第三章 §4 第1课时
一、选择题
1．不等式x＋3y－1<0表示的平面区域在直线x＋3y－1＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左下方 D．左上方
[答案] C
[解析] 画出不等式x＋3y－1<0表示的平面区域如图所示．
2．不等式x－y＋1≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
[解析] 将点(0,0)代入不等式，得1≥0成立，排除C、D，将点(－2,0)代入不等式，得－1≥0，不成立，排除A，故选B．
3．不等式组表示的区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
[答案] C
[解析] 画图可知，如图．
4．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
[答案] B
[解析] 本题考查不等式(组)表示平面区域，考查学生分析问题的能力．不等式(组)表示可行域的画法，“直线定界，特殊点定域”．
可行域如图所示．
由于－2<－，且直线2x＋y－10＝0过(5,0)点，所以交点个数为1个，是(5,0)．
5．原点和点(1,1)在直线x＋y－a＝0两侧，则a的取值范围是( )
A．a<0或a>2 B．a＝2或a＝0
C．0
[答案] C
[解析] 根据点(0,0)和点(1,1)位于直线x＋y－a＝0的两侧可得(－a)(2－a)<0，解得06．不等式组，表示的平面区域的面积为( )
A．4 B．1
C．5 D．无穷大
[答案] B
[解析] 如图，作出可行域，△ABC的面积，即为所求，易得A(1,2)，B(2,2)，C(3,0)，则S△ABC＝×1×2＝1.
二、填空题
7．点(1,2)和点(－1,3)在直线2x＋ay－1＝0的同一侧，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－)∪(1，＋∞)
[解析] ∵(2a＋1)(3a－3)＞0，∴a＜－或a＞1.
8.表示的平面区域内整点的个数是________．
[答案] 5
[解析] x＝0时0≤y<1，
∴可取(0,0) x＝1时0≤y<2，
∴可取(1,0)，(1,1)
x＝2时0≤y<，
可取(2,0)，(2,1)
∴有下列整点(0,0)，(1,0)，(1,1)，(2,0)，(2,1)，共5个．
三、解答题
9．画出下列不等式表示的平面区域．
(1)x－y＋1<0；
(2)2x＋3y－6≥0.
[解析] (1)画出直线x－y＋1＝0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入x－y＋1，得0－0＋1＝1>0，∴原点不在x－y＋1<0表示的平面区域内，
∴不等式x－y＋1>0表示的平面区域如图(1)所示．
(2)画出直线2x＋3y－6＝0(画成实线)，取原点(0,0)，代入2x＋3y－6，得2×0＋3×0－6＝－6<0，
∴原点不在2x＋3y－6≥0表示的平面区域内，
∴不等式2x＋3y－6≥0表示的平面区域如图(2)所示．
10．画出不等式组
[解析] 不等式x＋y≤5表示直线x＋y＝5及其左下方的区域，
不等式x－2y>3表示直线x－2y＝3右下方区域，
不等式x＋2y≥0表示直线x＋2y＝0及其右上方区域，
故不等式组表示的平面区域如图所示.
一、选择题
1．如图中阴影部分表示的平面区域可用二元一次不等式组来表示的是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 先求出边界直线方程．然后利用口诀“上则同号，下则异号”得出二元一次不等式．
2．在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
[答案] B
[解析] 在直线方程x－2y＋4＝0中，令x＝－2，则y＝1，则点P(－2,1)在直线x－2y＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，如图知，t的取值范围是t>1，故选B．
3．不等式组表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
4．在平面直角坐标系中，若不等式组，(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 由，得A(1，a＋1)，
由，得B(1,0)，
由，得C(0,1)．
∵S△ABC＝2，且a>－1，
∴S△ABC＝|a＋1|＝2，∴a＝3.
二、填空题
5．(2014·浙江理，13)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
[答案] [1，]
[解析] 考查线性规划最优解问题．
作出不等式所表示区域．
由1≤ax＋y≤4.
∴a≥0，且在(1,0)点取最小值，在(2,1)取得最大值．
故a≥1,2a＋1≤4 ∴a≤，
故a∈[1，]．
6．不等式|x|＋|y|≤2所表示的平面区域的面积为________．
[答案] 8
[解析] 不等式|x|＋|y|≤2等价于不等式组，
画出不等式组表示的平面区域如图所示．
由图可知，四边形ABCD为正方形，
|AB|＝2，∴S＝(2)2＝8.
三、解答题
7．某运输公司接受了向抗震救灾地区每天至少送180吨支援物资的任务．已知该公司有8辆载重6吨的A型卡车和4辆载重为10 吨的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为：A型卡车4次，B型卡车3次．列出调配车辆的数学关系式，画出平面区域．
[解析] 设每天派出A型车x辆、B型车y辆，
则，即.
画出平面区域如图中阴影部分．
8．如图所示，在△ABC中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC区域所表示的二元一次不等式组．
[解析] 解法一：由两点式得AB、BC、CA的直线方程并化简．
AB：x＋2y－1＝0，BC：x－y＋2＝0；CA：2x＋y－5＝0.
∵原点(0,0)不在每条线上，将原点坐标代入到各直线方程左端，结合式子的符号可得不等式组
.
解法二：由AB的方程及三角形区域在AB右方，得不等式x＋2y－1≥0.
同理得x－y＋2≥0.
由CA的方程及三角形区域在CA左方，
得不等式2x＋y－5≤0.
从而可得不等式组.
课件48张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章第三章§4 简单线性规划 第1课时 二元一次不等式（组）与
平面区域景泰蓝是我国古老而又令多数人喜欢的手工艺品，它制作的关键一步是在制好的铜胎上用扁铜丝依据图案要求把铜胎表面划分为若干个小的区域，例如一片树叶需要两条铜丝围成树叶形的封闭区域，一个三角形需要三条直线形铜丝围成一个封闭区域，……铜丝有直有曲，有长有短，区域形状各异．然后再经“点蓝”等工艺就可制作成功．在制作过程中，几条铜丝便可围成一个区域，在平面上，直线如何围成一个区域呢？1.二元一次不等式(组)的概念
二元一次不等式是指含有_____未知数，且未知数的最高次数为____的不等式．二元一次不等式组是指由几个总共含有两个未知数，且未知数的最高次数为1的不等式构成的不等式组．两个1
2．二元一次不等式(组)表示的平面区域
一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分为三部分：
(1)直线l上的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＝0；
(2)直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c>0.
(3)直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c<0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点________，从___________值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．
在这里，直线l：ax＋by＋c＝0叫做这两个平面区域的边界．
一般地，把直线l：ax＋by＋c＝0画成________，表示平面区域包括这一条边界直线；若把直线l：ax＋by＋c＝0画成______，则表示平面区域不包括这一条边界直线．(x0，y0)ax0＋by0＋c实线虚线3．直线两侧的点的坐标满足的条件
直线l：ax＋by＋c＝0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子ax＋by＋c的值具有________的符号，并且两侧的点的坐标使ax＋by＋c的值的符号________，一侧都________，另一侧都________．
4．二元一次不等式表示区域的确定
在直线l的某一侧任取一点，检测其坐标是否满足二元一次不等式，如果满足，则该点_____________区域就是所求的区域；否则l的________就是所求的区域．如果直线不过______，则用_____的坐标来进行判断，比较方便．相同相反大于0小于0所在的这一侧另一侧原点原点1.下列4个点中，不在3x＋2y<6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,2) B．(0,0)
C．(1,1) D．(2,0)
[答案] D
[解析] 3×2＋2×0<6不成立，故选D．2．图中阴影部分表示的区域满足不等式( )
A．2x＋2y－1>0 B．2x＋2y－1≥0
C．2x＋2y－1≤0 D．2x＋2y－1<0
[答案] B
[解析] 将(0,0)代入，0×2＋0×2－1<0，∴选B．4．表示图中阴影部分的区域的二元一次不等式组为( )
[答案] A
[解析] 取原点0(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0排除B、D，O点满足x－2y＋2≥0，排除C．故选A．5．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则( )
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
[答案] D
[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，
P与A在直线l异侧，∴3x0＋2y0－8>0.二元一次不等式表示的平面区域 (2)将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0.先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．取点(0,0)，代入2x＋y－3，得2×0＋0－3＝－3<0，∴2x＋y－3≤0表示的平面区域是直线2x＋y－3＝0以及其左下方的平面区域，如图(2)所示．
[方法总结] 画二元一次不等式所表示的平面区域的一般步骤为：①“直线定界”，即画出边界Ax＋By＋C＝0，要注意是虚线还是实线；②“特殊点定域”，取某个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号确定出所求不等式表示的平面区域．当C≠0时，通常取原点(0,0)作为测试点．画出不等式x＋2y－4＜0表示的平面区域．
[解析] 先画直线x＋2y－4＝0(画成虚线)．
把原点(0,0)的坐标代入x＋2y－4，则0＋2×0－4＝－4＜0，所以原点在x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以不等式x＋2y－4＜0表示的区域如图所示中的阴影部分．二元一次不等式组表示的平面区域 求平面区域的面积 求范围问题
[方法总结] 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C同号；在异侧的充要条件是Ax1＋By1＋C与Ax2＋By2＋C异号．若点(3,1)和(4，－6)在直线3x－2y＋a＝0的两侧，则a的取值范围是( )
A．(－24,7) B．(7,24)
C．(－7,24) D．(－24，－7)
[答案] D
[解析] 把点(3,1)和(4，－6)分别代入3x－2y＋a得7＋a,24＋a，由题意得(7＋a)(24＋a)<0.
∴－24[分析] 将已知数据列成下表：[解析] 依题意，可列出下面的条件：某家具厂计划每天生产桌椅的数量各不少于12，已知生产一张桌子需用木材0.3方，生产一把椅子需要用木材0.2方，每个工人每天能生产一张桌子或2把椅子，木材每天供应量为12方，工人人数最多时为30人，请你用图形表示每天生产的桌椅数量的取值范围．
[分析] 设出桌椅数量x、y，把x、y的限制条件列成不等式组，把不等式组表示的区域画出就是所要求的每天生产桌椅数量的取值范围．第三章 §4 第2课时
一、选择题
1．(2014·新课标Ⅱ)设x，y满足约束条件，则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8
C．3 D．2
[答案] B
[解析] 本题考查在约束条件下的简单目标函数的最值问题．
画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z＝2x－y在两条直线x－3y＋1＝0与x＋y－7＝0的交点(5,2)处，
取得最大值z＝8.故选B．
2．不等式组，所表示的平面区域的面积等于( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，
由，得点A的坐标为(1,1)．
又B、C两点坐标分别为(0,4)、，
∴S△ABC＝××1＝.
3．(2014·新课标Ⅰ文，11)设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝( )
A．－5 B．3
C．－5或3 D．5或－3
[答案] A
[解析] 本题考查含字母的线性规划问题．
由得交点(，)，
∴z＝x＋ay的最小值为7，
∴7＝x＋ay，代入点(，)得a＝－5或3.
当a＝－5时，z＝x－5y的最大值为7，∴a≠－5.
∴a＝3.
确定交点(，)是最优点是解题的关键．
4．设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的最大值为( )
A．－4 B．0
C． D．4
[答案] D
[解析] 本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可．
由
作出可行域如图：
当直线z＝3x－y过点A(2,2)点时z有最大值．
z最大值＝3×2－2＝4.
5．(2014·新课标Ⅰ理，9)不等式组的解集记为D．有下面四个命题：
p1：?(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：?(x，y)∈D，x＋2y≥2，
p3：?(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：?(x，y)∈D，x＋2y≤－1.
其中真命题是( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p1，p2 D．p1，p3
[答案] B
[解析] 本题考查线性规划和逻辑的知识．不等式组表示的平面区域如图所示．
可以验证选项P1，P2正确，所以选B．
6．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx＋过定点(0，)．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋能平分平面区域．因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点M(，)．
当y＝kx＋过点(，)时，＝＋，
∴k＝.
二、填空题
7．(2014·全国大纲理，14)设x、y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 本题考查了线性规划知识．作出目标函数的可行域，从中可以看出当直线x＋4y＝z经过点A(1,1)时目标函数有最大值是5.
注意，若y的系数是负数时，目标函数在y轴上的截距的最大值是目标函数的最小值．
8．(2013·湖南文)若变量x、y满足约束条件则x＋y的最大值为________．
[答案] 6
[解析] 本题考查的题线性规则中最优解问题．
设z＝x＋y，则y＝－x＋z，z表示直线在y轴上的截距，画出可行域(如图)，平移直线l：x＋y＝0到l0过点．A(4,2)时，zmax＝6.
平移直线l时不要找错最优解．
三、解答题
9．设x、y满足约束条件，分别求：
(1)z＝6x＋10y的最大值、最小值；
(2)z＝2x－y的最大值、最小值；
(3)z＝2x－y(x，y均为整数)的最大值、最小值．
[解析] (1)先作出可行域，如图所示中△ABC表示的区域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1，)．作出直线l0：6x＋10y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z＝6x＋10y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝6x＋10y达到最大值．
∴zmin＝6×1＋10×1＝16；zmax＝6×5＋10×2＝50.
(2)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值.
∴zmax＝8；zmin＝－.
(3)同上，作出直线l0：2x－y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l2过A点时，可使z＝2x－y达到最大值，zmax＝8.当l0的平行线l1过C点时，可使z＝2x－y达到最小值，但由于不是整数，而最优解(x，y)中，x、y必须都是整数，所以可行域内的点C(1，)不是最优解．当l0的平行线经过可行域内的整点(1,4)时，可使z＝2x－y达到最小值．
∴zmin＝－2.
10．已知变量x，y满足约束条件，求的最大值和最小值．
[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，A点坐标为(1,3)，目标函数z＝表示坐标是(x，y)与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点A与O连线斜率最大为3；当直线与x轴重合时，斜率最小为0.故的最大值为3，最小值为0.
一、选择题
1．已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组，给定．若M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(，1)，则z＝·的最大值为( )
A．4 B．3
C．4 D．3
[答案] C
[解析] 本题考查线性规划、数量积的坐标运算．
∵·＝(x，y)·(，1)＝x＋y，做直线l0：x＋y＝0，将l0向右上方平移，当l0过区域D中点(，2)时，·＝x＋y取最大值×＋2＝4.选C．
2．(2014·山东理，9)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4
C． D．2
[答案] B
[解析] 本题考查线性规划与点到直线的距离．
如图所示
∴A点坐标为(2,1)，
z＝ax＋by在A点处取得最小值2，即
2a＋b＝2.
a2＋b2可看作两点(0,0)(a，b)的距离的平方，原点到直线2a＋b＝2的距离的平方是()2＝4.
3．设x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y( )
A．有最小值2，无最大值
B．有最大值3，无最小值
C．有最小值2，最大值3
D．既无最小值，也无最大值
[答案] A
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图像．
当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．
4．(2013·四川文，8)若变量x、y满足约束条件
，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30
C．24 D．16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．
作直线l0：y＝x，平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax＝16，∴a＝16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin＝－8，∴b＝－8.
∴a－b＝16－(－8)＝24.
二、填空题
5．(2014·北京文，13)若x，y满足则z＝x＋y的最小值为________．
[答案] 1
[解析] 本题考查二元一次不等式组表示平面区域、线性规划知识．
画出可行域如图，当z＝x＋y过A点时z最小为zmin＝1.
6．(2013·浙江理)设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
[答案] 2
[解析] 本题考查线性规划知识．
可行域为z＝kx＋y得y＝z－kx，当z取最大值时，y取最大值，∴4＝12－4k，故k＝2.
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
8．已知实数x，y满足不等式组，求ω＝的取值范围．
[解析] 作出可行域如图所示．
因为表示可行域中的点(x，y)与点(－1,1)连线的斜率．显然可行域内A点与点(－1,1)连线斜率最小，并且斜率没有最大值，最大值始终小于1，所以kmin＝＝－，kmax不存在，所以ω＝的取值范围是.
课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章第三章§4 简单线性规划 第2课时 简单线性规划某电视台要播放两套宣传片，其中宣传片甲播放时间为3分30秒，广告时间为30秒，收视观众为60万；宣传片乙播放时间为1分钟，广告时间为1分钟，收视观众为20万．广告公司规定每周至少有3.5分钟的广告，而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间．电视台每周应播映两套宣传片各多少次，才能使得收视观众最多？1.线性规划中的基本概念最大值或最小值不等式组坐标最大值或最小值解(x，y)可行解
2.当b>0时，求目标函数z＝ax＋by＋c的最大值或最小值的步骤为：
(1)作出可行域；
(2)作出直线l0：________；
(3)确定l0的平移方向，依可行域判断取得________的点；
(4)解相关方程组，求出________，从而得出目标函数的最大值或最小值．ax＋by＝0最优解最优解1.有5辆6吨的汽车，4辆4吨的汽车，需x辆6吨和汽车y辆4吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为( )
A．z＝6x＋4y B．z＝5x＋4y
C．z＝x＋y D．z＝4x＋5y
[答案] A2．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数
D．该直线的横截距
[答案] C
[解析] z＝2x－y可变化形为y＝2x－z，所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C．[答案] [1,3]
[解析] 本题考查简单的线
性规划，数形结合思想
如图，阴影部分
令z＝x＋y＝0，即y＝－x.
平移至可行域，在A、B点分别取最小值和最大值．
A(1,0)，联立得B(2,1)
∴1≤z≤3.求线性目标函数的最值问题 求非线性目标函数的最值问题 [解析] 作出可行域，如图．已知目标函数的最值求参数 本例中，若使目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则a的范围又是什么？
[解析] 若目标函数z＝ax＋y(a>0)取得最大值的点有无数个，则必有直线z＝ax＋y与直线x＋y＝4重合，此时a＝1.第三章 §4 第3课时
一、选择题
1．某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y需满足约束条件，则z＝10x＋10y的最大值是( )
A．80 B．85
C．90 D．95
[答案] C
[解析] 画出不等式组，表示的平面区域，如图所示．
由，解得A(，)．
而由题意知x和y必须是正整数，直线y＝－x＋向下平移经过的第一个整点为(5,4)．
z＝10x＋10y取得最大值90，故选C．
2．(2013·湖北文)某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )
A．31200元 B．36000元
C．36800元 D．38400元
[答案] C
[解析] 本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题．
设需A型车x辆，B型车y辆，则
?
由目标函数z＝1600x＋2400y，得y＝－x＋，表示直线在y轴上的截距，要z最小，则直线在y轴上的截距最小，画了可行域(如图)，
平移直l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，zmin＝5×1600＋2400×2＝36800.故选C．
平移直线l时，不要找错最优解．
3．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力限制数据列在下表中，那么，为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为( )
货物
体积每箱(m3)
重量每箱50 kg
利润每箱(百元)
甲
5
2
20
乙
4
5
10
托运限制
24
13
A．4,1 B．3,2
C．1,4 D．2,4
[答案] A
4．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
5．某学校用800元购买A、B两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A、B两种用品应各买的件数为( )
A．2件，4件 B．3件，3件
C．4件，2件 D．不确定
[答案] B
[解析] 设买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则
，
求z＝800－100x－160y取得最小值时的整数解(x，y)，用图解法求得整数解为(3,3)．
6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝( )
A．4650元 B．4700元
C．4900元 D．5000元
[答案] C
[解析] 设当天派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，由题意得
.
设每天的利润为z元，则z＝450x＋350y.
画出可行域如图阴影部分所示．
由图可知z＝450x＋350y＝50(9x＋7y)，经过点A时取得最大值，又由得.即A(7,5)．
∴当x＝7，y＝5时，z取到最大值，zmax＝450×7＋350×5＝4900(元)．故选C．
二、填空题
7．(2013·全国大纲理)记不等式组所表示的平面区域为D．若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．
[答案] [，4]
[解析] 本小题考查线性规划问题，直线过定点问题.
直线y＝a(x＋1)，过定点(－1,0)
可行域D如图
A点坐标为(0,4)
∴B点坐标(1,1)
∴kDA＝4，kDB＝＝
∴a∈[，4]．
8．(2013·陕西理)若点(x，y)位于曲线y＝|x－1|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为________．
[答案] －4
[解析] 本题主要考查了线性规划中最优解问题．
作出曲线y＝|x－1|与y＝2所表示的平面区域，令2x－y＝z，即y＝2x－z，作直线y＝2x，在封闭区域内平行移动直线y＝2x，当经过点(－1,2)时，z取到最小值，此时最小值为－4.
三、解答题
9．设m>1，在约束条件下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，求m的值．
[解析] 本题是线性规划问题．先画出可行域，再利用最大值为4求m.
由m>1可画出可行域如图所示，则当直线z＝x＋5y过点A时z有最大值．由得A(，)，代入得＋＝4，即解得m＝3.
10．某人承包一项业务，需做文字标牌4个，绘画标牌5个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m2，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m2，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小？
[解析] 设需要甲种原料x张，乙种原料y张，则可做文字标牌(x＋2y)个，绘画标牌(2x＋y)个．
由题意可得：所用原料的总面积为z＝3x＋2y，作出可行域如图．
在一组平行直线3x＋2y＝t中，经过可行域内的点且到原点距离最近的直线过直线2x＋y＝5和直线x＋2y＝4的交点(2,1)，
∴最优解为：x＝2，y＝1
∴使用甲种规格原料2张，乙种规格原料1张，可使总的用料面积最小.
一、选择题
1．设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1 B．2，－2
C．1，－2 D．2，－1
[答案] B
[解析] 本题主要考查线性规划问题．
不等式|x|＋|y|≤1表示的平面区域如图所示，当目标函数z＝x＋2y过点(0，－1)，(0,1)时，分别取最小和最大值，所以x＋2y的最大值和最小值分别为2，－2，故选B．
2．已知z＝x2＋y 2－4x－4y＋8，则z的最小值为( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 画出可行域如图所示．
z＝(x－2)2＋(y－2)2为可行域内的点到定点(2,2)的距离的平方，
∴zmin＝2＝.
3．若实数x、y满足不等式，且x＋y的最大值为9，则实数m＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[答案] C
[解析] 如图，作出可行域．
由，得
A，
平移y＝－x，当其经过点A时，x＋y取最大值，即＋＝9.
解得m＝1.
4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800元 B．2 400元
C．2 200元 D．2 000元
[答案] C
[解析] 设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．
二、填空题
5．某运输公司接受了向地震灾区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费用为A型卡车为320元，B型卡车为504元．每天调配A型卡车________辆，B型卡车________辆，可使公司所花的成本费用最低．
[答案] 5 2
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，
依题意有?.
目标函数z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．
作出上述不等式组所确定的平面区域如图所示，即可行域．
由图易知，直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(5,2)使z＝320x＋504y取得最小值，
z最小值＝320·5＋504·2＝2608(元)．
6．购买8角和2元的邮票若干张，并要求每种邮票至少有两张．如果小明带有10元钱，共有________种买法．
[答案] 12
[解析] 设购买8角和2元邮票分别为x张、y张，则，
即.
∴2≤x≤12,2≤y≤5，
当y＝2时，2x≤15，∴2≤x≤7，有6种；
当y＝3时，2x≤10，∴2≤x≤5，有4种；
当y＝4时，2x≤5，∴2≤x≤2，∴x＝2有一种；
当y＝5时，由2x≤0及x≥0知x＝0，故有一种．
综上可知，不同买法有：6＋4＋1＋1＝12种．
三、解答题
7．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则
，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A时纵截距z最大，即z＝2x＋y取最大值．
解方程组得.
故每天生产甲、乙两种烟花各24枚才能使获利最大．
8．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解析] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．
课件53张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索北师大版 · 必修5 不等式第三章第三章§4 简单线性规划 第3课时 简单线性规划的应用近20年来，中国的城市化取得了巨大的成就．城市人口急剧增加，导致购房者大大增长．与装修有关的各个行业发展迅速．某家具加工厂为了满足人们的需求，准备加工书桌和书橱出售．家具厂现有方木90m2，五合板600m2.已知生产每张书桌需要方木料0.1m2，五合板2m2，生产书橱每个需要方木0.2m2，五合板1m2.出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元．怎样安排生产可使利润最大？要解决这个问题就要用到线性规划，下面让我们来研究一下线性规划问题.1.解线性规划应用题的步骤：
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为数学上的线性规划问题．
(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．
求解过程：
①_____——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线l.作图②________——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置．
③________——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
(3)作答——就应用题提出的问题作出回答．
2．线性规划解决的常见问题有：________问题、________问题、________问题、________问题、________问题等．平移求值物资调配产品安排合理下料产品配方方案设计1.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是( )
A．12万元 B．20万元
C．25万元 D．27万元
[答案] D[解析] 设生产甲产品x吨，乙产品y吨时，则获得的利润为z＝5x＋3y.2．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱[答案] B
[解析] 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知3．铁矿石A和B的含铁率为a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c，如下表：
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为______(百万元)．
[答案] 15收益最大问题(利润、收入、产量等) [解析] 依题意可列表如下：画出不等式组②表示的平面区域OABC如图．
[方法总结] 解答线性规划应用题应注意以下几点：
(1)在线性规划问题的应用中，常常是题中的条件较多，因此认真审题非常重要；
(2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断；
(3)结合实际问题，分析未知数x、y等是否有限制，如x、y为正整数、非负数等；
(4)分清线性约束条件和线性目标函数，线性约束条件一般是不等式，而线性目标函数却是一个等式；
(5)图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上都是在图上完成的，所以作图应尽可能地准确，图上操作尽可能规范．但作图中必然会有误差，假如图上的最优点不容易看出时，需将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一检查，以确定最优解．某厂计划生产甲、乙两种产品，甲产品售价50千元/件，乙产品售价30千元/件，生产这两种产品需要A、B两种原料，生产甲产品需要A种原料4t/件，B种原料2t/件，生产乙产品需要A种原料3t/件，B种原料1t/件，该厂能获得A种原料120t，B种原料50t.问生产甲、乙两种产品各多少件时，能使销售总收入最大？最大总收入为多少？画出不等式组表示的平面区域即可行域如图．耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题 某公司租赁甲、乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元，设备乙每天的租赁费为300元．现该公司至少要生产A类产品50件，B类产品140件，所需租赁费最少为________元．
[答案] 2300作出如图所示的可行域．
令z＝0，得l0：2x＋3y＝0，
平移l0可知，当l0过点A时，z有最小值．线性规划中的整点问题 今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问
各截这两种钢板多少张可得所需三种规格的成品，且使所用钢板张数最少．作出可行域如图所示：[方法总结] 可行域内最优解为整点的问题的处理
用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精确度要求较高，平行直线系f(x，y)＝t的斜率要画准，可行域内的整点要找准．那么如何解决这一实际问题呢？
确定最优整数解常按以下思路进行：
(1)若可行域的“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解(在包括边界的情况下)；(2)若可行域的“顶点”不是整点或不包括边界时，一般采用网格法，即先在可行域内打网格、描整点、平移直线l、最先经过或最后经过的整点坐标是整数最优解．这种方法依赖作图，所以作图应尽可能精确，图上操作尽可能规范．
(3)采用优值调整法，此法的一般步骤为：
①先求出非整点最优解及其相应的最优值；
②调整最优值，代入约束条件，解不等式组；
③根据不等式组的解筛选出整点最优解．某人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分割成两类房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每名旅客每天住宿费40 元；小房间每间面积为15 m2，可以住游客3名，每名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需要1000元，装修小房间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？作出可行域，如图所示．当直线z＝200x＋150y经过可行域上的点M时，z最大．作出平面区域如图．令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，t最大，tmax＝－1.
当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．t最小，∴tmin＝－4，∴－4≤t≤－1.
[辨析] 误解中忽视了点(a，b)的存在范围不包含边界．作出平面区域如图．