安徽省皖中名校联盟2023-2024学年高一上学期第一次联考数学试题（含解析）

皖中名校联盟2023-2024学年高一上学期第一次联考
数学试题
一、单选题
1.不等式的解集是( )
A. B.
C. D. 或
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.2022年3月21日，东方航空公司 MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁.专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器黑匣子，如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器.则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列不等式中成立的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.如果两个正方形的边长之和为2，那么它们的面积之和的最小值是( )
A. B. C. 1 D. 2
6.某校高一班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有12名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为( )
A. 27 B. 23 C. 15 D. 7
7.已知集合，，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 10
8.已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数m的取值范围( )
A. B.
C. D.
二、多选题
9.设全集，集合，，则( )
A. B.
C. D. 集合A的真子集个数为8
10.设a，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 是的必要不充分条件
B. 若集合中只有一个元素，则或
C. 已知，，则为假命题
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
12.下列命题为真命题的是( )
A. 若一个直角三角形的斜边长为2，则它周长的最大值为
B. 若一个直角三角形的斜边长为2，则它面积的最大值为1
C. 若的解集是，则的解集是
D. 若的解集是，则的解集是
三、填空题
13.设集合，或，若，则实数 a的取值范围为__________.
14.已知，那么函数的最小值是__________.
15.已知关于x的不等式的解集是空集，则实数a的取值范围是__________.
16.如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向600km处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为__________
四、解答题
17.已知集合，，
求
若，求a的取值范围.
18.，，其中x，y均为正实数，比较a，b的大小;证明：已知，且，求证：
19.已知集合，
若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的值;
从三个条件①，②，③中选出合适的一个，补充在下面问题中，并完成解答.已知__________，若集合C含有两个元素且满足，求集合
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
20.若关于x的不等式的解集为或，求a，b的值;实数a，b满足，，求的取值范围.
21.已知，不等式恒成立，使不等式成立.若p和都是真命题，求a的取值范围.
22.某企业为积极响应国家垃圾分类号召，在科研部门的支持下进行技术创新，新上一个把厨余垃圾加工处理为可重新利用的化工产品的项目.已知该企业日加工处理量单位：吨最少为70吨，最多为100吨.日加工处理总成本单位：元与日加工处理量x之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理1吨厨余垃圾得到的化工产品的售价为110元.
该企业日加工处理量为多少吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低 此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损还是盈利状态
为了使该企业可持续发展，政府决定对该企业进行财政补贴，补贴方案共有两种：
①每日进行定额财政补贴，金额为2300元;
②根据日加工处理量进行财政补贴，金额为30x元.
如果你是企业的决策者，为了获得最大利润，你会选择哪种补贴方案 为什么
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
根据一元二次不等式的解法进行解答即可．
【解答】
解：不等式化为，
且该不等式对应的一元二次方程的实数根是和2，
则该不等式的解集为或
故选
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.
根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得答案.
【解答】
解：命题“，”为全称量词命题，
其否定为存在量词命题：，
故选：
3.【答案】B
【解析】【分析】
因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件
的定义即可判断出结果．
【解答】
解：因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，
则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；
而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，
故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用不等式性质判断不等关系，为基础题.
【解答】
解：对于A，若，则则，故A错误；B显然正确；
对于C，若，则有，故C错误；
对于D，若，无法得到，故D错误.
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式解决实际问题，属于基础题.
设一个正方形的边长为x，面积之和为y，则，利用基本不等式求解即可，
【解答】
解：设一个正方形的边长为x，面积之和为y，
则另一个正方形的边长为，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故两个正方形面积之和的最小值为
故选
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的实际应用，属于基础题.
由题意，求出参加田赛或径赛的同学人数，即可求解.
【解答】
解：设高三班有50名学生组成的集合为U ，参加田赛项目的学生组成的集合为A，参加径赛项目的学生组成的集合为
由题意集合A有15个元素，B有20个元素，中有12个元素，
所以有个元素，
所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为
故选
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查集合的运算以及新定义问题，题目较难.
先求出一元二次不等式对应方程的根，再讨论根的大小确定两个集合，进而求出两集合的交集，通过长度求出m值，再求集合的并集及其长度.
【解答】
解：的两根为，3m，
的两根为m，；
当时，易知，不满足题意；
当时，，，
；
当时，，，
由的长度为4，得或，
或，
当时，，，
；
的长度为
当时，，，
的长度为
综上所述，的长度为
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查命题的否定及函数的值域求解，属于中档题.
分析可得“任意，使等式成立”是真命题，转化为任意， ，转化为求函数值域问题.
【解答】
解：因为命题“存在，使等式成立”是假命题，
所以命题“任意，使等式成立”是真命题，
即任意，恒成立，
令，则 在上为增函数，
所以，
因为，
即或，
所以命题“存在，使等式成立”是假命题时，
实数m的取值范围为或
故选
9.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查集合的基本运算和真子集个数的求法，属于基础题.
【解答】
解：集合，，共同的元素为0和1，故，，AC正确；
全集，，可知B中没有元素3和4，故，B错误；
集合A中有3个元素，所以真子集个数为，D错误.
故选
10.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，注意满足的条件：一正、二定、三相等的使用条件，属于基础题.
利用基本不等式对每个选项逐一判断排除即可求解.
【解答】
解：对于A，根据，即可得到，
当且仅当“”时取“=”所以A正确；
对于B，C，虽然，只能说明a，b同号，
若a，b都小于0时，不能满足不等式成立，所以B，C错；
对于D，，，，
，当且仅当“”时取“=”，所以D正确，
故选
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，命题真假判断，求子集个数，属于基础题.
利用充分必要条件判定A ；根据时，判定B；根据p与的真假性判定C；根据若，则，判定D》
【解答】
解：对于A：\(∵Q R\)，\(∴a\in Q a\in R,a\in R a\in Q\)，故\(a\in R\)是\(a\in Q\)的必要不充分条件，故A正确；
对于B：当时，，故B错误；
对于C：当时，，故p为真命题，即为假命题，故C正确；
对于D：若，则，故，故D正确.
故选
12.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题主要考查命题真假的判定，基本不等式的应用，一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
由基本不等式可判定选项A，B；由一元二次不等式的解法可判定选项C，
【解答】
解：对于A，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边则，
由于，所以，当且仅当时等号成立，
则周长的最大值为，故A正确；
对于B，设直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边
则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以面积，故面积的最大值为1，故B正确；
对于C，若的解集是，
所以1和2是方程的两根且，
则有，可得，，
不等式，即，
所以，，
解得，
即的解集为，故C正确；
对于D，由C的分析可得不等式即，
所以，，
解得，
故的解集是，故D错误．
故选：
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查交集和空集的定义，属于基础题．
根据，，，然后解出a的范围即可．
【解答】
解：，或，且，
显然，则，解得，
综上得，实数a的取值范围为
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题目.
利用基本不等式求出最值即可.
【解答】
解：，，
，
当且仅当时取得等号.
则函数的最小值是8，
故答案为
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法，一元二次不等式与相应的函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键，属于中档题.
设，按二次项系数是否为0进行分类讨论，当二次项系数不为0时，利用二次函数的性质得到二次项系数小于0，根的判别式小于0列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．
【解答】解：设，
当时，不等式的解集为空集，符合题意；
当时，原不等式变形为，不是空集，不符合题意；
当时，则，
解得：，
综上，a的取值范围为
故答案为
16.【答案】10
【解析】【分析】
本题考查了一元二次不等式的解法以及学生解决实际问题的能力，难度一般．
设风暴中心最初在A处，经th后到达B处．自B向x轴作垂线，垂足为若在点B处受到热带风暴的影响，则，求出t的范围，即可得出结论．
【解答】
解：记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，
若在点B处受到热带风暴的影响，则，
即，
即，
上式两边平方并化简、整理得，
解得，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为
故答案为
17.【答案】解： ， ，
或 ，
或
，
当 时，要使 ，
须有 ，解得 ；
当 时， ，解得
的取值范围

【解析】本题考查集合的交并补混合运算，利用集合关系求参，属于中档题.
18.【答案】解：因为，，
所以
，
因为，，所以，，
所以，即；
因为，且，所以，，
所以，
所以，
所以

【解析】本题考查利用不等式的性质证明不等关系，考查利用作差法比较代数式的大小，属于中档题.
利用作差法判断即可；
根据不等式的性质证明即可.
19.【答案】解：若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则B是A的真子集，
或 ，解得 或1或2，
或1时，不满足集合元素的互异性，应舍去， ，
存在实数 使得
若选择条件①，则 ，不满足集合元素的互异性，不符合题意；
若选择条件②，则 ， 或或 ；
若选择条件③，则 ， 或或或或或 .

【解析】本题考查充分必要条件的应用，考查含参集合关系的处理，为中档题.
20.【答案】解： 的解集为 或 ，
所以 ，
解得 ；
设 ，
，解得 ，
，
， ， ， ，
，即

【解析】本题考查三个二次的关系，利用不等式的性质求取值范围，属于中档题.
21.【答案】解：当时，，
若 ，不等式 恒成立，
则 ，解得或，
故命题p为真命题时，或
若q为真命题，则，使不等式成立，
则，解得或，
故是真命题即命题q为假命题时，
综上可知，当p为真命题，q为假命题时，a的取值范围为

【解析】本题考查不等式恒成立问题，属于中档题.
22.【答案】解：由题意可知，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本为
又 ，
当且仅当 ，即时，等号成立，
所以该企业日加工处理量为80吨时，日加工处理每吨厨余垃圾的平均成本最低.
因为，所以此时该企业处理1吨厨余垃圾处于亏损状态
若该企业采用第一种补贴方案，设该企业每日获利为元，
由题可得
因为，所以当时，企业获利最大，最大利润为1550元，
若该企业采用第二种补贴方案，设该企业每日获利为元，由题可得
，
因为，所以当时，企业获利最大，最大利润为1800元，
因为，所以选择第二种补贴方案.

【解析】本题考查二次函数的实际应用，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
由题意可知，每吨厨余垃圾平均加工成本为，，再利用基本不等式的性质即可得解；
根据日获利=日加工处理量单价-总成本+补贴金额，表示出两种补贴方式的日获利，再结合二次函数的性质，求出最大值即可得解．