2023-2024 学年度第一学期期中考试
高二数学
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分. 考试用时 120 分钟.
注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生
号、试室号、座位号填写在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案
不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题
卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，
然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的
答案无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点 A(2,m)，B(3,3) ，直线 AB 的斜率为 1，那么 m 的值为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 过点 P( 1,2)且方向向量为a ( 1,2)的直线方程为
A. 2x y 0 B. x 2y 5 0
C. x 2y 0 D. x 2y 5 0
1
3. 若平面 平面 ，平面 的法向量为n ( 2,1, ) ，则平面 的法向量可以
2
是
1 1 1
A. ( 1, , ) B. (2, 1,0) C. (1,2,0) D. ( ,1,2)
2 4 2
4. 已知点 A(4,1,3) ，B(2, 5,1)，C 为线段 AB 上靠近 A 点的三等分点，则点 C 的
坐标为
14 11 8 5 10 7 5 7 3
A. ( ,3, ) B. ( , 3, ) C. ( , 1, ) D. ( , , )
3 3 3 3 3 3 2 2 2
高二数学试题 第 1 页（共 6 页）
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5. 袋内有大小相同的 3 个白球和 2 个黑球，从中不放回地摸球，用 A 表示“第一
次摸到白球”，用 B 表示“第二次摸到白球”，用 C 表示“第一次摸到黑球”，
则下列说法正确的是
A. A 与 B 为互斥事件 B. B 与 C 为对立事件
C. A 与 C 为相互独立事件 D. A 与 B 为非相互独立事件
6. 点 P 在直线3x y 5 0上，且点 P 到直线 x y 1 0的距离为 2 ，则 P 点
坐标为
A. (1,2) B. (2,1)
C. (1,2) 或 (2, 1) D. (2,1) 或 ( 2,1)
7. 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，记正面向上的点数为 2a，则函数 f (x) x
2ax 2有两个不同零点的概率为
1 1 2 5
A. B. C. D.
3 2 3 6
8. 正四面体 ABCD 中，M，N 分别是 BC，AD 的中点，则直线 AM 和 CN 夹角的正
弦值为
2 5 2 3
A. B. C. D.
3 3 2 3
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0
分.
9. 已知直线 l ： ax y 2 0， l ： (3a 2)x ay 1 01 2 ，若 l1 // l a 2 ，则
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
10. 对于直线 l ： x my 1，下列说法正确的是
A. 直线 l 恒过定点 (1,0)
B. 直线 l 斜率必定存在
C. m 3时直线 l 的倾斜角为60
1
D. m 2 时直线 l 与两坐标轴围成的三角形面积为
4
高二数学试题 第 2 页（共 6 页）
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11. 已知事件 A，B，且P(A) 0.5， P(B) 0.2，则下列结论正确的是
A. 如果 B A，那么 P(AB) 0.5
B. 如果 A 与 B 互斥，那么 P(AB) 0
C. 如果 A 与 B 相互独立，那么P(AB) 0
D. 如果 A 与 B 相互独立，那么P(AB) 0.4
12. 正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F，G 分别为BC,CC1,BB1的中点．则
A. 直线 EF 与直线 AE 垂直
B. 直线 A1G 与平面 AEF 平行
9
C. 平面 AEF 截正方体所得的截面面积为
2
D. 点 A1 和点 D 到平面 AEF 的距离相等
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13. 已知空间向量a (1,0,2) ，b ( 2,1,3) ，则a 2b __________.
14. 某兴趣小组有 2 名男生和 3 名女生，现从中任选 2 名学生去参加活动，则恰好
选中 2 名女生的概率为__________.
15. 若正方形一条对角线所在直线的斜率为 2，写出该正方形的一条边所在直线的
斜率________.
16. 已知 A(1,0) ，B( 1,2)，直线 l ：2x ay a 0 上存在点 P，满足 | PA | | PB |
2 2 ，则实数 a 的取值范围是__________.
高二数学试题 第 3 页（共 6 页）
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四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. ( 10 分 )
已知向量a (x,4,1) ，向量b ( 2, y, 1) ，向量 c (3, 2, z) ，且a // b ，b c .
求：
（1） a ，b ， c ；
（2）a c 与b c所成角的余弦值．
18. ( 12 分 )
在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A( 3,2)，
B(4,3)，C( 1, 2).
（1）求过点 B 且与 AC 边所在直线平行的直线方程；
（2）在 ABC 中，求 BC 边上的高所在直线的方程；
（3）求 ABC 的面积．
高二数学试题 第 4 页（共 6 页）
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19. ( 12 分 )
如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD 平面 ABP，BC//AD， PAB 90 ，
PA AB 2， AD 3， BC 1，E 是 PB 的中点．
（1）证明：PB 平面 ADE；
（2）求直线 AP 与平面 AEC 所成角的正弦值．
P
E
D
A
B C
20. ( 12 分 )
某课外活动小组有三项不同的任务需要完成，已知每项任务均只分配给组员甲
和组员乙中的一人，且每项任务的分配相互独立，根据两人的学习经历和个人能力
1 1 3
知，这三项任务分配给组员甲的概率分别为 ， ， .
2 3 4
（1）求组员甲恰好分配到一项任务的概率；
（2）求组员甲至少分配到一项任务的概率；
（3）设甲、乙两人分配到的任务数分别为 x 项和 y 项，求P(x y).
高二数学试题 第 5 页（共 6 页）
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21. ( 12 分 )
如图，在正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2， AA1 4. 点 A2 ， B2 ，C2 ，
D2 ，分别在棱 AA1 ，BB1 ，CC1 ，DD1上， AA2 1， BB2 DD2 2，CC2 3.
（1）证明： B2C2 //A2D2 ；
（2）点 P 在棱 BB1 上，当平面PA2C2 与平面D2 A2C2 的夹角为 时，求B2P.
6
22. ( 12 分 )
已知直线 l： kx y 1 2k 0.
（1）当 k 1时，求直线 l 与直线2x y 1 0的交点坐标；
（2）若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A，交 y 轴正半轴于点B.
① AOB的面积为 S，求 S 的最小值和此时直线 l 的方程；
1
②已知点 P（-2,1），当 PA PB 取最小值时，求直线 l 的方程．
2
高二数学试题 第 6 页（共 6 页）
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高二数学参考答案及评分说明
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主
要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果
后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、单选题
1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.B
二、多选题
9.AB 10.AD 11.BD 12.BCD
三、填空题
3 1 2
13. 5, 2, 4 14. 15. 、 3（写一个即可） 16.[ ,2]
10 3 3
四、解答题
17.解： (1) a / /b ，
x 4 1
， ········································································································ 1 分
2 y 1
解得 x 2， y 4， ································································································ 2 分
故 a (2,4,1) ，b ( 2, 4, 1)， ···················································································· 3 分
又因为b c ，
所以b c 0，即 6 8 z 0， ················································································· 4 分
解得 z 2 ，
故 c (3, 2,2) ··········································································································· 5 分
(2)由 (1)可得 a c (5,2,3) ，b c (1, 6,1) ， ································································ 7 分
设向量a c 与b c 所成的角为 ，
(a c) (b c) 5 12 3 2
则 cos ······································································ 10 分
| a c ||b c | 38 38 19
18.解： (1) A( 3,2) ，C( 1, 2).
2 2
所以 kAC 2， ···························································································· 1 分
1 3
高二数学答案 第 1 页（共 6 页）
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所以所求直线方程为 y 3 2(x 4)，即2x y 11 0； ············································· 3 分
(2)因为 B(4,3) ，C( 1, 2).
3 2
则直线 BC 的斜率 kBC 1. ················································································· 4 分
4 1
BC 边上的高线斜率 k 1， ···················································································· 5 分
BC 边上的高线方程为： y 2 (x 3) ，即 x y 1 0.
BC 边上的高线所在的直线方程为 x y 1 0. ····························································· 7 分
(3) B(4,3)，C( 1, 2)，
| BC | ( 2 3)2 ( 1 4)2 5 2 ， ······································································· 8 分
且直线 BC 的方程为： x y 1 0. ··············································································· 9 分
| 3 2 1|
点 A 到直线 BC 的距离 d 3 2 ， ·························································· 10 分
2
1
ABC 的面积 S 5 2 3 2 15. ······································································· 12 分
2
19. (1)证明：因为 AD 平面 PAB， PB 平面 PAB，
所以 AD PB. ········································································································· 1 分
又 PA AB，E 是 PB 的中点，
所以 AE PB. ·········································································································· 2 分
又 AD，AE 都在平面 ADE 内，且 AD AE A，···························································· 3 分
所以 PB 平面 ADE. ································································································· 4 分
(2)解：因为 AD 平面 PAB， PA 平面 PAB， AB 平面 PAB，
所以 AD AB ， AD PA.
又因为 PA AB，
以 AB，AD，AP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的建立空间直角坐标系 A xyz ，
则 A(0,0,0) ，C(2,1,0) ， E(1,0,1) ， P(0,0,2) ， ················· 6 分 z
P
所以 AC (2,1,0) ， AE (1,0,1) ， AP (0,0,2)， ·············· 7 分
设平面 AEC 的法向量 n (x, y, z)， E
D
n AC 0, 2x y 0,
A y
则 即 令 x 1，则 y 2， z 1，
n AE 0, x z 0, B
C
所以 n (1, 2, 1).
x
·························································· 9 分
设直线 AP 与平面 AEC 所成的角为 .
| n AP | 2 6
sin | cos n AP | . ··································································· 11 分
| n || AP | 6 2 6
高二数学答案 第 2 页（共 6 页）
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6
所以直线 AP 与平面 AEC 所成角的正弦值为 . ···························································· 12 分
6
20.解： (1) 设事件 Ai 为甲分配到第 i 项任务，则事件 Ai 为乙分配到第 i 项任务， i 1,2,3，
依题意，事件 Ai 、 Ai 两两相互独立，1 分
····································································································································
设事件B 为甲恰好分配到一项任务，则B A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3，······························· 2 分
因为 A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3互斥，
所以P(B) P(A1A2A3) P(A1A2A3) P(A1A2A3)
1 1 3 1 1 3 1 1 3 3
1 1 1 1 1 1 ； ························ 4 分
2 3 4 2 3 4 2 3 4 8
(2)记事件 C 为甲一项任务都没有被分配，则C A1A2A3， ················································ 5 分
1 1 3 1
所以 P(C) P(A1A2 A3) 1 1 1 ， ······················································ 7 分
2 3 4 12
11
所以组员甲至少分配到一项任务的概率为1 P(C) ； ··················································· 8 分
12
(3) 依题意满足 x y ，即 x 3， y 0 或 x 2， y 1， ················································· 9 分
所以所求事件为 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 ，
因为 A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3, A1A2A3 互斥，
所以 P(x y) P(A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3 A1A2A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3) P(A1A2 A3)
1 1 3 1 1 1 1 2 3 1 1 3 13
. ······························································ 12 分
2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
21.证明： (1)以C 为坐标原点，CD,CB,CC 所在直线为 x, y, z1 轴建立空间直角坐标系，如图，
则C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2), A2(2,2,1)， ··················· 1 分
B C (0, 2,1), A D (0, 2,1)， ··········································· 2 分 2 2 2 2
B C ∥A D ， ···································································· 3 分 2 2 2 2
又 B2C2，A2D2 不在同一条直线上，
B2C2∥A2D2 . ······································································· 4 分
(2)设 P(0,2, )(0 4) ， ····················································· 5 分
则 A2C2 ( 2, 2,2),PC2 (0, 2,3 ),D2C2=( 2,0,1)，
设平面PA2C2 的法向量n (x, y, z) ，
n A2C2 2x 2y 2z 0
则 ，
n PC2 2y (3 )z 0
高二数学答案 第 3 页（共 6 页）
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令 z 2 ，得 y 3 , x 1，
n ( 1,3 ,2)， ································································································· 7 分
设平面 A2C2D2 的法向量m (a,b,c) ，
m A2C2 2a 2b 2c 0
则 ，
m D2C2 2a c 0
令 a 1，得b 1,c 2 ，
m (1,1,2)， ·········································································································· 9 分
n m 6 3
cos n,m cos ， ········································· 10 分
n m 6 4 ( 1)2 (3 )2 6 2
化简可得， 2 4 3 0，
解得 1或 3， ·································································································· 11 分
P(0,2,1) 或 P(0,2,3)，
B2P 1.················································································································ 12 分
向量法评分注意：【摘自 2023 年山东高考评卷细则】
1、建系 1 分,建系可以文字语言叙述,也可以在图上标出,只要有建系就得 1 分。如果用左手系，只有全部正
确才得满分，否则 0 分。
2、法向量只要正确就得 2 分。
3、有两个法向量的夹角公式就得 1 分，不带绝对值不扣分。
4、若只写结果B2P 1，没有任何过程，可得结果分 2 分。
22.解： (1) 当 k 1时，直线 l 为 x y 3 0，
2
x
x y 3 0 3
由 ，解得： ， ·············································································· 1 分
2x y 1 0 7y
3
2 7
故所求交点为 , ； ······························································································ 2 分
3 3
(2)①由题意设 A( a,0) ， B(0,b) ， a 0，b 0 ，
x y
故直线 l 的方程为 1， ···················································································· 3 分
a b
因为直线 l 过定点 ( 2,1) ，
2 1
代入方程可得 1， ···························································································· 4 分
a b
2 1 2 1
所以1 2 ，
a b a b
所以 ab 8， ·············································································································· 5 分
高二数学答案 第 4 页（共 6 页）
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2 1
当且仅当 时等号成立，
a b
1
所以 S ab 4，
2
所以 AOB的面积的最小值是 4， ·················································································· 6 分
2 1
此时 a b ，解得： a 4，b 2 ；
ab 8
所以此时直线 l 的方程为： x 2y 4 0； ···································································· 7 分
1 2
②由题意，P（-2,1），设 PAO (0 ) ，则PA ，PB ，
2 sin cos
1 1 1 sin cos
PA PB ， ····································································· 8 分
2 sin cos sin cos
令 sin cos t ，则 t 2 sin( ) ， (0, )，
4 2
t2 1
所以 t (1, 2],sin cos , ················································································ 9 分
2
1 sin cos 2t 2
PA PB
2 sin cos t2 1 1 ，
t
t
1
f (t) t 在 (1, 2]上单调递增，
t
故当 t 2 时， f (t) 取最大值， ················································································· 10 分
1
此时PA PB 取最小值，
2
当 t 2 时，有 sin( ) 1，解得 ，······························································ 11 分
4 4
所以直线 l 的倾斜角为 ，
4
所以 k tan 1，
4
所以直线方程为 x y 3 0. ····················································································· 12 分
1 2k
解法 2：由（1）可知：k>0,A( ,0), B(0,2k 1), P( 2,1)
k
由 P、A、B 三点共线，设 PB 的中点为 M，则 M（－1，k+1）
1
PA PB PA PM AM ················································································ 8 分
2
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2
2 1 2k 2AM 1 k 1
k
k 2
1 1
2(k ) 2 ······················································································ 9
k 2
分
k
2 k 2
1 1
2 2 k 2 8 ··············································································· 10 分
k 2 k
2 1 1当且仅当k ,k 时取等号，此时k 1 ···························································· 11 分
k 2 k
此时直线方程为：x-y+3=0 ··························································································· 12 分
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