广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 广西壮族自治区玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-10 10:16:18 | ||
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文档简介
玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学
本卷满分：150分，考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.在中，是边上的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知非零向量，，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B.2 C. D.4
6.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.圆与圆公共弦所在直线的方程为
B.圆与圆有两条公切线
C.是圆与圆的一条公切线
D.圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
7.已知椭圆：的离心率为，、分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于4，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.在中，边上的高等于，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.函数，记，则下列说法正确的是（ ）
A.当时， C.当时，的值可能为
B.当时， D.当时，的值可能为
11.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.与所成的角大小为
C. D.点到平面的距离为
12.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，椭圆的右顶点为，双曲线的渐近线方程为，椭圆与双曲线在轴上方相交于，两点，则（ ）
A.
B.
C.
D.直线、分别交轴于点、，若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线：与直线：垂直，则______.
14.底面半径为4的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为2，高为3的圆锥，所得圆台的体积为______.
15.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则函数在上有且只有______个零点.
16.已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题题满分10分）已知直线的方程为.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长.
18.（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.
（1）求的值
（2）若，求边.
19.（本小题满分12分）2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人，并按年龄段分成6组，如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题，回答问题的正确情况如表格所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 5 0.5
第2组 18
第3组 0.9
第4组 9 0.36
第5组 3 0.2
根据上述信息，解决下列问题：
（1）求表格中，的值，并估计抽取的100人的年龄的中位数（中位数的结果保留整数）；
（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求这2人都不在第2组的概率.
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，底面，且，，点是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）设双曲线的左、右顶点分别为、，右焦点为，已知，.
（1）求双曲线的方程及其渐近线方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于，两点，能否是线段的中点？为什么？
22.（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆正半轴上的焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，过作轴的垂线交直线于点，试问是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
1~8：CDAA BCCD 9.BD 10.AD 11.ACD 12.ACD
13.1 14. 15.8 16.
1.【答案】C
【解析】.
2.【答案】D
【解析】，∴.
3.【答案】A
【解析】是边上的中点，∴，即.
4.【答案】A
【解析】，反之，，满足，但，未必相等，故“”是“”的充分不必要条件.
5.【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以.
6.【答案】C
【解析】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径.
∵，∴圆与圆外切，选项A，B错误；
对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.
7.【答案】C
【解析】由椭圆离心率为可设，，则椭圆的方程为.
由椭圆的定义可得：，
在中，，
∴，
即，∴
由，得：，
∴，解得：，
所以椭圆的方程为.
8.【答案】D
【解析】设垂足为，，则.
在直角中，，，所以，从而.
在直角中，，
从而可得：，.
在中，，故
.
9.【答案】BD
【解析】对于选项A，，选项A错误；
对于选项B，因为，选项B正确；
对于选项C，当，时，满足，但，选项C错误；
对于选项D，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，选项D正确.
10.【答案】AD
【解析】结合图10可知：当时，，是一元二次方程的两个不等实根，则，选项A正确；
当时，或，
解得：或或，
所以所有可能的取值为：，，3选项D正确.
11.【答案】ACD
【解析】对于选项A，，选项A正确；
对于选项B，，
，与所成的角大小为，选项B错误；
对于选项C，
，
∴，选项C正确；
对于选项D，由B选项知：，同理可得：，又，
∴平面，∴是平面的一个法向量，
又，
∴点到平面的距离为，选项D正确.
12.【答案】ACD
【解析】由双曲线的渐近线方程可知：，
对于选项A，，选项A正确；
对于选项B，，选项B错误；
对于选项C，设，，则，即，
椭圆的右顶点为，∴，选项C正确；
对于选项D，直线：与轴的截距为；
直线：与轴的截距为，所以，选项D正确.
13.【答案】1
【解析】由得：，解得：.
14.【答案】
【解析】设原圆锥的高为，则，，.
15.【答案】8
【解析】由函数的最小正周期为得：，解得：，
因为函数图象关于直线对称，所以，即，
又，∴，∴
∵，∴，结合函数的图象得所求零点个数为8.
16.【答案】
【解析】设，则，
由双曲线的定义可得：，∴
∴，，，
对于，有，整理得：，
∴双曲线的离心率为.
17.解：（1）法一：设与直线：，即平行的直线方程为
将点代入方程得：，解得：（代入方程1分，结果1分）
∴设所求直线方程为
法二：设所求直线方程为
将点代入方程得：，解得：（代入方程1分，结果1分）
∴设所求直线方程为
（2）法一：圆可化成，得圆心为，半径
圆心到直线的距离（代入公式1分，结果1分）
∴（代入公式1分，结果1分）
法二：联立消得：，解得：，
∴直线与圆的交点为，
∴（代入公式1分，结果1分）
18.解：（1）依题意，，同理，
因为，所以（公式1分，结果1分）
即
由余弦定理得：（公式1分，结果1分）
（2）∵，，∴（公式1分，结果1分）
由正弦定理
得：（公式变形1分，结果1分）
又，∴，∴
19.解：（1）
第1、2、3组的频率依次为：0.1，0.2，0.3，
因为的频率为，的频率为
设中位数为，则
，解得
所以中位数的估计值为42岁.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为，；
第3组抽取（人），记为，，；第4组抽取（人），记为
法一：该试验的样本空间为
，
记事件“这2人都不在第2组”，则，
故，即这2人都不在第2组的概率为
法二：从这6人中随机依次抽取2人，则样本空间包含的样本点个数为
记事件“这2人都不在第2组”，则事件包含的样本点的个数为
故，即这2人都不在第2组的概率为
20.解：法一：∵底面，∴，，又，
如图（第20题）建立直角坐标系，
则，，，，
（1）
易知：是平面的一个法向量，
∴
又平面
∴平面
（2），
设是平面的一个法向量，则，即
取得：
∴
故平面与平面的夹角的余弦值为
法二：（1）取的中点，连接，
由、分别是、的中点得：，
在四边形中，，，∴
又，∴，，即四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面
∴平面
（2）∵底面，∴，，又，
如图（第20题）建立直角坐标系，
则，，，，
易知：是平面的一个法向量，
，
设是平面的一个法向量，则，即
取得：
∴
故平面与平面的夹角的余弦值为
法三：（1）取的中点，连接，
由、分别是、的中点得：，
在四边形中，，，∴
又，∴，，即四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面
∴平面
（2）延长、交于点，则平面平面，
∵底面，∴
又，且，∴平面，
过点作，为垂足，连接，则
∴是二面角的平面角，
由可知：是的中点
在中，，∴
在中，
故平面与平面的夹角的余弦值为
21.解：（1）由，.可得：，解得：，（列出方程组得2分）
∴，
∴双曲线方程为，
渐近线方程为.
（2）法一：由题意可知：过直线的斜率存在.
设直线的方程为
联立消得：
由直线与双曲线相交于两点可得：（不写不扣分）
设，，则
若是线段的中点，则
解得：
此时，与矛盾，
故不是线段的中点
法二：假设是线段的中点，其中，，
则
∵，在双曲线上，∴
①②整理可得：，即
∴直线的方程是，即
联立消得：，即
故不是线段的中点
22.解：（1）法一：设陏圆的方程为
将，两点代入得，解得，
故椭圆的方程为
法二：当焦点在轴时，可设椭圆的方程为，
则，解得：与矛盾；
当焦点在轴时，可设粗圆的方程为，
则，解得：，此时，椭圆的方程为，
综上，椭圆的方程为
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，
过作轴的垂线交直线的点为，
直线的方程为
当直线斜率存在时，可设直线方程为
联立消得：
（不写不扣分）
设，，，则，
即
直线的方程
∴
∴直线恒过定点
数学
本卷满分：150分，考试用时：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（ ）
A. B. C. D.
2.设集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
3.在中，是边上的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知非零向量，，，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A. B.2 C. D.4
6.已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（ ）
A.圆与圆公共弦所在直线的方程为
B.圆与圆有两条公切线
C.是圆与圆的一条公切线
D.圆与圆上均恰有两点到直线的距离为2
7.已知椭圆：的离心率为，、分别为的左、右焦点，为上一点，若的面积等于4，且，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.在中，边上的高等于，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
10.函数，记，则下列说法正确的是（ ）
A.当时， C.当时，的值可能为
B.当时， D.当时，的值可能为
11.如图，平行六面体的底面是菱形，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.与所成的角大小为
C. D.点到平面的距离为
12.设椭圆与双曲线的离心率分别为，，椭圆的右顶点为，双曲线的渐近线方程为，椭圆与双曲线在轴上方相交于，两点，则（ ）
A.
B.
C.
D.直线、分别交轴于点、，若，则
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若直线：与直线：垂直，则______.
14.底面半径为4的圆锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面半径为2，高为3的圆锥，所得圆台的体积为______.
15.已知函数的最小正周期为，其图象关于直线对称，则函数在上有且只有______个零点.
16.已知双曲线左右焦点分别为，，过的直线在第一象限与双曲线相交于点，与轴的负半轴交于点，且，，则双曲线的离心率为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题题满分10分）已知直线的方程为.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求直线被圆截得的弦的长.
18.（本小题满分12分）的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，.已知，.
（1）求的值
（2）若，求边.
19.（本小题满分12分）2023年东盟博览会于9月在南宁举办.某电视台对本市15~65岁的人群随机抽取100人，并按年龄段分成6组，如频率分布直方图所示.抽取的人需回答“2023年是第几届东盟博览会”的问题，回答问题的正确情况如表格所示.
组号 分组 回答正确的人数 回答正确的人数占本组的频率
第1组 5 0.5
第2组 18
第3组 0.9
第4组 9 0.36
第5组 3 0.2
根据上述信息，解决下列问题：
（1）求表格中，的值，并估计抽取的100人的年龄的中位数（中位数的结果保留整数）；
（2）从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中随机抽取2人，求这2人都不在第2组的概率.
20.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，底面，且，，点是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
21.（本小题满分12分）设双曲线的左、右顶点分别为、，右焦点为，已知，.
（1）求双曲线的方程及其渐近线方程；
（2）过点的直线与双曲线相交于，两点，能否是线段的中点？为什么？
22.（本小题满分12分）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆正半轴上的焦点，过的直线与椭圆相交于，两点，过作轴的垂线交直线于点，试问是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.
玉林市2023-2024学年高二上学期11月期中考试
数学参考答案
1~8：CDAA BCCD 9.BD 10.AD 11.ACD 12.ACD
13.1 14. 15.8 16.
1.【答案】C
【解析】.
2.【答案】D
【解析】，∴.
3.【答案】A
【解析】是边上的中点，∴，即.
4.【答案】A
【解析】，反之，，满足，但，未必相等，故“”是“”的充分不必要条件.
5.【答案】B
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，所以.
6.【答案】C
【解析】由条件可得：圆：的圆心为，半径；圆：的圆心为，半径.
∵，∴圆与圆外切，选项A，B错误；
对于选项C，圆心到直线的距离；圆心为到直线的距离，所以是圆与圆的一条公切线，选项C正确；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以圆：上有且仅有一点到直线的距离为2，选项D错误.
7.【答案】C
【解析】由椭圆离心率为可设，，则椭圆的方程为.
由椭圆的定义可得：，
在中，，
∴，
即，∴
由，得：，
∴，解得：，
所以椭圆的方程为.
8.【答案】D
【解析】设垂足为，，则.
在直角中，，，所以，从而.
在直角中，，
从而可得：，.
在中，，故
.
9.【答案】BD
【解析】对于选项A，，选项A错误；
对于选项B，因为，选项B正确；
对于选项C，当，时，满足，但，选项C错误；
对于选项D，当时，，当且仅当时，即时，等号成立，选项D正确.
10.【答案】AD
【解析】结合图10可知：当时，，是一元二次方程的两个不等实根，则，选项A正确；
当时，或，
解得：或或，
所以所有可能的取值为：，，3选项D正确.
11.【答案】ACD
【解析】对于选项A，，选项A正确；
对于选项B，，
，与所成的角大小为，选项B错误；
对于选项C，
，
∴，选项C正确；
对于选项D，由B选项知：，同理可得：，又，
∴平面，∴是平面的一个法向量，
又，
∴点到平面的距离为，选项D正确.
12.【答案】ACD
【解析】由双曲线的渐近线方程可知：，
对于选项A，，选项A正确；
对于选项B，，选项B错误；
对于选项C，设，，则，即，
椭圆的右顶点为，∴，选项C正确；
对于选项D，直线：与轴的截距为；
直线：与轴的截距为，所以，选项D正确.
13.【答案】1
【解析】由得：，解得：.
14.【答案】
【解析】设原圆锥的高为，则，，.
15.【答案】8
【解析】由函数的最小正周期为得：，解得：，
因为函数图象关于直线对称，所以，即，
又，∴，∴
∵，∴，结合函数的图象得所求零点个数为8.
16.【答案】
【解析】设，则，
由双曲线的定义可得：，∴
∴，，，
对于，有，整理得：，
∴双曲线的离心率为.
17.解：（1）法一：设与直线：，即平行的直线方程为
将点代入方程得：，解得：（代入方程1分，结果1分）
∴设所求直线方程为
法二：设所求直线方程为
将点代入方程得：，解得：（代入方程1分，结果1分）
∴设所求直线方程为
（2）法一：圆可化成，得圆心为，半径
圆心到直线的距离（代入公式1分，结果1分）
∴（代入公式1分，结果1分）
法二：联立消得：，解得：，
∴直线与圆的交点为，
∴（代入公式1分，结果1分）
18.解：（1）依题意，，同理，
因为，所以（公式1分，结果1分）
即
由余弦定理得：（公式1分，结果1分）
（2）∵，，∴（公式1分，结果1分）
由正弦定理
得：（公式变形1分，结果1分）
又，∴，∴
19.解：（1）
第1、2、3组的频率依次为：0.1，0.2，0.3，
因为的频率为，的频率为
设中位数为，则
，解得
所以中位数的估计值为42岁.
（2）由（1）可知第2、3、4组回答正确的共有人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，第2组抽取（人），记为，；
第3组抽取（人），记为，，；第4组抽取（人），记为
法一：该试验的样本空间为
，
记事件“这2人都不在第2组”，则，
故，即这2人都不在第2组的概率为
法二：从这6人中随机依次抽取2人，则样本空间包含的样本点个数为
记事件“这2人都不在第2组”，则事件包含的样本点的个数为
故，即这2人都不在第2组的概率为
20.解：法一：∵底面，∴，，又，
如图（第20题）建立直角坐标系，
则，，，，
（1）
易知：是平面的一个法向量，
∴
又平面
∴平面
（2），
设是平面的一个法向量，则，即
取得：
∴
故平面与平面的夹角的余弦值为
法二：（1）取的中点，连接，
由、分别是、的中点得：，
在四边形中，，，∴
又，∴，，即四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面
∴平面
（2）∵底面，∴，，又，
如图（第20题）建立直角坐标系，
则，，，，
易知：是平面的一个法向量，
，
设是平面的一个法向量，则，即
取得：
∴
故平面与平面的夹角的余弦值为
法三：（1）取的中点，连接，
由、分别是、的中点得：，
在四边形中，，，∴
又，∴，，即四边形是平行四边形，
∴，又平面，平面
∴平面
（2）延长、交于点，则平面平面，
∵底面，∴
又，且，∴平面，
过点作，为垂足，连接，则
∴是二面角的平面角，
由可知：是的中点
在中，，∴
在中，
故平面与平面的夹角的余弦值为
21.解：（1）由，.可得：，解得：，（列出方程组得2分）
∴，
∴双曲线方程为，
渐近线方程为.
（2）法一：由题意可知：过直线的斜率存在.
设直线的方程为
联立消得：
由直线与双曲线相交于两点可得：（不写不扣分）
设，，则
若是线段的中点，则
解得：
此时，与矛盾，
故不是线段的中点
法二：假设是线段的中点，其中，，
则
∵，在双曲线上，∴
①②整理可得：，即
∴直线的方程是，即
联立消得：，即
故不是线段的中点
22.解：（1）法一：设陏圆的方程为
将，两点代入得，解得，
故椭圆的方程为
法二：当焦点在轴时，可设椭圆的方程为，
则，解得：与矛盾；
当焦点在轴时，可设粗圆的方程为，
则，解得：，此时，椭圆的方程为，
综上，椭圆的方程为
（2）当直线斜率不存在时，直线的方程为，
过作轴的垂线交直线的点为，
直线的方程为
当直线斜率存在时，可设直线方程为
联立消得：
（不写不扣分）
设，，，则，
即
直线的方程
∴
∴直线恒过定点
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