，
得：
，……9分
上对于任意的都成立，
所以，
解得：或，……10分
即当坐标为时，；当坐标为时，.
（ii）当直线斜率不存在时，此时，.
当坐标为时，；当坐标为时，.……11分
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.……12分