26.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象（第3课时） 课件（共38张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（沪教版）
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| 名称 | 26.3 二次函数y=ax2+bx+c的图象（第3课时） 课件（共38张PPT）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（沪教版） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 19.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-11 06:51:49 | ||
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文档简介
(共38张PPT)
26.3二次函数y=ax +bx+c的图象（第3课时）
第26章 二次函数
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
代数问题
几何图形面积的最大值问题
01
02
CONTANTS
目 录
代数问题
01
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
情景引入
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多
思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌
情景引入
【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【分析】画出函数的图象h=30t-5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 。
探究新知
因此，当t=-=-=3时，
h有最大值。
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m。
探究新知
一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值。
探究新知
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化。当l 是多少米时，场地的面积S最大？
矩形场地的周长是60m，一边长为l m，所以另一边长为（-l ）m。场地的面积S=l (30-l ),
即S=-l 2+30l(0＜l ＜30）。
因此，当l =-=-=15时，S有最大值==225，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大。
例1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
x
x
x
x
24-4x
探究新知
解：1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（02）当x=-=3时，= = 36 ㎡
3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8
∴ 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
探究新知
归纳总结
面积最值问题：
①找好自变量；
②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。注意：自变量的取决范围。
探究新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如果定价才能使利润最大？
【销售最大利润问题关键】
通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题。
探究新知
1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本____________________元，因此周利润合计为:
y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=+6250 (0≤x≤30)
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。
10x
300-10x
60+x
(60+x)(300-10x)
40×(300-10x)
探究新知
2）设每件降价a元，则此时每星期多卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本______________ 元，因此周利润合计为:
20a
300+20a
60-a
(60-a)(300+20a)
40×(300+20a)
y=(60-a)(300+20a)-40×(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=+6125 (0≤a≤20)
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。
探究新知
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。
当产品售价60元，利润为6000元。
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元。
探究新知
归纳总结
注意：
1. 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.
2. 在实际问题中求最值时，解题思路是:列二次函数解析式，
①用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值；
②针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值.
探究新知
图示是抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。若水面下降1m，水面宽度增加多少？
探究新知
2m
4m
x
y
建立如图所示的直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=a
由抛物线过点(2,-2)得-2=a×4，a=-
所以这条抛物线表示的二次函数为
将y=-3带入二次函数得，
∴水面的宽度增加了（-4）m
新建坐标轴位置不同，所列方程不同
探究新知
2m
4m
x
0
y
建立如图所示直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=a+b
由抛物线过点(2,0)、（0,2）
所以这条抛物线表示的二次函数为+2
将y=-1带入二次函数得，
∴水面的宽度增加了（-4）m
探究新知
归纳总结
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。
（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据题意找出已知点的坐标。
（3）求出抛物线解析式。
（4）直接利用图象解决实际问题。
探究新知
几何图形面积的最大值问题
02
几何图形面积的最大值问题
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
探究新知
解: (1)∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
即
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
探究新知
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解: (2)由面积公式易得：
即
所以，当x=20时，y的值最大，最大为300.
即当AB=20cm时，矩形最大为300cm .
探究新知
变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
E
F
探究新知
A
C
D
40m
30m
B
∟
∟
M
N
O
E
F
解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24，
设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x，
由△AOD∽△FOE，得
即 ，
易得
所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm .
探究新知
1．（2019山西中考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． B． C． D．
B
探究新知
2．（2019合肥市中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m B．4m C．m D．m
D
探究新知
3. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
探究新知
4．（2020贺州市中考）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
10
探究新知
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
C
探究新知
6．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超______m.
x
y
O
1.2
探究新知
7.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为 才不会亏本;
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为 时,每天获得的利润w最大.
6元
9元
探究新知
8.某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200
答：此时每月的总利润最多是1200元.
探究新知
（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=60
70k+b=20
∴
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
解得：
k =－2
b = 160
探究新知
课堂小结
感谢观看
26.3二次函数y=ax +bx+c的图象（第3课时）
第26章 二次函数
教师
xxx
沪教版 九年级第一学期
代数问题
几何图形面积的最大值问题
01
02
CONTANTS
目 录
代数问题
01
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
情景引入
同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌,大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多
思考:现在一个广告公司接到了一笔业务,需要设计一块周长为12 m的矩形广告牌,由于公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费,如果你是该公司的设计员,你能否设计出令广告公司老总满意的广告牌
情景引入
【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=30t-5t2（0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【分析】画出函数的图象h=30t-5t2（0≤t≤6），可以看出这个函数图象是一条抛物线的一部分。这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值 。
探究新知
因此，当t=-=-=3时，
h有最大值。
也就是说，小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m。
探究新知
一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x=-时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值。
探究新知
用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l 的变化而变化。当l 是多少米时，场地的面积S最大？
矩形场地的周长是60m，一边长为l m，所以另一边长为（-l ）m。场地的面积S=l (30-l ),
即S=-l 2+30l(0＜l ＜30）。
因此，当l =-=-=15时，S有最大值==225，也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大。
例1、如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
A
B
C
D
x
x
x
x
24-4x
探究新知
解：1）S＝x（24－4x）＝－4x2＋24x（0
3) ∵墙的可用长度为8米
∴ 0<24－4x ≤8
∴ 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
探究新知
归纳总结
面积最值问题：
①找好自变量；
②利用相关的图象面积公式，列出函数关系式；
③利用函数的最值解决面积最值问题。注意：自变量的取决范围。
探究新知
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件。已知商品的进价为每件40元，如果定价才能使利润最大？
【销售最大利润问题关键】
通过售价与利润关系得到二次函数的关系式，根据二次函数最值解决利润最值问题。
探究新知
1）设每件涨价x元，则此时每星期少卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本____________________元，因此周利润合计为:
y=(60+x)(300-10x)-40×(300-10x)
=-10x2+100x+6000
=+6250 (0≤x≤30)
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。
10x
300-10x
60+x
(60+x)(300-10x)
40×(300-10x)
探究新知
2）设每件降价a元，则此时每星期多卖______件，实际卖出________________件，此时每件产品的销售价为__________元，每周产品的销售额___________________元，此时每周产品的成本______________ 元，因此周利润合计为:
20a
300+20a
60-a
(60-a)(300+20a)
40×(300+20a)
y=(60-a)(300+20a)-40×(300+20a)
=-20a2+100a+6000
=+6125 (0≤a≤20)
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。
探究新知
当产品单价降价2.5元，即售价57.5元，最大利润为6125元。
当产品单价涨价5元，即售价65元，最大利润为6250元。
当产品售价60元，利润为6000元。
综上所述，当涨价5元时利润最大，最大利润6250元。
探究新知
归纳总结
注意：
1. 用二次函数解实际问题时，审题是关键，检验容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，还要符合实际问题的意义.
2. 在实际问题中求最值时，解题思路是:列二次函数解析式，
①用配方法把函数解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式求函数的最值；
②针对函数解析式用顶点坐标公式求函数的最值.
探究新知
图示是抛物线形拱桥，当拱桥顶离水面2m时，水面宽4m。若水面下降1m，水面宽度增加多少？
探究新知
2m
4m
x
y
建立如图所示的直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=a
由抛物线过点(2,-2)得-2=a×4，a=-
所以这条抛物线表示的二次函数为
将y=-3带入二次函数得，
∴水面的宽度增加了（-4）m
新建坐标轴位置不同，所列方程不同
探究新知
2m
4m
x
0
y
建立如图所示直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=a+b
由抛物线过点(2,0)、（0,2）
所以这条抛物线表示的二次函数为+2
将y=-1带入二次函数得，
∴水面的宽度增加了（-4）m
探究新知
归纳总结
有关抛物线形的实际问题的一般解题思路。
（1）建立适当的平面直角坐标系。
（2）根据题意找出已知点的坐标。
（3）求出抛物线解析式。
（4）直接利用图象解决实际问题。
探究新知
几何图形面积的最大值问题
02
几何图形面积的最大值问题
例2：如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD,其中AB和CD分别在两直角边上.
(1)如果设矩形的一边AB=xm，那么AD边的长度如何表示？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
思考：△CBF与△EAF有什么关系？有何启发？
探究新知
解: (1)∵AB=x,则BF=40-x.
∵BC∥AD,
∴△BCF∽△AEF.
即
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
探究新知
(2)设矩形的面积为ym ，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？
F
E
A
C
D
40m
30m
B
x
40-x
解: (2)由面积公式易得：
即
所以，当x=20时，y的值最大，最大为300.
即当AB=20cm时，矩形最大为300cm .
探究新知
变式：在上面的问题中，把矩形改为如图所示的位置,其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
思考：类比原题的方法，能否利用相似表示AD？
A
C
D
40m
30m
B
O
E
F
探究新知
A
C
D
40m
30m
B
∟
∟
M
N
O
E
F
解：过点O作OM⊥EF交于AD与点N，由勾股定理易得EF=50cm，由等积法可得OM=24，
设AB=x，则MN=AB=x，易得ON=24-x，
由△AOD∽△FOE，得
即 ，
易得
所以当AB=12cm时，矩形最大为300cm .
探究新知
1．（2019山西中考）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A． B． C． D．
B
探究新知
2．（2019合肥市中考）如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC构成，长方形的长OA是12m，宽OC是4m．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m．那么两排灯的水平距离最小是( )
A．2m B．4m C．m D．m
D
探究新知
3. 足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线. 不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： 下列结论：
①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=4.5 ；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
B
探究新知
4．（2020贺州市中考）某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为 米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为________米．
10
探究新知
5．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（ ）
A．球不会过网 B．球会过球网但不会出界
C．球会过球网并会出界 D．无法确定
C
探究新知
6．如图，一座抛物线型拱桥，桥下水面宽度是4m时，拱高为2m，一艘木船宽2m.要能顺利从桥下通过，船顶点与桥拱之间的间隔应不少于0.3m，那么木船的高不得超______m.
x
y
O
1.2
探究新知
7.每年六、七月份某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/kg的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/kg,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为 才不会亏本;
(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(kg)与销售单价x(元/kg)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为 时,每天获得的利润w最大.
6元
9元
探究新知
8.某商店试销一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销发现，每月的销售量会因售价的调整而不同.令每月销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为Q元.
（1）当售价在40～50元时，每月销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
解：由题意得：当40≤x≤50时，
Q = 60(x－30)= 60x－1800
∵ y = 60 > 0，Q随x的增大而增大
∴当x最大= 50时，Q最大= 1200
答：此时每月的总利润最多是1200元.
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（2）当售价在50～70元时，每月销售量与售价的关系如图所示，则此时当该商品售价x是多少元时，该商店每月获利最大，最大利润是多少元？
解：当50≤x≤70时，
设y与x函数关系式为y=kx+b,
∵线段过(50，60)和(70，20).
50k+b=60
70k+b=20
∴
∴y =－2x +160（50≤x≤70）
解得：
k =－2
b = 160
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课堂小结
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