重庆市北碚区2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

重庆市北碚区2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试题
总分：150分 考试时间：120分钟
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
1. 设集合，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知a，，，若，则的虛部是（ ）
A. 2 B. -2 C. -2i D. 2i
3. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则（ ）
A. B. C. D. 3
4. 现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ）
A. 33 B. 34 C. 36 D. 37
5. 20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A. 120种 B. 240种 C. 360种 D. 720种
6. 已知两条异面直线a，b所成角为，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为，则这样的直线l有（ ）
A. 2条 B. 3条 C. 4条 D. 5条
7. 已知抛物线的焦点关于直线的对称点为， 为坐标原点, 点在上且满足（均不与重合），则面积的最小值为（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 20
8. 若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分。
9. 设随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A. 服从正态分布
B.
C.
D. 当且仅当时，取最大值
10. 若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）
A. 与所成的角为 B. 与所成的角为
C. 与平面所成角的正弦值为 D. 平面与平面所成角的正切值是
11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，则（ ）

A. 曲线有两条对称轴
B. 曲线上的点到原点的最大距离为
C. 曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为
D. 四叶草面积小于
12. 单位向量，，的两两夹角为，若实数，，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最大值是 B. 的最大值是
C. 的最大值是 D. 的最大值是
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分。
13. 一组样本数据为，若是方程的两根，则这个样本的方差是 .
14. 已知正方形的边长为2，点是边上的动点，则的最大值为 .
15. 已知数列中，，若对任意，则数列的前项和 .
16. 已知函数（且），若，是假命题，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：共70分。
17. （10分）在中，，，所对的边分别为，，，已知.
(1)若，求的值；
(2)若是锐角三角形，求的取值范围.
18. （12分）已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
19. （12分）如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD为矩形，四边形BDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，，G是CF的中点.

(1)证明：平面AEF；
(2)求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值.
20. （12分）2024届起，上海实行高考改革新方案. 新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门科目中选取3门作为选考科目. 某校为了解高一年级360名学生选科方案的意向，随机选取36名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：
性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理
男生 16 16 16 8 2 4 2
女生 20 4 4 20 6 16 10
(1)估计该学校高一年级学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生有多少人？
(2)从选取的16名男生中随机选出2名，求恰好有1人选“物理、化学、生物”组合的概率；
(3)已知选取的20名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”3种选科方案，若从选取的20名女生中随机选出2名，设随机变量为，其中两名学生选科方案不同时，，两名学生选科方案相同时，，求的分布列与期望.
21. （12分）已知椭圆的左右顶点分别为A，B，椭圆E与抛物线的准线相切，椭圆的左焦点F到A，B两点的距离之积为3.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q，直线BP，BQ分别与y轴交于点M，N，则，求直线PQ的方程.
22. （12分）已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)当时，证明：.
重庆市北碚区2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A C B A C C A BC BCD BCD AC
解析：
1. 方程，时不成立，有，则，
由，，得.
2. 因为，所以，所以，
所以，所以的虛部是2.
3. 因为角的终边经过点，且，
所以且，
解得，
所以，则.
4. 设没剪之前正方形的边数为，即，
沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开得到一个三角形和一个四边形，，
然后无论是选择三角形或四边形，剪一次后边数都增加3，
所以可知次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列，即，
故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为，
5. 先在编2号,3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，
三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，
插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有（种）方法.
6. 如图：

通过平移过点P作a∥BD，b∥CE，由题意，,,
而的角平分线与a和b的所成角为，
的角平分线与a和b的所成角为，
因为，所以直线l和a，b所成角均为的直线有4条，
其中直线l在平面BPE的射影为的角平分线时存在2条直线满足条件，
当直线l在平面EPD的射影为的角平分线时存在2条满足条件，故共4条.
7. 在中，焦点为，
焦点关于直线即的对称点为，
，解得，
∴抛物线的方程为,
显然直线的斜率不为 0 , 设直线的方程为, 且,

设,
联立, 整理可得,
, 即, 且,,
又因为, 即,
∴,
∴即直线的方程为，
∴直线恒过 点，
∴，
当且仅当时, 等号成立.
8. 设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
9. 对于A，随机变量，
则服从二项分布，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，设为最大值，
则，
即，解得，
所以当或时，取最大值，故D错误.
10. 由题得示意图：作的中点，连接，
由题可知，所以,
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以，
建立如图所示的空间直角坐标系，不妨令.
选项A：易知，
所以，
所以，则AD与BC所成的角为，故A错误；
选项B：由选项A得，，
所以，则，所以与所成的角为，故B正确；
选项C:设平面的一个法向量为，
易知，，所以，
不妨令，得，又，
所以BC与平面ACD所成角的正弦值为，故C正确；
选项D：易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
又，
所以，令，则，
所以，
设平面与平面所成角为，则，
所以，，故选项D正确.
11. 对于A：当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有四条对称轴，错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，
取等号时，所以最大距离为，正确；
对于C：设任意一点，所以围成的矩形面积为，
因为，所以，所以，
取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，正确；
对于D：由B可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，正确.
12. 由题设有.
因为，故，
整理得到：，
所以，
整理得到，
故即，
所以，所以即，
当时，，，
故的最大值是，故A正确.
取，此时满足，但，故B错误.
因为，
故，当且仅当时等号成立.
所以，
故，
故，故，当且仅当时等号成立，
故的最大值是，故C正确.
对于D，取，，
则，
而此时，
又，
而
，
故，
填空：13. 5 14. 4 15. 16. 或
13. 因为是方程的两根，所以由，解得或4，不妨设，
则样本平均数是4，根据方差公式得
.
14. 以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，

则,
设，
则
所以，
故的最大值为4，
15. 由，且，可知，
则可化为，
则有，即是等比数列，
且公比为2，首项为，则，
所以
，
即数列的前项和为.
16. 因为，
若，由于单调递减，则在R上单调递增；
若，由于单调递增，则在R上单调递减，
又，故，
因为，是假命题，
故，恒成立为真命题，
即不等式对恒成立，
当时，，即在恒成立，
设，即在恒成立.
由于对勾函数在单调递减，在单调递增，
因为，因此；
当时，，
即在恒成立，
当时，函数有最小值，
即，又因为，故. 综上可知：或.
17. （1）在中，，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故，得.
（2）在中，据余弦定理可得，
又，故，即，
又，故.
据正弦定理，可得，
所以，
即，
所以，，
因为，所以，或，
即或（舍）.
所以.
因为是锐角三角形，所以得，
所以，故，
，
所以的取值范围是.
18. （1）当时，.
当时，，
即，
当时，上式也成立，
所以.
当时，也符合，所以.
（2）由（1）知.
，
，
则，
所以.
19. （1）如图，取BC中点H，取AD中点M，
因为为等边三角形，所以，平面平面ABCD，
又平面，平面平面，
所以平面ABCD，又底面ABCD为矩形，则.
以H为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系,

由题意可得，，，，，，
已知G是CF的中点. 则，
可知，
，，由四边形BDEF为平行四边形，
得，
设平面AEF的法向量，
则，取，得，
则平面AEF的一个法向量
故，则.
且平面AEF，则平面AEF.
（2），，，
设平面的法向量，
则，取，得，
得平面BDEF的一个法向量
设直线AE与平面BDEF所成角为，
则，
则为锐角，故.
故所求直线AE与平面BDEF所成角的余弦值为.
20. （1）36名学生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的男生人数为4人，
故估计该学校高一年级学生中选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人；
（2）由数据可知，16名男生中有8人的选科方案为“物理、化学、生物”，
设恰好有1人选“物理、化学、生物”为事件，则.
（3）由数据可知，20名女生中有4人的选科方案为“物理、化学、生物”，
有6人的选科方案为“生物、政治、历史”，有10人的选科方案为“生物、历史、地理”，
，，
的分布列为，故.
21. （1）抛物线的准线方程为，由题知，，
又，所以，所以.
所以椭圆E的方程为.
（2）设过点的直线方程为，代入，
整理得，
则，
设，
则，
直线方程为，得，
直线的方程为，得.
由题知，
整理得，
两边平方整理得，
则，
整理得①，
因为直线过点，所以，代入①整理得：，解得，，
直线PQ的方程为.

22. （1）因为，
所以.
因为在上单调递增，
所以在上恒成立，
故在上恒成立，
即在上恒成立.
令函数，则.
当时，，
所以在单调递减，
所以，
所以a的取值范围为.
（2）要证，，
只需证，.
因为，
所以，.
要证，，
只需证，，
即证，，
即证，.
令函数，，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故.
令函数，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减.
故.
所以，
所以，从而原命题得证.