广东省清远市2023-2024学年高二上学期期中调研联考数学试题（含解析）

清远市2023-2024学年高二上学期期中调研联考
数学
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量，则与同向共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
2．若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ）
A． B． C． D．
4．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A． B． C． D．
5．两条平行直线和间的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
6．若随机事件互斥，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行六面体的各棱长均为，
则（ ）
A． B． C． D．
8．如图，已知，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ）
A． B．6 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线可以是（ ）
A． B． C． D．
10．已知事件，且，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果与互斥，那么
C．如果与相互独立，那么
D．如果与相互独立，那么
11．如图，两两垂直，且，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点关于点的对称点的坐标为
B．夹角的余弦值为
C．平面的一个法向量的坐标为
D．平面与平面夹角的正弦值为
12．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上的点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知向量，点，且，则______．
14．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具．这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______．
15．已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为______．
16．若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求过原点与点的直线的方程．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，．
（1）利用空间向量证明；
（2）求的长．
19．（本小题满分12分）
已知圆，直线．
（1）求证：直线恒过定点；
（2）求直线被圆截得的弦长最短时的值以及最短弦长．
20．（本小题满分12分）
小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同．
（1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率；
（2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率．
21．（本小题满分12分）
设是平面上两点，则满足（其中为常数，且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，且点满足．
（1）求点所在圆的方程；
（2）已知圆与轴交于两点（点在点的左边），斜率不为0的直线过点且与圆交于两点，证明：．
22．（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离．
清远市2023-2024学年高二上学期期中调研联考
数学
参考答案、提示及评分细则
1．D因为向量，所以，所以与同向共线的单位向量为：
，故选D．
2．C方程化为标准方程为，有．
3．B因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，又因为，所以，故选B．
4．B某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率为．由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，故出现正面朝上的概率为，故选B．
5．C因为直线与直线平行，所以，所以两直线分别为和，所以．故选C．
6．A因为随机事件互斥，则，依题意及概率的性质得，即，解得，所以实数的取值范围是．故选A．
7．B由已知可得，
所以，所以．故选B．
8．A易得所在直线方程为，由于点关于直线的对称点坐标为，点关于轴的对称点坐标为，则光线所经过的路程即为与两点间的距离，于是．
9．AC当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，所以；当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，把代入直线方程得，解得，所以直线方程为．故满足条件的直线方程为或．故选AC．
10．BC对于A，如果，那么，故A错误；
对于B，如果与互斥，那么，故B正确；
对于C，如果与相互独立，那么，故C正确；
对于D，如果与相互独立，那么，故D错误．故选BC．
11．ACD对于A，设点关于点的对称点为，则中点为，由得，A正确；对于B，由，得，所以夹角的余弦值为，B错误；对于C，因为，设平面的一个法向量的坐标为（，，），
则，取得平面的一个法向量的坐标为，C正确；平面的一个法向量为平面与平面夹角的正弦值为，D正确．故选ACD．
12．ACD，由题意可得的“欧拉线”为的中垂线，由，点可得的中点为，且线段的中垂线方程为，即，故A正确；
三角形的“欧拉线”与圆相切，圆心到直线的距离圆的方程为圆心到直线的距离，圆上的点到直线的距离的最大值为，故B错误；
令，代入圆的方程，可得，由于在圆上，有根，则，整理得解得的最小值为，即的最小值为，故C正确；
圆的圆心坐标为，半径为，圆的圆心坐标为，半径为，要使圆与圆有公共点，则圆心距，即圆心距，即，解得，故D正确．
13．因为，所以，因为，所以，所以．
14．设装变形金刚玩具的盒子分别为，装积木玩具的盒子为．则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有，共10种不同方法；恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有，共4种不同方法，故所求概率．
15．2
第15题图
由题意画出图形，如图所示，因为，且是向量在上的投影，所以当在棱上时，投影最大，所以的最大值为．
16．如图所示．
第16题图
设与直线平行且与直线之间的距离为1的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，即．
17．解：（1）因为直线斜率为，且，
所以，直线斜率为，
由得，解得或，
当或时均不重合，所以的值为3或．
（2）因为直线斜率为，且，
所以，直线斜率为，
由得，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即．
18．（1）证明：设，则构成空间的一个基底，
所以
所以．
（2）解：由（1）知，
所以
．
所以．
19．（1）证明：直线的方程可化为，
联立，解得．
故直线恒过定点．
（2）解：设，当直线时，直线被圆截得的弦长最短．
因为直线的斜率为．
故直线的斜率为，解得．
此时圆心到直线的距离为，
又因为圆半径，
所以最短弦长为．
20．解：（1）记“甲第次抢得红包”为事件，“甲第次没有抢得红包”为事件．
则．
记“甲恰有1次抢得红包”为事件，则，
由事件的独立性和互斥性，得
（2）记“乙第次抢得红包”为事件，“乙第次没有抢得红包”为事件．
则．
由事件的独立性和互斥性，得
乙抢得红包钱数为10元的概率为；
乙抢得红包钱数为15元的概率为；
乙抢得红包钱数为20元的概率为．
即乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率为．
21．（1）解：由题意可得，
设，则，
整理得，即圆的方程为．
（2）证明：对于圆，令，得或，所以．
设直线的方程为．
由得，
因为点在圆内，所以方程恒有解．
则．
直线的斜率和为
，
则直线与关于轴对称，即，
22．解：（1）因为四棱锥是正四棱锥，连接交于点，则，
连接，则平面，所以两两垂直．
如图所示，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，因为，则，
设与交于点，则为的中点，
所以，
所以，
设平面的一个法向量为，则有，得，
取，得，
直线的一个方向向量为，
设与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（2）因为四棱柱的体积为，所以，
由（1）知，，．
因为，则，
所以，，
设平面的一个法向量为，则有，得，
取，得，
所以点到平面的距离为．