哈三中2023—2024学年度上学期
高三学年期中考试数学试卷
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共60分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则集合等于（）
A. ； B. ； C. ； D. ．
2. 若复数z满足，则z的虚部为（）
A. B. C. D.
3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（）
A. B. 2 C. D.
4. 如图，，都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
6. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，异面直线PG与DH所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
7. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（）
A. B. C. D.
8. 已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a的取值范围为（）
A. B. 或 C. 或 D.
（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法中不正确的是（）
A. 各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体
B. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
C. 任意两条直线都可以确定一个平面
D. 空间中三条直线，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面
10. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）
A.若，则或
B. 若，则
C. 当时，向量在向量方向上的投影向量为
D. 若或，则与夹角为钝角
11. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 为偶函数
B. 上单调递增
C. 函数的图象关于点对称
D. 若函数在上没有零点，则
12. 定义在上函数，满足为偶函数，且，，，则下列说法正确的是（）
A. 为偶函数 B. 图象关于点对称
C. 是以4为周期的周期函数 D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 已知向量，，则______．
14. 函数的定义域为______．
15. 已知为虚数单位，且，则的最大值是______．
16. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在中，，E是AD的中点，设，．
（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求．
18. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
19.设向量
（I）若
（II）设函数
20. 在中，角的对边分别为，满足．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
21. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
22. 已知函数．
（1）当时，求函数最小值；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据，）
1哈三中2023—2024学年度上学期
高三学年期中考试数学答案
考试说明：
（1）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间为120分钟；
（2）第Ⅰ卷，第Ⅱ卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（共60分）
（一）单项选择题（共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则集合等于（）
A. ； B. ； C. ； D. ．
【答案】D
【解析】
【分析】求出集合，根据交集含义即可得到答案.
【详解】当时，；当时，；
当时，，故，故，
故选：D.
2. 若复数z满足，则z的虚部为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可根据虚部概念求解.
【详解】由可得，
所以虚部为，
故选：A
3. 如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′中，，则该平面图形的面积为（）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据直观图与原平面图形的关系作出原平面图形，求出相应边长后计算面积．
【详解】作出原来的平面图形，如图，，，
在题设等腰梯形中，，因此，
所以．
故选：D．
4. 如图，，都是边长为1的等边三角形，A，B，D三点共线，则（）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由图可知，利用向量数量积定义即可求得结果.
【详解】根据题意可知，在中计算得，，
由数量积定义可得；
故选：C
5. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，那么是（）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】将化简可得的值，再对结合正、余弦定理化简可得，从而可判定的形状.
【详解】由，得，
整理得，故，
又，由正弦定理与余弦定理得，化简得，
所以为等腰直角三角形.
故选：D.
6. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，异面直线PG与DH所成的角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正四面体的结构特征，作出异面直线PG与DH所成的角的，求出相关线段的长，利用余弦定理即可求得答案.
【详解】连接，取的中点为K，连接，
由于G为DE的中点，所以，
则即为异面直线PG与DH所成的角或其补角；
由题意知，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，
故正四面体的棱长为2，由于H为PF的中点，则，
则，，
则在中，，
故，
即异面直线PG与DH所成的角的余弦值为，
故选：B
7. 在《九章算术商功》中将正四面形棱台体棱台的上、下底面均为正方形称为方亭．在方亭中，，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为，则该方亭的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据方亭四个侧面的面积之和得到的长度，然后作辅助线找到并求方亭的高，最后利用棱台的体积计算公式求解即可．
【详解】如图，过作，垂足为，
由四个侧面的面积之和为知，侧面的面积为，
（梯形的面积公式），则．
由题意得：，在中，．
连接，，过作，垂足为，
易知四边形为等腰梯形且，，则，
，
该方亭的体积，（棱台的体积公式）．
故选：D．
8. 已知函数若总存在实数t，使得函数有三个零点，则实数a的取值范围为（）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分段函数的单调性及值域数形结合计算即可.
【详解】对于函数，易知该函数在和上单调递减，
；
对于函数，
易知该函数在上单调递增，上单调递减，；
有三个零点等价于函数与有三个交点，
若要符合题意，需与有两个交点，
且交点的纵坐标在区间内，如下图所示，
故或.
故选：C
（二）多项选择题（共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列说法中不正确的是（）
A. 各侧面都是正方形的正四棱柱一定是正方体
B. 用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
C. 任意两条直线都可以确定一个平面
D. 空间中三条直线，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正方体与圆台的定义可判断AB，利用异面直线的定义可判断CD，从而得解.
【详解】对于A，因为正四棱柱的底面是正方形，
而该正四棱柱的各侧面都是正方形，所以它是正方体，故A正确；
对于B，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，才能得到一个圆锥和圆台，故B错误；
对于C，两条异面直线无法确定一个平面，故C错误；
对于D，当是异面直线，同时与相交时，
满足a与b共面，b与c共面，但此时不共面，故D错误.
故选：BCD.
10. 已知平面向量，，，则下列说法正确的是（）
A. 若，则或
B. 若，则
C. 当时，向量在向量方向上的投影向量为
D. 若或，则与夹角钝角
【答案】AC
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算逐个判断即可.
【详解】对于A：若，则，
解得或，A正确；
对于B：，若，则，
即，解得，所以B错误；
对于C：当时，，
所以向量在向量方向上的投影向量为，C正确；
对于D：当时，，，
此时与的方向相反，此时与夹角为，D错误，
故选：AC
11. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A. 为偶函数
B. 在上单调递增
C. 函数的图象关于点对称
D. 若函数在上没有零点，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象结合五点法确定函数解析式，然后判断各选项.
【详解】由图象可得：，最小正周期为，所以，
又，所以，
又，所以，所以.
对于：，
因为的定义域是，都有，
所以为偶函数，故正确.
对于:取，则，
，由，得，故错误.
对于:，所以是的一个对称中心，故正确.
对于:由题意得，
因为，所以
又因为函数在上没有零点，
所以，所以即，故正确.
故选：ACD
12. 定义在上的函数，满足为偶函数，且，，，则下列说法正确的是（）
A. 为偶函数 B. 图象关于点对称
C. 是以4为周期周期函数 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据为偶函数得到，然后结合得到即可判断A选项；即可判断B选项；根据和得到，即可判断C选项；根据的周期性得到的周期性，然后通过赋值得到，，，，最后根据周期性计算即可判断D选项.
【详解】因为为偶函数，所以，
在中用替换，得，所以，为偶函数，故A正确；
在中用替换，得，
又，所以，
在中用替换，得，则，
在中用替换，得，则，所以是以4为周期的周期函数，故C正确；
，故B错；
在中用替换得，
又，所以，则，所以是以4为周期的周期函数，
因为，，所以，，则，，
因为，所以，，，，
所以，故D正确.
故选：ACD.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）
13. 已知向量，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用向量数量积的公式求解即可.
【详解】向量，，
所以，
，，
所以，
故答案为：
14. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
分析】根据真数大于零及根号下大于等于零列出条件，解出即可.
【详解】由题知，，
，解得
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15. 已知为虚数单位，且，则的最大值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用复数模长的几何意义可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，根据几何意义为点到坐标原点的距离，结合圆的知识即可得解.
【详解】依题意，设，
由，得，则，
其几何意义为：对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
因为的几何意义为点到坐标原点的距离，
所以.
故答案为：.
16. 在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，点D在边上且为角A的角平分线，，则边的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先设，然后利用正弦正理把用表示出来，再结合三角函数有关知识即可求出的取值范围.
【详解】如图，设，则，，，
在中，由正弦定理得，即，
所以
，
在中，由，即得，
所以，
由于在上单调递减，所以，
所以.
故答案为：.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在中，，E是AD的中点，设，．
（1）试用，表示，；
（2）若，与的夹角为，求．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；
（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.
【小问1详解】
因为，所以，
所以.
因为E是AD的中点，
所以
.
【小问2详解】
因为，与的夹角为，
所以，
由（1）知，，，
所以
.
18. （1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）首先根据正切的和角公式求出，然后再借助构造齐次式进行求解即可；
（2）首先进行凑角，然后根据诱导公式及余弦的二倍角公式进行求解即可.
【详解】（1）已知，解得：.
又.
（2）已知，
得：
19. 设向量
（I）若
（II）设函数
【答案】（I）（II）
【解析】
【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，
＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，
及，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sinx＝，所以x＝.
(2) sinx·cosx＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x∈时，－≤2x－≤π，
∴当2x－＝时，
即x＝时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
20. 在中，角的对边分别为，满足．
（1）求角；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得，求得，即可求解；
（2）根据题意，由余弦定理求得，结合三角形面积公式，即可求解.
【小问1详解】
因为，
由正弦定理，可得，
即，
因为，可得，所以，
又因为，所以.
【小问2详解】
因为，，且
由余弦定理知，即，
解得，所以的面积为．
21. 如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径AB的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设．
（1）当时，求四边形ABCD的面积；
（2）若要在景区内铺设一条由线段AB，BC，CD和DA组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）把四边形分解为三个等腰三角形：，利用三角形的面积公式即得解；
（2）利用表示（1）中三个等腰三角形的顶角，利用正弦定理分别表示，和，令，转化为二次函数的最值问题，即得解.
【小问1详解】
连结，则
四边形的面积为
【小问2详解】
由题意，在中，，由正弦定理
同理在中，，由正弦定理
令
时，即，的最大值为5
22. 已知函数．
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若对于，不等式恒成立，求实数a的取值范围．（参考数据，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导得，分析的单调性，进而求得的单调性，即可求的最值；
（2）令，将问题转化为对于，不等式恒成立，对二次求导得，由(1)可知在上单调递增，再分和两种情况进行求解.
【小问1详解】
，当时，单调递增，，
当时，，
所以当时，，所以在上单调递增，
所以.
【小问2详解】
令，则，
由题意知对于，不等式恒成立，
又，由(1)可知在上单调递增，
时，
当，则，所以在上单调递增，
所以，此时满足不等式恒成立；
当时，，，所以，
若，则。所以，所以不等式恒成立，
若，因为，，所以，
此时在上单调递增，所以，
此时满足不等式恒成立；
时，由(1)知在上单调递增，
所以，所以在上单调递减，
所以，此时，与不等式恒成立矛盾.
综上所述，当时，不等式在恒成立，
即对于，不等式恒成立.
【点睛】1.时，函数单调递增，当时，函数单调递减；
2. 函数在上单调递增，则，,
函数在上单调递减，则，;
3. 若在上，函数恒成立，则在上，.
1
