2023-204学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考
高中三年】
数学科试卷
考试日期：
11月8日
完卷时间：
120分钟
满分：150分
第1卷
一、单项选择题：本题共8小恩，每小题5分，共40分·在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，
1.命题“Vx22,x2≥4”的否定为()
A.x<2x2<4
B.x22.x2<4
C.3<2,6<4
D.3x0≥2，x6<4
2.
已知集合4-{s0,B=U=2,则4n8=（)
A.(0,2]
B.[2,4]
C.[0,4]
D.(0,4]
3.
已知复数z满足三=，则在复平面内：对应的点在（)
A.第一、二象限
B.第一、三象限C.第二、三象限D.第三、四象限
4.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是()
c.
(品-
5.己知m,m,I是不重合的三条直线，a,B,y是不重合的三
个平面，则()
A.若mlln,mca,则n∥
米
B.若1⊥B,mca,l⊥m,则aB
C.若a⊥B,y⊥B,a∩Y=1,则1⊥B
D.若mca,nca,mIIp,nlp,则aB
6.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，
主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号
19th Asian Games
及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，集古典美和
Hangzhou 2022
现代美于一体，富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为120°，从里到外半径以1递增，
若这些扇形的弧长之和为90π（扇形视为连续弧长，中间没有断开），则最小扇形的半径为()
A.6
B.8
C.9
D.12
(a-1)x+a,x7.若函数(x)=
,3、,满足对任意的x≠x2,
2x-+2x21
都有)-(>0成立，则实数a
为一x3
的取值范围是()
B.(1,+)
c.(1,2]
D.
8.已知f(x)=ae--lnx+lna,g(x)=(1-e)x,当x>0时，
ef(x)≥g(x),则a的取值
范围为(
A[&
c.[1,+o）
D.[e,+o)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分·
9.已知向量a=(m,-1),b=(-2,1),则下列说法正确的是()
A.若m=1,则a-=3
B.若a⊥b,则m=2
c.“m<-2
”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件
D.若m=-l,则6在ā上的投影向量的坐标为（分）
10.设(x)=x+ax2+bx+c，若f(Ⅻ)=1，f(2)=2,f(3)=3,下列说法正确的是()
A.f(4)=4B.f(x)无极值点
C.f(x)的对称中心是(2,2)
2023
D.
f八306）=4046
11.如图，己知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为2，AB,CD分别为上、下
底面的直径，AC,BD为圆台的母线，E为弧AB的中点，则()
A.圆台的体积为√3元
B直线AC与下底面所成的角的大小为？
C.异面直线AC和DE所成的角的大小为
4
D.圆台外接球的表面积为12π2023—2024 学年度第一学期八县（市、区）一中期中联考
高三年级（数学）评分细则
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
答案 1 2 3 4 5 6 7 8
题号 D D B B C C A B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11 12
答案 ACD BCD BC BCD
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13． (0,4) 14．63
15．形如： an a1 (n 1)d，其中， a1 0,d 0均可，比如 an 2n 3
16．(0,1)
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（1） f x x2 2x 3 ex x 3 x 1 ex． ……………………1分
当 x 3或 x 1时， f x 0；当 3 x 1, f x 0， ……………………3分
故函数 f x 递增区间为 , 3 和 1, ，递减区间为 3,1 . ……………………5分
（2）由(1)可得函数 f x 在 1,1 上单调递减，在 1,2 上单调递增， ……………………6分
1 2 2
且 f 1 2e ， f 2 e ， ……………………8分
e
则 f x 在 1,2 上的最大值 f x f 2 e2max ， ……………………9分
最小值 f x f 1 2emin ． ……………………10分
π
18．解：（1） f (x) 2sin x ， ……………………1分
6
π π π0 因为 ，所以当 x (0,π)时， t x , π ， ……………………2分6 6 6
y 2sin t π π依题意可得，函数 在 , π
6 6
上有且只有 2个极值点，
3π π 5π
则 π ， ……………………4分
2 6 2
第 1 页 共 5 页
{#{QQABBYSQogigQAJAAQhCAw3QCAMQkBACAAoGxBAIIAIBABFABAA=}#}
5 8 5 8
解得 ，故 的取值范围是 , . ……………………5分3 3 3 3
g(x) 2sin 2 x π π （2）依题意可得， ， ……………………6分
6 12
因为 g(x)的最小正周期为 π 2π，所以 π，即 1， ……………………7分
2
π
所以 g(x) 2sin 2x ， ……………………8分
4
π 2kπ 2x π 3π令 2kπ， k Z， ……………………10分
2 4 2
3π kπ x 7π则 kπ， k Z，
8 8
故 g(x)
3π 7π
的单调递减区间为 kπ, kπ
(k Z) . ……………………12分
8 8
19．（1）证明：取 PC的中点M ，连接MF ,EM ， ……………………1分
在 PCD中，因为M ,F PC,PD MF
1
分别为 的中点，可得MF / /CD且 CD ，
2
1
又因为 E为 AB的中点，所以 AE / /CD且 AE CD， ……………………2分
2
所以 AE / /MF且 AE MF ，所以四边形 AEMF 为平行四边形，所以 AE / /ME，
因为ME 平面 PCE， AF 平面 PCE，所以 AF / /平面 PCE . ……………………5分
（2）解：因为底面 ABCD是菱形，且 DAB 60 ，连接 BD，可得△ABD为等边三角形，
又因为 E为 AB的中点，所以DE AB，则 DE DC，
又由 PD 平面 ABCD，以D为坐标原点，以DE,DC,DP所在的直线分别为 x, y和 z轴建立空间直
角坐标系，如图所示， ……………………6分
因为底面 ABCD是菱形，且 DAB 60 ， PD AD 2，
可得 A( 3, 1,0),C(0, 2,0),F(0,0,1)，
则 AC ( 3,3,0), FC (0, 2, 1) ……………………8分
n AC x 3y 0
设平面 AFC
的法向量为 n (x, y, z)，则
n
，
FC 2y z 0
取 x 3，可得 y 1, z 2，所以 n ( 3,1, 2)， ……………………10分
易得平面 PDE的法向量为m (0,1,0)，设求平面 PDE与平面 AFC所成角为 ，
m n
cos 1 2则 cos m, n ， ……………………11分
m n 1 2 2 4
2
所以平面 PDE与平面 AFC所成角的余弦值为 . …………………12分
4
第 2 页 共 5 页
{#{QQABBYSQogigQAJAAQhCAw3QCAMQkBACAAoGxBAIIAIBABFABAA=}#}
20 a c b．（1）解法一：由正弦定理得 ，则 ab c2 b2 ，即 c2 ab b2，① ………1分
b c b
C π又 ，由余弦定理得 c2 a2 b2 2abcos π，即 c2 a2 b2 ab，② …………2分
3 3
由①②得 a2 2ab，则有 a 2b，所以 c 3b， ……………………4分
cosB a
2 c2 b2 6b2 3
由余弦定理逆定理得 2 ， ……………………5分2ac 4 3b 2
又 B (0，π)
π
，所以 B ……………………6分
6
sin A sinC sin B
解法二：由正弦定理得 ， ……………………1 分
sin B sinC sin B
即 sin AsinB sin2C sin2 B ……………………2 分
π 3C sin B sinB sin2 B 3 cosBsinB 3 sin2 B 3又 ，有 ，故 ， ……………3分3 3 4 2 2 4
3 sin 2B 3 3即 1 cos2B ，
4 4 4
3 1 3
得 sin 2B cos2B
2 2 2
0，即 sin 2B 0， ……………………4 分
3
2π π
因为 0 B ，所以 2B ， ……………………5分
3 3 3
π π
所以 2B 0，所以 B . ……………………6分
3 6
2
2 1 c2 b2 ab a c b
2
（ ）由（ ）得 ， ，c b， ……………………7分
b
a c c2 b2 bc c2 c
b b2
2 1， ……………………8分b b
a b c
由三角形三边关系可得 ，代入化简可得b c 2b， ……………………9分
b c a
x c令 1,2 f x x2， x 1，1 x 2， ……………………10分
b
2
f x x 1 5 1,5 ， ……………………11分
2 4
c2 c a c
1,5
b2
1 1,5 ， 的取值范围是 . ……………………12分
b b
21．解：（1）解：∵4Sn 1 3Sn 9，
∴当 n 2时，4Sn 3Sn 1 9，两式相减得 4an 1 3an，n 2 . ……………………1分
第 3 页 共 5 页
{#{QQABBYSQogigQAJAAQhCAw3QCAMQkBACAAoGxBAIIAIBABFABAA=}#}
∵a
9
1 ，4S
27
2 3S1 9，所以 4(a1 a2) 3a1 9 ，∴ a2 ， ……………………2分4 16
a2 3 an 1 3 *
∵ n Na 4，∴1 a 4
， ……………………3分
n
9 3
∴数列 an 是以首项 ，公比为 的等比数列． ……………………4分4 4
9 3 n 1a 3 3
n
∴ n n N
* ……………………5分
4 4 4
n
（2）∵3bn nan 0，∴b
3
n n ， ……………………6分
4
3 1 3 2 3 nT 1 2 3 3 n 3 ∴ n 4 4 4 4
，
3T 3
2 3 4 n n 1
3 3 3 3
∴
4 n
1 2 3 n 1 n ，
4 4 4 4 4
1 3 1 3 2 3 3 n n 1T 3 3 ∴
4 n 4 4
n
4 4 4
3 3 n
4
1 4 3 n 1 3 n n 1
n 3 1 n 3
1 3 4
4 4
4
3 n
n 1 n
T 12 1 4n 3 3 ∴ n 12 3n 12 4 4 ， ……………………9分 4
∵Tn bn 12对任意n N恒成立，
12 3n 12 3
n n
∴ n
3
12，
4 4
∴ 3n 12 n， ……………………10分
3 4 n 4
∴ 3 1
n N* 恒成立， ……………………11分n n
4
∵ 1 1，∴ 3，
n
∴ 的取值范围是 3, ． ……………………12分
2
22 a x 2x a．解：（1）由题得 f x x 2 ，其中 x 0， ……………………1分
x x
令 g(x) x2 2x a， x 0，其中对称轴为 x 1， 4 4a．
第 4 页 共 5 页
{#{QQABBYSQogigQAJAAQhCAw3QCAMQkBACAAoGxBAIIAIBABFABAA=}#}
①若 a 1，则 0，
此时 g(x) 0，则 f x 0，所以 f (x)在 (0, )上单调递增； ……………………2分
②若 0 a 1，则 0，
此时 x2 2x a 0在R 上有两个根 x1 1 1 a ， x2 1 1 a，且 0 x1 1 x2，
所以当 x (0, x1)时， g(x) 0，则 f x 0， f (x)单调递增；
当 x (x1 , x2 )时， g(x) 0，则 f x 0， f (x)单调递减；
当 x (x2 , )时， g(x) 0，则 f x 0， f (x)单调递增， ……………………4分
综上，当 a 1时， f (x)在 (0, )上单调递增；
当 0 a 1时， f (x)在 (0,1 1 a )上单调递增，在 (1 1 a，1 1 a )上单调递减，在 (1 1 a，
)上单调递增． ……………………5分
（2）由（1）知，当 0 a 1时， f (x)有两个极值点x x x x 2 x x a1， 2，且 1 2 ， 1 2 ，
…………………6分
f (x ) f (x ) 3 alnx 1 2 1所以 1 2 1 x1 2x1 alnx2 x
2
2 2x2 32 2
a(lnx 11 lnx ) (x
2
2 1 x
2
2 ) 2(x2 1
x2) 3
alnx 1 21x2 [(x1 x2 ) 2x1x2 ] 2(x2 1
x2 ) 3
alna 1 (4 2a) 4 3 alna a 1． …………………9分2
令 h(x) xlnx x 1， 0 x 1， …………………10分
则 h (x) lnx 0，故 h(x)在(0,1)上单调递减，
所以 h(x) h 1 0，所以 alna a 1 0，
即 f (x1) f (x2 ) 3 0． …………………12分
第 5 页 共 5 页
{#{QQABBYSQogigQAJAAQhCAw3QCAMQkBACAAoGxBAIIAIBABFABAA=}#}
