连云港市七校2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
满分150分 考试时间120分钟
一、单选题（每题5分，共40分）
1．经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（ ）
A． B．
C． D．
3．方程x2＋y2＋4x－2y－5m＝0表示圆的条件是（ ）
A．m<1 B．m>－1 C．m< D．4．直线与直线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
5．已知双曲线的离心率为2．则（ ）
A． B．1 C． D．3
6．圆在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知抛物线的焦点为F，点在C的内部，若点B是抛物线C上的一个动点，且周长的最小值为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左 右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．下列关于双曲线的判断，正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．焦点坐标为
C．实轴长为 D．渐近线方程为
10．已知抛物线的焦点在直线x-2y+3=0上，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆的左、右两个焦点分别为，长轴端点分别为A，B，点P为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A．的最大面积为
B．若直线的斜率为，则
C．存在点P使得
D．的最大值为5
12．在平面直角坐标系中，圆，点为直线上的动点，则（ ）
A．圆上有且仅有两个点到直线的距离为
B．已知点，圆上的动点，则的最小值为
C．过点作圆的一条切线，切点为可以为
D．过点作圆的两条切线，切点为，则直线恒过定点
三、填空题（每题5分，共20分）
13．若方程表示双曲线，则的取值范围是 ．
14．已知点是圆：上动点，.若线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为 .
15．已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为3，则弦的长
16．已知直线l：与曲线有两个交点，则实数k的取值范围为 .
四、解答题（17题10分，其余每题12分）
17．已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求点A的坐标； (2)求直线的方程
18．若双曲线C：上一点到左、右焦点的距离之差的绝对值为2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设、是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的点，若，求的面积.
19．已知圆心为C的圆经过点A(－1，1)和B(－2，－2)，且圆心在直线l：x＋y－1＝0上．
(1)求圆心为C的圆的标准方程；
(2)设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求|PQ|的最小值．
20．已知抛物线过点，其焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，.
(1)求抛物线的标准方程，并写出其准线方程； (2)求直线的方程.
21．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点．
22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦点为，，且满足______，椭圆的上、下顶点分别为，右顶点为，直线过点且垂直于轴.现有如下两个条件分别为：
条件①；椭圆过点，条件②：椭圆的离心率为
请从上述两个条件中选择一个补充在横线上，并完成解答.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点在椭圆上（且在第一象限），直线与交于点，直线与轴交于点.试问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．A 7．B 8．D
9．ACD 10．BD 11．BD 12．ABD
2 2 3
13 x y． 1,5 14． 1 15．8 16． ,116 12 4
17．(1) 2,2 (2) 3x 4y 14 0
A m,n m 1, n 2M 【详解】（1）设点 ，则 AB中点 的坐标为 2 2 ，
由题意知点 A在直线 x 7y 12 0上，点M 在直线2x y 1 0上，
m 7n 12 0
m 2,
所以 2 m 1 n 2
解得
1 0
n 2. 2 2
即点 A的坐标为 2,2 ．……………………5分
（2）设点 B关于直线 x 7y 12 0的对称点为 B ，则由角的对称性知点 B 在直线 AC
上，
x, y x 1 y 2 设点 B 的坐标为 ，则点BB 的中点坐标为 , ，
2 2
y 2 1 1 x 1 7 x 2,
则 解得 即点 B 的坐标为 2,5 ．……………8分
x 1 y 2 y 5,
7 12 0
2 2
5 2 3
直线 AB 的斜率为 k 2 2 4 ，
3
所以直线 AB 即 AC的方程为 y-2= (x+ 2)，即3x 4y 14 0．………10分
4
18．(1) x2 y2 1 (2) 7
【详解】（1）令 F1,F2 分别是左右焦点，则 | DF1 | | DF2 | 2a 2，得 a 1，
y2
双曲线的方程为 x2 1 ，将点D 2, 3 3代入上式，得：4 2 1,b2 b
b 1,c2 a2 b2 2,c 2，
答案第 1页，共 5页
{#{QQABCYyUogCgQAJAAAgCAw2ACgMQkBACAAoGBAAAIAABQQFABAA=}#}
双曲线的标准方程为 x2 y2 1 ；……………………4分
（2）不妨设点 P在第一象限，由双曲线的几何性质知： | PF1 | | PF2 | 2 ，
PF1 PF2 6 ，解得 | PF | 4,| PF | 2 ，……………………7分
PF1 PF 2
1 2
2
在△ PF1F2中， | F1F2 | 2 2 ，
设PF1与PF2 的夹角为 ，由余弦定理得：
cos | PF1 |
2 | PF2 |
2 | F1F2 |
2 3 7
, sin ，……………………10分
2 | PF1 || PF2 | 4 4
S 1 PF F |PF1 ||PF2 | sin
1
4 7 2 7 .……………12分
1 2 2 2 4
19．(1)C : (x 3)2 (y 2)2 25 ； (2)5( 2 1)
3 1 1
（1）由题设 A,B中点为D( , )且 k
2 2 AB
3，而CD AB，故 kCD = - ，3
所以直线CD为 y
1 1
( x 3 )，即 x 3y 3 0，.……………3分
2 3 2
x 3y 3 0 x 3
联立 ，可得 ，即C (3, 2)，而 r |CA | |CB | 5，
x y 1 0 y 2
所以圆C : (x 3)2 (y 2)2 25 ..………………………7分
| 3 2 5 |
（2）由（1）知：C (3, 2)，则C到 x y 5 0的距离 d 5 2 5，………
2
10分
所以直线与圆相离，则 | PQ |min d r 5( 2 1) .………………………12分
20．(1)抛物线C的标准方程为 y2 4x，准线方程为 x= 1 (2) y x 1
【详解】（1）由题意将点D 1, 2 代入抛物线方程可知 ( 2)2 2p，解得
p 2 .……………………2分
答案第 2页，共 5页
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所以抛物线C的标准方程为 y2 4x，焦点F 1,0 ，
因此准线方程为 x= 1 .……………………4分
（2）由（1）得直线 l的方程为 y k x 1 (k 0) .
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，如图所示：
y k x 1 2 2 2 2
联立直线 l和抛物线方程 2 ，消去 y得 k x 2k 4 x k 0 .
y 4x
2
2 x x 2k 4易得 16k 16 0，且 1 2 2 .……………………7分k
2
由抛物线焦点弦公式可知 AB AF BF AA1 BB1 x1 1 x2 1
4k 4
.
k2
4k 2 4
所以 2 8，解得 k 1或 k 1（舍去）.……………………10分k
故直线 l的方程为 y x 1 .……………………12分
2
21．(1) x y2 1
3
【详解】（1）解:由题知设右焦点 F的坐标为 (c,0) ,
双曲线 C的渐近线方程为bx ay 0 ,
bc bc
右焦点 F到其中一条渐近线的距离为 b2 2 c ,a b
可得b 1,……………………2分
答案第 3页，共 5页
{#{QQABCYyUogCgQAJAAAgCAw2ACgMQkBACAAoGBAAAIAABQQFABAA=}#}
b
又由 tan
, 可得
a 6 a = 3b
, 有 a 3,c 2 , ……………………4分
x2
故双曲线 C的标准方程为 y2 1 ;……………………5分
3
x2
（2）证明:由（1）知,双曲线 C的方程为C : y2 1 ,右焦点 F (2,0) ,
3
因直线 l与 x轴不垂直且斜率不为 0 ,设直线 l与 x轴交于点 (t , 0 ) ,
直线 l的方程为 y k(x t)(k 0) , 设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,则M x1, y1 ,
y k x t
由 x2 消去 y并整理得 1 3k 2 x2 6tk 2x 3k 2t2 3 02 ,…………7分
y 1 3
2
显然有1 3k 2 0且 6tk 2 4 1 3k 2 3k 2t2 3 0,
2 2 2
k 2 1 t2 3 k 2 1 0 , x x 6tk ,x x 3k t 3化简得 且 则 1 2 2 1 2 2 ,…………9分3 1 3k 1 3k
FM x1 2, y1 ,FN x2 2, y2 ,而M ,F ,N三点共线,即 FM ∥FN ,
则 y1 x2 2 y2 x1 2 ,因此 k x1 t x2 2 k x2 t x1 2 ,
又 k 0 ,有 x1 t x2 2 x2 t x1 2 0 ,
整理得 2x1x2 (t 2) x1 x2 4t 0 ,
3k 2t2 3 2
于是得 2 (t 2)
6tk
4t 0 t 3
1 3k
2
1 3k
2 , 化简得 ,…………10分
2
即直线 l : y
3 3
k x
,k 0
过定点 ,0 , 所以直线 l经过 x轴上的一个定点
2 2
3 ,0 ．……………………12分
2
2
22 x．(1) y2 1； (2)是，2.
4
2 1
2 2
2 1
【详解】（1）选择①，椭圆长轴长 2a 3 3 0 3 3 0 4 ，
2 2
答案第 4页，共 5页
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则a 2，短半轴长b a2 ( 3)2 1，……………………2分
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1. ……………………4分
4
c
选择②，由椭圆半焦距 c 3 3，离心率 e ，得长半轴 a 2，短半轴
2 e
b a2 ( 3)2 1，
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1.
4
（2）由（1）知 A 0,1 ， B 0, 1 ，D 2,0 ，设Q x0 , y0 ， x0 0， y0 0，则有
x20 y2 1，……………………6分
4 0
y 1
直线 l 0的方程为 x 2，直线 AQ的方程为 y x 1x ，0
y 1
直线 BQ的方程为 y 0 x 1x ，……………………8分0
2y0 2 xN (2, 1) M ( 0 , 0) 2 y0 2于是得 x ， y 1 ，观察图知点 N在 x轴上方，因此
DN 1，
0 0 x0
OM x 0
y 1， ……………………10分0
x 2 2
OM 2 DN 0
2y 2 x 4(y 1) x 4y 4
则 2( 0 1) 2 0 0 2 0 0 2y0 1 x0 y0 1 x0 x0 (y0 1)
，
所以 OM 2 DN 为定值 2 .……………………12分
答案第 5页，共 5页
{#{QQABCYyUogCgQAJAAAgCAw2ACgMQkBACAAoGBAAAIAABQQFABAA=}#}
