陕西省西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
2.设，则直线与圆的位置关系为（ ）
A.相离 B.相切 C.相交或相切 D.相交
3.在空间直角坐标系中，点在坐标平面内的射影为点，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.0
5.如图，在平行六面体中，与交点为.设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
6.唐代诗人李颀的《古从军行》中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，已知正方形的边长为4，、分别是、的中点，平面，且，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.1
8.圆和圆的交点为，，则下列命题中正确的是（ ）
A.公共弦所在直线方程为 B.公共弦的长为
C.线段中垂线方程为 D.
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若空间向量，满足，则
B.在正方体中，必有
C.若空间向量，，满足，，则
D.空间中，，，则
10.下列说法正确的是（ ）
A.在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示
B.方程表示的直线的斜率一定存在
C.直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D.经过两点，的直线方程为
11.已知圆，则下列说法正确的是（ ）
A.圆的半径为 B.点在圆外
C.直线截圆的弦长为3 D.圆关于对称
12.设直线，，下列说法正确的是（ ）
A.当时，直线与不重合 B.当时，直线与相交
C.当时， D.当时，
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.圆关于直线对称的圆的标准方程为_________.
14.已知直线，关于轴对称，的方程为：，则点到直线的距离为________.
15.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则的值为______________.
16.直线与圆相交于，两点.则面积的最大值为______________.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）求满足下列条件的直线方程.
（1）直线过点，且与直线平行；
（2）直线过点，且与直线垂直.
18.（12分）如图，在四面体中，，，，分别是，，，的中点.
（1）求证：，，，四点共面；
（2）求证：平面；
（3）设是和的交点，求证：对空间任意一点，有
19.（12分）已知直线，直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于，两点.
（1）证明：直线过定点；
（2）已知点，当最小时，求实数的值.
20.（12分）已知圆，直线.
（1）求证：直线与圆恒有两个交点；
（2）若直线与圆交于点，，求面积的最大值，并求此时直线的方程.
21.（12分）如图，在直三棱柱中，已知，，.
（1）求异面直线与夹角的余弦值；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
22.（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中，且.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若点在（1）的轨迹上运动，点为的中点，求点的轨迹方程；
（3）若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围.
西安市鄠邑区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.A 2.C 3.B 4.B 5.A 6.D 7.B 8.D
二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9.BC 10.BD 11.AD 12.BC
三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 14. 15.6 16.2
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）解：（1）由题意，可设所求直线的方程为，
因为点在直线上，可得，解得，
故所求直线的方程为；……………………（5分）
（2）由题意，可设所求直线的方程为，
因为点在直线上，可得，解得，
故所求直线的方程为.…………………………（10分）
18.（12分）证明：（1），，，分别是，，，的中点，
，，
又，，，四点不共线，故，，，四点共面；………………（4分）
（2），分别是，的中点，
，
，
平面，平面，
平面；…………………………（8分）
（3）由（1）知四边形为平行四边形，
为中点，
，分别是，的中点，
.…………（12分）
19.（12分）解：（1）已知直线，
则，
由，解得，
即直线过定点；…………………………（6分）
（2）设直线的方程为，，，
则，，又直线过定点，
则，又点，则
，
当且仅当，即，即，时取等号，所以直线的方程为，
所以直线过，即，
解得.………………………………（12分）
20.（12分）解：（1）因为直线可变形为，
所以，解得，
故直线经过定点.
将点代入圆的方程有，
所以点在圆的内部，所以直线与圆恒有两交点；………………（6分）
（2）因为，所以，因为，
所以当时，面积最大，
此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径.
此时点到直线的距离，
所以可以取到，
所以，解得或.
故直线的方程为或.……………………（12分）
21.（12分）解：如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系.
则，，，，所以，，，.
（1）因为，
所以异面直线与夹角的余弦值为；…………………………（6分）
（2）设平面的法向量为，
则，即，
取平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，
取平面的一个法向量为，
则
所以二面角的平面角的余弦值为.…………………………（12分）
22.（12分）解：（1）设，因为，则，
化简得：，故点的轨迹方程为；………………（4分）
（2）设，因为点为的中点，
所以点的坐标为，
将代入中，得到，
所以点的轨迹方程为；…………………………（8分）
（3）因为点在（1）的轨迹上运动，
所以，变形为，
即点是圆心为，半径为2的圆上的点，
则表示的几何意义为圆上一点与定点连线的斜率，如图：
当过的直线与圆相切时，取得最值，
设，
则由点到直线距离公式可得：，
解得：或，
故的取值范围是.…………………………（12分）