广东省揭阳市普宁市2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题（含答案）

普宁市2023-2024学年高二上学期期中测试
数学
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则中元素的
个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．已知空间向量，，且与垂直，则等于（　　）
A． B． C． D．
3. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
4. 两条平行直线与之间的距离为（ 　）
A. B. C. D.
5. 如图，在四面体中，点为棱的中点，设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与所成角的余弦值是（ ）
A. B.
C. - D.
设点，，直线过点且与线段相交，
则的斜率的取值范围是（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短 在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ）
A. B. C. D.
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，错选得0分，漏选得2分，全对得5分）
9. 下列说法中，正确的有（ ）
A. 直线在y轴上的截距是2
B. 直线经过第一、二、三象限
C. 过点，且倾斜角为90°直线方程为
D. 过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为
10. 已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ）
A. 与是共线向量
B. 平面ABC的一个法向量是（1，－1，3）
C. 与夹角的余弦值是
D. 与方向相同的单位向量是（1，1，0）
11. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆：与圆：恰有三条公切线
C. 两圆与的公共弦所在的直线方程
为
已知圆：，为直线上一动点，过点向圆
引条切线，其中为切点，则的最小值为
12. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ）
A. 圆的方程是
B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为
C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为
D. 在直线上存在异于，的两点，，使得
第Ⅱ卷（主观题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13 已知空间中非零向量，且，，，则 _________
14. 已知直线与直线平行，
则___________.
15. 已知的圆心在轴上，半径为1，且过点，，则与的公共弦长为___________.
16. 已知为圆上任意一点，则的最大值是______.
解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤）
17、(10分）的内角的对边分别为，
已知
(I)求
(II)若，的面积为，求的周长
18．（12分）直线经过两直线：和：的交点
（1）若直线与直线平行，求直线的方程
（2）若点到直线的距离为5，求直线的方程
19、（12分）如图，在正四棱柱中，
已知，，E，F分别为，
上的点，且．
（1）求证：平面ACF
（2）求点B到平面ACF的距离
20. （12分）已知三个顶点坐标分别是，，.求：（1）外接圆的方程
（2）若点P是外接圆上的一动点，点为平面内一定点，
求线段MP的中点N的轨迹方程
21、（12分）如图，已知正方形和矩形所在
的平面互相垂直，，，M是线段
的中点．
（1）求证：平面
（2）若，求二面角的大小
（3）若线段上总存在一点P，使得，
求t的最大值
22.（12分） 已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.
（1）求实数的取值范围
（2）求证：为定值
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由
普宁市2023-2024学年高二上学期期中测试
数学（参考答案）
一、单项选择题（40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C C D D B C
多项选择题（20分）
题号 9 10 11 12
答案 BC BC AB ABD
三、填空题（20分）
13、 ；14、 ；15、 ；16、 ；
解答题
17、解：(I)由已知及正弦定理得：
即 故
∴
可得
∴
(II)由已知得， 又所以
由已知及余定理得：，，
从而
∴周长为．
解：（1）由，求得，
可得两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点为（－2，2）．
当直线l与直线3x＋y－1＝0平行，设l的方程为3x＋y＋m＝0，
把点（－2，2）代入求得m＝4，可得l的方程为3x＋y＋4＝0．
（2）当l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，满足点A（3，1）到直线l的距离为5．
当l的斜率存在时，设直限l的方程为y－2＝k（x＋2），
即 kx－y＋2k＋2＝0，
则点A到直线l的距离为 ＝5，求得k＝，
故l的方程为x－y＋2k＋2＝0，即 12x－5y＋34＝0．
综上，直线l的方程为x＝－2或12x－5y＋34＝0．
19. 解：（1）以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则,
设面的一个法向量为，
，
可得，即，不妨令则
平面
（2），则点到平面的距离为.
20. 解：（1）由，则线段的中点坐标为，
线段的中垂线的斜率，
直线的方程为：；
同理可得线段的中垂线的方程：，
联立可得，解得，则直线与的交点，
显然点为外接圆的圆心，则该圆的半径，
所以外接圆的方程为：.
（2）设的坐标为，的坐标为，
由为的中点，且，
则，整理可得，
由在圆上，则，
所以，化简可得：.
21. 证明：法一：设，连结，，
矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，
所以为平行四边形，
故，
又平面，平面，
所以平面；
法二：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
因为，，是线段的中点，
则，，，，，，
从而，，，，
设面法向量为，
则由，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
则，又平面，
所以，从而面.
若，则，，
平面的一个法向量为，
设面的法向量为，则，可知，
令，则，，从而面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，因为为锐角，所以，
所以二面角的大小为.
（3）因为点在线段上，而，
设，其中，
则，从而，
于是，而，
由知，即，
所以，解得，故的最大值为.
解：（1）（法一）设直线方程为，即，
点C（2，3）到直线的距离为, 解得
（法二）设直线方程为，
联立圆C的方程得,此方程有两个不同的实根
, 解得
设直线方程为，
联立圆C的方程得,
设M, 则
假设存在满足条件的直线，
则有
得，从而得,
此方程无实根
所以，不存在以MN为直径的圆过原点．