1.2 30°，45°，60°角的三角函数值课件（共23张PPT）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册
第一章 直角三角形的边角关系
2 30°,45°,60°角的三角函数值
学习目标
1.经历探索 30°， 45°，60°角的三角函数值的过程，能够进行有关推理，进一步体会三角函数的意义，并熟记特殊角的三角函数值。（重点）
2.能够进行含有30°， 45°，60°角的三角函数值的计算。（难点）
3.能利用30°、45°、60°角的三角函数值解决实际问题。
1.锐角A的 、 和正切都是∠A的三角函数.
如右图所示，
tanA= ;
sinA= ;
cosA= .
复习回顾
2.tanA的值 ，sinA的值 ，cosA的值 ，梯子越陡.
正弦
余弦
越大
越大
越小
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观察一副三角尺:其中有几个锐角?它们分别是多少度?
一、创设情境，引入新知
45°
45°
60°
30°
思考：你能用所学知识，算出30°，45°，60°的三角函数值吗？
问题(1)：sin30°等于多少?你是怎样得到的？与同伴进行交流.
┌
30°
(2)：cos30°等于多少?tan30°呢？
二、自主合作，探究新知
探究一：30°、45°、60°角的三角函数值
设30°所对的直角边长为a，那么斜边长为2a.
另一条直角边长＝
a
2a
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（2）45°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？
┌
45°
45°
二、自主合作，探究新知
做一做：（1）60°角的三角函数值分别是多少?你是怎样得到的？
┌
30°
a
2a
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60°
设两条直角边长为a，则斜边长＝
a
a
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知识要点
二、自主合作，探究新知
特殊角的三角函数值表
三
角
函
数
值
角 α
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1
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二、自主合作，探究新知
1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之间的关系.（互余关系、相除关系等）
2.观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性规律吗？
锐角三角函数的增减性：
当角度在0°～90°之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
两点反思
二、自主合作，探究新知
典型例题
例1：计算:(1)sin30°+cos45°; (2) sin260°+cos260°-tan45°.
注意:sin260°表示(sin60°)2,cos260°表示(cos60°)2
解: (1)sin30°+cos45°
(2)sin260°+cos260°-tan45°
例2： 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ，求∠A的度数．
A
B
C
二、自主合作，探究新知
解： 如图，∵
逆向思维:由特殊三角函数值可以确定锐角的度数.
典型例题
一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).
二、自主合作，探究新知
探究二：特殊三角函数值的运用
∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.
∴AC=2.5-2.165≈0.34(m).
∠AOD
解:如图,根据题意可知,
OD=2.5m,
知识要点
二、自主合作，探究新知
利用特殊角的三角函数值解决实际问题一般步骤：
（1）把实际问题转化为数学问题；
（2）构造出含有特殊锐角的直角三角形；
（3）利用特殊角的三角函数值求解。
二、自主合作，探究新知
解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3，
∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°.
∴2sin2α+cos2α- 3 tan（α+15°）
=2sin245°+cos245°- 3 tan60°
典型例题
例3： 已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求
2sin2α+cos2α-????tan（α+15°）的值．
?
三、即学即练，应用知识
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝????????，则∠A的度数是(　 　)A．30° B．45° C．60° D．90°
?
C
B
3.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
D
三、即学即练，应用知识
4.如图，在离地面5 m处引拉线固定电线杆，拉线与地面成60°角，则拉线AC的长是(　 　)
B
6.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____.
5.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____.
三、即学即练，应用知识
7.求下列各式的值：
（1）cos260°＋sin260° （2）
解： （1） cos260°＋sin260°
＝1
（2）
＝0
8.升国旗时，小明站在操场上离国旗20m处行注目礼.当国旗升至顶端时，小明看国旗视线的仰角为45°（如图所示），若小明双眼离地面1.6m，你能帮助小明求出旗杆AB的高度吗？
D
A
B
E
1.6m
20m
45°
C

=20+1.6=21.6（m）
三、即学即练，应用知识
答：旗杆AB的高度为21.6米.
三
角
函
数
值
角 α
1.30°，45°，60°角的三角函数值.
四、课堂小结
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?
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1
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????
?
既可以正用，也可以逆用.
2.利用特殊角的三角函数值解决实际问题一般步骤：
（1）把实际问题转化为数学问题；
（2）构造出含有特殊锐角的直角三角形；
（3）利用特殊角的三角函数值求解。
2.????tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
?
五、当堂达标检测
D
1.计算sin245°+cos30°tan60°的结果是（　　）
A．2 B．1 C．???????? D．????????
?
A
3.计算：① 6tan230°-????sin60°-2cos45°=______；
②sin60°-cos45°tan45°=______.
?
五、当堂达标检测
5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=????????，则AB的长为 ________．
?
?????????????
?
?????????????
?
4.在△ABC中，∠B=45°，cosA=????????，则∠C的度数是__________ ．
?
75°
????+????
?
五、当堂达标检测
6.求下列各式的值:(1)1-2 sin30°cos30°,(2)3tan30°-tan45°+2sin60°,
（3） .
解：
(1)1－2 sin30°cos30°
(2)3tan30°-tan45°+2sin60°
7.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=????????，AC=????????，求AB.
?
A
B
C
五、当堂达标检测
D
解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，AC=????????，????????????????=????????????????=????????,
?
∴CD=????????×????????=????.
?
∵????????????????=????????????????=????????,
?
∴AD=????????×????????=????.
?
∵????????????????=????????????????=????????,
?
∴BD=????×????????=????.
?
∴AB=AD+BD=3+2=5.
教材习题1.3.　　　　
六、布置作业