河北省示范性高中2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

河北省示范性高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
班级______姓名______
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和考号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．已知是平面内不共线的四点，点为平面外一点，若，则（ ）
A． B． C．1 D．3
3．如图，在正三棱台中，为中点，为中点，设，则可用表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点在直线上运动，且，点在圆上，则的面积的最大值为（ ）
A． B．3 C．2 D．
5．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则（ ）
A．4 B．5 C．8 D．9
6．加斯帕尔·蒙日（Gaspard Monge）是法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”．若某椭圆对应的蒙日圆方程为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，设点（其中表示中的较大数）为两点的“切比雪夫距离”．若为直线上动点，则两点“切比雪夫距离”的最小值为（ ）
A． B．1 C．2 D．
8．双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线右支交于点，原点到直线的距离为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知椭圆的一个焦点和一个顶点在直线上，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
10．从棱长为1的正方体八个顶点中取不共面的四个顶点构成一个三棱锥，则下列关于该三棱锥说法正确的是（ ）
A．该三棱锥可能为正四面体 B．该三棱锥的四个面可以均为直角三角形
C．所有三棱锥的体积均相同 D．该三棱锥的外接球表面积为
11．已知双曲线，且有，则下列说法正确的有（ ）
A．渐近线方程为 B．焦点到渐近线的距离为
C．若双曲线上一点满足，则的周长为20
D．过左焦点与相交的弦长为6的直线有3条
12．已知曲线的方程是，则下列关于曲线的说法正确的是（ ）
A．曲线与轴和轴共有4个公共点 B．曲线总长度为
C．点在曲线上，则的最大值为
D．曲线与坐标轴围成的图形面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线，则过点与直线垂直的直线的方程为______．
14．写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程：______．
①实轴长为4 ②渐近线方程为
15．圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围为______．
16．如图1，已知为直分三角形，于点，现沿将折成的二面角如图2，则与平面所成角为______．
图1 图2
四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 ．
17．在中，，角的角平分线方程为边上的高线方程为．
（1）求所在直线方程；
（2）求所在直线方程．
18．已知圆，直线交圆于两点，且线段的中点为．
（1）求圆的方程；
（2）过点作圆的切线，求切线所在的直线方程．
19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．
（1）证明：直线平面；
（2）求点到平面的距离．
20．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且线段的中点为，该抛物线的焦点到准线的距离不大于3．
（1）求抛物线的方程；
（2）设点为抛物线上的动点，若，当的中点到抛物线的准线距离最短时，求所在直线方程．
21．如图，在三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，侧面底面为中点，．
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
22．已知椭圆的长轴长为4，且三点，中恰有一点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知为坐标原点，直线交椭圆于两点，为椭圆上与不重合的点，若．试判断的面积是否为定值？如果是，求出这个定值，如果不是，请说明理由．
河北省示范性高中2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B B B D AD ABD BCD BCD
1．【答案】 A
【解析】 由题知直线恒过．故选A．
2．【答案】 C
【解析】 因为四点共面，，所以．故选C．
3．【答案】 B
【解析】 由题意可得，
而．故选B．
4．【答案】 A
【解析】 圆的圆心，半径为1，圆心到直线的距离的面积最大时，点到直线的距离最长，该最长距离即圆心到直线的距离加上圆的半径，边上高的最小值为，则的最小值为，故选A．
5．【答案】 B
【解析】 由题点，又因为，所以，设，则，，解得，所以，则．故选B．
6．【答案】 B
【解析】 由已知可得椭圆对应的蒙日圆方程为，
所以．故选B．
7．【答案】 B
【解析】 设，可得，
由，解得，即有，则当时，取最小值1；
由，解得或，即有，即，
综上可得：两点“切比雪夫距离”的最小值为1．
8．【答案】 D
【解析】 ，故，由双曲线定义得，所以，在中，由余弦定理得
，化简得，又，
所以，方程两边同时除以得，解得，
所以离心率．故选D．
9．【答案】 AD
【解析】 由题直线的横截距为2，纵截距为，当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准方程为；当椭圆焦点在轴上时，，则，此时椭圆的标准方程为．故选AD．
10．【答案】 ABD
【解析】 如图，当三棱锥为时，为正四面体，故A正确；当三棱锥为时，为正四面体，故B正确；，故C错误；所构成三棱锥的外接球即为该正方体的外接球，即外接球半径为，表面积为．故选ABD．
11．【答案】 BCD
【解析】 由题，所以的方程可化为，则，即．所以渐近线方程为，故A错误；焦点到渐近线的距离为，故B正确；由双曲线的定义可知，若，则，，故的周长，故C正确；对于D，交于同一支时弦长最小值为，交于两支时弦长最小值为．根据对称性可知过左焦点与相交所得弦长为6的直线有3条，故D正确．故选BCD．
12．【答案】 BCD
【解析】 根据题意，曲线的方程是，必有且，故A错误；当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，当时，方程为，作出图象如图所示，设的圆心为，易知，，所以曲线的总长度为，与坐标轴围成的面积为，故BD正确；当点与圆弧所在的圆心共线时，取得最大值，此时，故C正确．故选BCD．
13．【答案】
【解析】 由题可设，又知直线过点，所以，解得，即直线的方程为．
14．【答案】 或（写出一个即可）
【解析】 见答案．
15．【答案】 9
【解析】 圆，圆心，圆，圆心，，因为两圆有4条公切线，所以两圆相外切，即，又，解得．
16．【答案】
【解析】 由得，即为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系．，由题易知平面的法向量为，设直线和平面所成的角为，则．即．
17．【解析】 （1）因为边上的高线方程为，则，所以，
所以所在直线方程为，即
（2）将代入得，所以，
因为角的角平分线方程为，所以，
所以所在直线方程为，即为
18．【解析】 （1）因为的中点为，则，即．
所以的垂直平分线为，即，
圆的圆心，代入，即，解得，
故圆心为，半径，故圆方程为．
（2）当直线斜率不存在时，此时，与圆相切；
当直线斜率存在时，设直线方程为，即，
圆心到直线的距离为，解得，
故直线方程为，即．
综上所述，直线的方程为或．
19．【解析】 （1）证明：取中点，
点均为中点，，
又知，，
四边形为平行四边形，，
又平面平面，
直线平面；
（2）由题底面为正方形，底面，所以两两互相垂直，所以分别以，，为轴建立空间直角坐标系，
则有，设平面的法向量为，
则有，即，令，得，
．
所以点到平面的距离为．
20．【解析】 （1）依题意得，焦点到准线的距离不大于3，所以设，由的中点坐标为，
得，解得，
在抛物线，
即，解得或（舍），
抛物线的方程为．
（2）根据题意直线的斜率存在，设直线的方程为，设中点，
由，
，
，
，
则
的中点到准线的距离等于，
当最小时，的中点到准线的距离最短．
当且仅当时，解得，则．
所以直线的方程为或．
21．【解析】 （1）证明：取的中点，连结，
由题易知，
为正三角形，为中点，，
又由，平面，
又，四边形为平行四边形，
，，平面，
平面平面
（2）由（1）可知两两垂直，所以分别以为轴建立空间直角坐标系，则有，
易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则有，即，令，得，
．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
22．【解析】 （1）因为椭圆的焦距为，所以．
因为和． 关于轴对称，所以点在椭圆上，
则，解得，
所以椭圆方程为．
（2）因为，则四边形为平行四边形，
所以．
由题设，
联立方程组得，消去可得：，
由，整理得，
则，
可得，
所以．
因为点在椭圆上，则，
所以，满足，
则，
又因为点到直线的距离，
所以；
综上所述：面积为定值，且定值为．