湖北省十堰市部分普通高中2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含答案）

十堰市部分普通高中2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学试卷
考试时间：2023年11月8日下午14：30-16：30试卷满分：150分
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线的斜率为（ ）
A．不存在 B．-3 C． D．0
2．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
3．经过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知a、b是相互垂直的异面直线，，分别为取自直线a、b上的单位向量，且，，
，则实数k的值为（ ）
A．-6 B．6 C．3 D．-3
7．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线．已知的顶点，，若其欧拉线的方程为，则顶点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列命题中，错误的是（ ）
A．垂直于同一个平面的两个平面平行
B．三个平面两两相交，则交线平行
C．一个平面与两个平行平面相交，则交线平行
D．平行于同一条直线的两个平面平行
10．已知直线l的一个方向向量为，且l经过点，则下列结论中正确的是（ ）
A．l的倾斜角等于150° B．l在x轴上的截距等于
C．l与直线垂直 D．l上存在与原点距离等于1的点
11．已知直线：，：，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．不经过第三象限，则
12．如图，在棱长为4的正四面体ABCD中，E，F分别在棱DA，DC上，且，若，，，，则（ ）
A．
B．当时，直线BP与平面ABC所成角的正弦值的取值范围为
C．当时，点P的轨迹为一条线段（不含端点）
D．当时，平面ACD与平面BDP所成的锐二面角为θ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．直线与直线互相平行，则______．
14．有一组数据2，2，3，3，3，5，7，8，这组数据的第25百分位数是______．
15．过点，且在x轴，y轴上的截距互为相反数的直线方程为______．
16．如图，在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱BC，AB的中点，若平面，则______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知中，点，点，点．
（1）求边BC上的高所在直线的方程；
（2）求角平分线所在直线的方程．
18．如图，已知正方体的棱长为4，M，N，G分别是棱，BC，的中点，设Q是该正方体表面上的一点，若．
（1）求点Q的轨迹围成图形的面积；
（2）求的最大值．
19．如图，在长方体中，，，E为AB的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
20．已知直线：，直线：．
（1）若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）若，求直线的方程．
21．已知直线l：．
（1）求证：无论k取何值，直线l始终经过第一象限；
（2）若直线l与x轴正半轴交于A点，与y轴正半轴交于B点，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
22．已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，，E为CD的中点，．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）若，直线PC与平面ABCD所成的角为，在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？若存在，求点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由．
高二数学答案及解析
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C D B B D A
二、多选题
9 10 11 12
ABD CD AD AD
三、填空题
13．-1 14．2.5 15．， 16．
三、解答题
17．解：（Ⅰ）因为点，点，所以边BC所在直线斜率，
所以边BC上的高所在直线的斜率，且过点．
所以边BC上的高所在直线的方程为．
（Ⅱ）由得，所以角平分线的倾斜角为30°，
所以角平分线所在直线的斜率，且过点，
所以角平分线所在直线l的方程为．
18．解：∵，∴点Q在平面MGN上，
如图，分别取AB，，的中点E，F，O，
连接OG，OF，FN，EN，，OE，NG，
因为M，G分别为，的中点，故，
又由正方体可得，，，，
故，，故四边形为平行四边形，故，
故，故M，G，O，E四点共面，同理可证M，G，N，E四点共面，
故M，G，O，N，E五点共面，同理可证G，O，N，F四点共面，
故 六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形．
故点Q的轨迹是正六边形OFNEMG，
因为正方体的棱长为4，所以正六边形OFNEMG的边长为，
所以点Q的轨迹围成图形的面积是．
如图，根据向量数量积的几何意义可得
，
∴的最大值为12．
19．解：在长方体中，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，
（Ⅰ）因为，，又由，
所以，即
（Ⅱ）因为，
设为平面的法向量，则，，
所以，
令，则，，
所以为平面的一个法向量 又因为，，
而，
所以直线与平面夹角的正弦值为．
20．（1）①若直线过原点，则在坐标轴的截距都为0，显然满足题意，
此时则，解得，
②若直线不过原点，则斜率为，解得．
因此所求直线的方程为或
（2）①若，则解得或．
当时，直线：，直线：，两直线重合，不满足，故舍去；
当时，直线：，直线：，满足题意；
因此所求直线：．
21．（1）因为直线l：，即，令，求得，，
即直线l过定点且在第一象限，所以无论k取何值，直线l始终经过第一象限．
（2）因为直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点，所以，
令，解得；令，得，即，，
∴，∵，∴，
则，当且仅当，也即时，取得等号，
则，∴，从而S的最小值为4，
此时直线l的方程为，即．
22．解：由四边形ABCD是直角梯形，，
，，可得，，
从而是等边三角形，，BD平分．
∵E为CD的中点，，∴，
又∵，，∴平面PBD，又∵平面ABCD，∴平面平面ABCD．
（2）在平面PBD内作于O，连接OC，又∵平面平面ABCD，
平面平面，∴平面ABCD
∴为PC与平面ABCD所成的角，则，
由题意得，∴，，∴O为BD的中点，∴．
以OB，OC，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
假设在侧面PCD内存在点N，使得平面PCD成立，
设（λ，，），
由题意得，，
，，由，∴
满足题意，解得，．∴N点到平面ABCD的距离为．