德阳五中高 2021 级高三上期 期 中考试
数学（文科）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C B B D C B A A B B D
81 1
13. -3 14.8.1/ 15. 16.1
10 3
17（1）设等比数列 a qn 的公比为 ，由题意，b2 = a2 ,b5 = a3,b14 = a4 ，
b2 25 = b2b14 , (1+ 4d) = (1+ d )(1+13d )，解得d = 2，或d = 0（舍去）.........2分
a a
a2 = 3,a3 = 9, q =
3 = 3,a1 =
2 =1，..................................4分
a2 q
bn =1+ 2(n 1) = 2n 1,an = 3
n 1
..................................................................................6 分
c1 c2 c
（2）由题意， + + +
n = bn ，①
a1 a2 an
c1 c c c + 2 + + n + n+1 = bn+1，②.........................................7 分
a1 a2 an an+1
cn+1
②-①得 = bn+1 bn = 2, cn+1 = 2an+1, cn = 2an = 2 3
n 1 (n 2)，............8
an+1
分
1,n =1
当n =1时，c =1不满足上式，所以c =1 n n 1 ，....................10 分
2 3 ,n 2
1 32022
c1 + c + + c =1+ 2 3 = 3
2023
2 2023 2 ......................................................12 分
1 3
3
18.（1）设CD = 2AD = 2a,a 0，因为 ACD的面积为 , ADC =120 ，
2
1 3
所以 2a a sin120 = ，解得a =1............................................................2 分
2 2
所以 AB =CD = 2, AD =1．
在 ACD中，由余弦定理得 AC2 = AD2 +CD2 2AD CDcos120
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}
1
=1+ 4 2 2 1 = 7，所以
2
AC = 7 ．..........................................................................................................4 分
在Rt△ABC 中， AB ⊥ BC, AB = 2，所以BC = AC2 AB2 = 7 4 = 3 ，
BC 3 21
所以sin CAB = = = ；...........................................................................6 分
AC 7 7
（2）由（1）可得CD = 2, AC = 7 ，
CD AC
在 ACD中，由正弦定理得 = ，
sin CAD sin ADC
3
2
所以 CDsin ADC 2 21 ，且0 CAD 60 ．...........10 分 sin CAD = = =
AC 7 7
21
由（1）可得sin CAB = ，又0 CAB 90 ，
7
所以 CAB = CAD．.................................................................................................12 分
19.解析 (1)由频率分布直方图可知 B 运营商测评得分的平均值为
45×0.08＋55×0.16＋65×0.26＋75×0.3＋85×0.16＋95×0.04＝69.2......................4 分
(2)由频率分布表可知 A 运营商测评得分优秀的有 100×(0.24＋0.03＋0.02)＝29(个)，非优秀
的有 100×(0.18＋0.23＋0.3)＝71(个)，............................................................6 分
由频率分布直方图可知 B 运营商测评得分优秀的有(0.03＋0.016＋0.004)×10×100＝
50(个)，非优秀的有(0.008＋0.016＋0.026)×10×100＝50(个)，..............................8 分
则可得列联表如下：
优秀 非优秀 总计
A 运营商 29 71 100
B 运营商 50 50 100
总计 79 121 200
200×(29×50－71×50)2
则 K2＝ 100×100×79×121 ≈9.227>6.635，........................................................10 分
所以有 99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关．.....................................12 分
20（1）因为 f (x) = 2x3 3(a +1) x2 + 6ax (a 0)，
所以 f (x) = 6x2 6(a +1) x +6a = 6(x 1)(x a)．.....................2分
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}
2
①当a =1时， f (x) = 6(x 1) 0， f (x)在R 上严格递增；..............3分
②当a 1时，由 f x 0得 x 1或 x a，由 f (x) 0得1 x a ，
所以 f (x)在 ( ,1)单调递增，在 (1,a)上单调递减，在 (a,+ )单调递增；.........6 分
2
（2）由（1）可知①当a =1时， f (x) = 6(x 1) 0，
f (x)在 0,a +1 上严格递增，此时 f (x)在 0,a +1 上的最大值为 f (a +1)；.......7分
②当a 1时， f (x)在 (0,1)单调递增，在 (1,a)上单调递减，在 (a,a +1)单调递增；
f (x)在 0,a +1 上的最大值可能是 f (1)或 f (a +1)，
因为 f (x)在 0,a +1 上的最大值为 f (a +1)，
f (a +1) f (1) = ( a3 2所以 +3a +3a 1) (3a 1) = a3 +3a2 = a2 (a 3) 0 ，
解得a 3，此时1 a 3........................................11 分
由①②③得，1 a 3
∴满足条件的 a的取值范围是 1，3 ...............12分
21.（1）解： g (x) = lnx +bx +1在 1，+ )单调递减，
1 1
g (x) = +b 0在 1，+ )上恒成立，即b 在 1，+ )上恒成立，.......2分
x x
1
设 h(x) = ， x 1，+ )，需b h(x)min 即可，
x
1 1 1
h(x) = ， x 1，+ )，则h (x) = 0， h(x) = 在 1，+ )单调递增，
x x2 x
h(x)min = h(1) = 1，故b 1；........................................4 分
（2）由题意，不等式 x f (x)+ x g (x)对 x (0,+ ) , a 1,+ )恒成立，则
xeax lnx +bx +1对一切 x (0,+ )恒成立，
a 1, x 0，所以 xeax xex ，........................................5 分
原命题等价于 xex lnx +bx +1对一切 x (0,+ )恒成立，
lnx 1
b ex 对一切 x (0,+ )恒成立，.............................6分
x x
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}
F (x) = ex
lnx 1
令 (x 0) ， b F(x)min ，
x x
lnx x2ex + lnx
F (x) = ex + = ，
x2 x2
1
令h(x) = x2ex + lnx, x (0,+ ) x 2 x，则h (x) = 2xe + x e + 0对 x (0,+ )恒成立，
x
1
1 2
h (x)在 (0,+ )上单增，又h (1) = e 0,h = ee 1 e
0 1= 0 ，
e
1
x0 ,1 使 h(x0 ) = 0，即 x
2 xe 00 + lnx0 = 0①，.......................8 分
e
当 x (0, x0 )时，h(x) 0，即F (x)在 (0, x0 )递减，
当 x (x0 ,+ )时，h(x) 0 ，即F (x)在 (x0 ,+ )递增，
x lnx 1 F(x)min = F (x0 ) = e 0
0 ，.......................................9 分
x0 x0
1
2 x x lnx0 1 1 1
ln
0 0 x由① x0e = lnx0 ， x0e = = ln = ln
0
e ，
x0 x0 x0 x0
设 (x) = xex ， x (0,+ ) x x，则 (x) = e + xe = (1+ x)ex 0，
函数 (x) = xex 在 (0,+ )单调递增，
1
x0 = ln 即 x0 = lnx0 ，.............................................11分 x0
x
F (x) = e lnx0 0
1 1 1
= +1 =1
min ， b 1, x0 x0 x0 x0
实数b 的取值范围为 ( ,1 ........................................................................................12 分
x = 2cos x2
22（1）由 （ 为参数），得 + y
2 =1，
y = sin 4
x2
故曲线 C的普通方程为 + y2 =1．............................2分
4
由2 cos sin + 2 = 0 ，得2x y + 2 = 0，
故直线 l的直角坐标方程为2x y + 2 = 0．........................4 分
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}
5
x = t
5
（2）由题意可知直线 l的参数方程为 （t为参数）．......6分
2 5
y = 2+ t
5
将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程并整理得17t2 +32 5t +60 = 0，...7分
设 A，B对应 参数分别是 t1 ， t2 ，
32 5 60
则 t + t = ， t1t2 = ，........................8分 1 2
17 17
1 1的t1 + t2 t1 + t2 8 5故 + = = = ．........................10 分 PA PB t1t2 t1t2 15 3 5 3x, x 2
3
23.（1） f (x) = 2x 3 + x 2 = x 1, x 2，
2
3x 5, x 2
3 3
x x 2 x 2
不等式 f (x) 3可化为① 2 ，或② 2 ，或③ ，
5 3x 3 x 1 3
3x 5 3
3 8
解①得 ，解②得 x 2，解③得2 x ，
2 3
2 8 2 8
故 x ，所以M = x | x ；..............................5分
3 3 3 3
2
（2）由（1）可知m = ，所以a+b = 2 ，
3
2 2 2 2
b2 +5 a2 (2 a) +5 (2 b) a 4a +9 b 4b+ 4
所以 + = + = +
a b a b a b
9 4 9 4 1 9 4
= a +b+ + 8 = + 6 = + (a+b) 6
a b a b 2 a b
1 9b 4a 1 9b 4a 13
= + +13 6 2 +13 6 = ，
2 a b 2 a b 2
9b 4a 6 4
当且仅当 = ，2a = 3b ，即a = ,b = 时等号成立，
a b 5 5
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}
b2 +5 a2 13
所以 + 的最小值为 ..............................................................10 分
a b 2
{#{QQABLYSUggCIQBJAAAhCEwVyCgOQkBECACoGRBAEIAABgANABAA=}#}德阳五中高2021级高三上期期中考试
数学试卷（文科）
（总分：150分 答题时间：120分钟）
一.选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上)
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
B. C. 或 D. 1
5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D . 若，，，则
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 从2、3、4、5、6这5个数中任取3个不同的数，事件：“取出的3个不同的数的中位数是4”，则（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 函数，若有个零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若满足约束条件，则的最小值为______．
14．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若线性相关，线性回归方程为，则当时，的预测值为 万盒．
15.已知，则___________
16. 如图，将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，得到如图所示的函数的图象，若，则最小值为__________.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知等比数列的第二 三 四项分别是等差数列的第二 五 十四项，且等差数列的首项，公差.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列对任意均有成立，求的值.
18．如图，在四边形中，的面积为
(1)求；
(2)证明：．
19．10．为了了解市民对A，B运营商的5G通信服务的评价，分别从A，B运营商的用户中随机抽取100名用户对其进行测评，已知测评得分在70分以上的为优秀，测评结果如表：
A运营商的100名用户的测评得分
得分 [40，50] (50，60] (60，70] (70，80] (80，90] (90，100]
频率 0.18 0.23 0.3 0.24 0.03 0.02
(1)根据频率分布直方图，求B运营商的100名用户的测评得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为测评得分是否优秀与运营商有关？
优秀 非优秀 总计
A运营商
B运营商
总计
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
20. 已知函数，其中
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
21．已知函数（为自然对数的底数），.
（1）若在单调递减，求实数的取值范围；
（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）在（1）条件下，设中的最小的数为，正数满足，求的最小值.
