上海市嘉定区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版无答案）

高二年级第一学期期中考试
数 学 试 卷
考生注意：
1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的
解答一律无效；
2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题纸内相应位置填写清楚；
3．本试卷共 21道试题，满分 150分，考试时间 120 分钟．
一、填空题（本大题满分 54分，1-6题每题 4分，7-12题每题 5分）
1．已知等比数列{a }中，n a2 = 4 ， a6 = 8，则 a ________． 10 =
5(1+ 2i)
2．复数 的模为_________．
3 4i
3．若两直线a 、b 与平面 所成的角相等，则a 与b 的位置关系是_________．
4．在等差数列{an}中，a1 + a3 = 2，a + a = 6，则数列{an}的前 10 项的和等于_______． 2 4

5．若向量a = (k,1)，b = (3,4) ，已知 a 与b的夹角为 ，则实数 k 是_________．
2
6．已知二面角 l 的大小为 140°，直线a 、b 分别在平面 、 内，且都垂直于棱
l ，则 a与 b所成角的大小为_________．
7．如图，四面体 ABCD 中，PA、 PB、PC 两两垂直，且
PA = PB = PC = 2，则点P到平面 ABC 的距离为_________．
8．已知 y = f (x)的表达式为 f (x) = Asin(2x + ) (A 0,0 2 )
的部分图像如右图，则 f (0) = ___________．
9．已知 a、b、c 分别为△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边， a = 2，且
(2+b)(sin A sin B) = (c b)sinC ，则△ ABC 面积的最大值为_________．
10．两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为
1: 2，则它们的体积比为___________．
11．对于函数 y = f (x)，部分 x 与 y 的对应关系如下表所示：
数列{xn}满足： x1 = 2，且对于任意的 x N,x 0，点 (xn , xn+1) 都在函数 y = f (x)图像
上，则 x1 + x2 + + x2022 = ___________．
1
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12．异面直线 a、b所成角为 ，直线 c与 a、b垂直且分别交于 A、B，点 C、D分别在直
3
线 a、b上，若 AC =1， AB = 2 ， BD = 3 ，则 CD的长度为___________．
二、选择题（本大题满分 18分 13、14题各 4分，15、16题各 5分）
13．已知直线 n 平面 ，则m∥ n 是m∥ 的（ ）
A. 充要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件
1+ i
14． i 为虚数单位，则 ( )2011 =（ ）
1 i
A. i B. 1 C. i D. 1
15．在钝角△ABC中，角 A、B、C所对的边分别为 a、b、c，若 a = 1，b = 2，则最大边
c的取值范围是（ ）
A. ( 5,+ ) B. (2, 5) C. ( 5,2 2) D. ( 5,3)
16．已知三棱锥P ABC 的顶点都在球O的球面上， AB ⊥ AC, BC = 2 2, PB ⊥平面
ABC ，若球O的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（ ）
4 7 8 7 8
A． B．5 C． D．
3 3 3
三、解答题（本大题满分 78分）
17．(本题满分 14分)本题共有 2个小题，第 1小题 6分，第 2小题 8分 ．
已知函数 f (x) = 3sin2x + cos2x .

（1）将函数化为 y = Asin( x + )（ A 0,0 ）的形式，求 A, , 的值；
2

（2）当 x [ , ]时，求 f (x)的最大值和最小值，并指出取得最值时 x 的值.
6 3
18．（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1小题 4分，第 2小题 10分．
（1）请用文字语言叙述两个平面平行的判定定理；
（2）将（1）中的定理改写成“已知……求证……”的形式，并用反证法证明．
2
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19．（本题满分 16分）本题共有 2 个小题，第 1小题 6分，第 2小题 10分．
在一次招聘会上，应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取. 甲公司给出的工资标准:
第一年的年薪为 4.2万元，以后每年的年薪比上一年增加 6000元；乙公司给出的工资标
准: 第一年的年薪为 4.8万元，以后每年的年薪比上一年增加 8%．
（1）若小李在乙公司连续工作 5年，则他在第 5年的年薪是多少万元？
（2）为了吸引小李的加盟，乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴 0.72万
元. 那么小李在甲公司至少要连续工作几年，他的工资总收入才不低于在乙公司工作 10 年
1.084的总收入？（参考数据 1.4，1.085 1.5 1.0810， 2.2）
20．（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1小题 5分，第 2小题 5分， 第 3 小题 6
分．
如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是棱 DD1 的中点.
（1） 求直线 BE与平面 ABB1A1所成角的正弦值；
（2） 确定平面 A BE 与平面C1CDD1 1的交线；
（3） 在棱C1D1上是否存在一点 M，使得B1M ∥平面 A1BE ？请证明你
的结论．
3
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21．（本题满分 18 分）本题共有 3个小题，第 1小题 4分，第 2小题 6分， 第 3小题 8分．
若数列{an}的前 n项和为 S ，且满足等式an + 2Sn = 3 ， n
（1）求数列{a }的通项公式； n
（2）能否在数列{an}中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
1
（3）令bn = log
*
1 an + ，记函数 f (x) = b x
2 + 2b x +b （ n N ）的图像在 x 轴上截n n+1 n+2
2
3
1
得的线段长为 cn ，设T = (c c + c c + + c c ) （ n 2），求Tn ，并证明： n 1 2 2 3 n 1 n
4
2n 1
T2T3T4 T ． n
n
4
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