德阳五中高 2021 级高三上期 期 中考试
数学（理科）参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C B B D C B A C B B B
1 5
13. -3 14.8.1 15. 16.
3 5
17（1）设等比数列 an 的公比为q，由题意，b2 = a2 ,b5 = a3,b14 = a4 ，
b25 = b2b14 , (1+ 4d)
2 = (1+ d )(1+13d )，解得d = 2，或d = 0（舍去）.........2分
a a
a2 = 3,a3 = 9, q =
3 = 3,a 21 = =1，..................................4分
a2 q
b n 1n =1+ 2(n 1) = 2n 1,an = 3 ..................................................................................6 分
c1 c+ 2
cn
（2）由题意， + + = bn ，①
a1 a2 an
c c c c
1 + 2 + + n + n+1 = bn+1，②.........................................7 分
a1 a2 an an+1
cn+1 n 1
②-①得 = bn+1 bn = 2, cn+1 = 2an+1, cn = 2an = 2 3 (n 2)，............8
an+1
分
1,n =1
当n =1时，c =1不满足上式，所以cn =1 n 1 ，....................10 分
2 3 ,n 2
1 32022
c1 + c2 + + c =1+ 2 3 = 3
2023
2023 2 ......................................................12 分
1 3
3
18.（1）设CD = 2AD = 2a,a 0，因为 ACD的面积为 , ADC =120 ，
2
1 3
所以 2a a sin120 = ，解得a =1............................................................2 分
2 2
所以 AB =CD = 2, AD =1．
在 ACD中，由余弦定理得 AC2 = AD2 +CD2 2AD CDcos120
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
1
=1+ 4 2 2 1 = 7，所以
2
AC = 7 ．..........................................................................................................4 分
在Rt△ABC 中， AB ⊥ BC, AB = 2，所以BC = AC2 AB2 = 7 4 = 3 ，
BC 3 21
所以sin CAB = = = ；...........................................................................6 分
AC 7 7
CD AC
（2）由（1）可得CD = 2, AC = 7 ，在 ACD中，由正弦定理得 = ，
sin CAD sin ADC
3
2
所以 CDsin ADC 2 21 ，且0 CAD 60 ．...........10 分 sin CAD = = =
AC 7 7
21
由（1）可得sin CAB = ，又0 CAB 90 ，
7
所以 CAB = CAD．.................................................................................................12 分
19.（1）解：这 600 辆车在9 : 20 ~ 10 : 40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为
(30 0.005+50 0.015+ 70 0.020+90 0.010) 20 = 64，即10:04 ......................2 分
（2）解：结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的 10 辆车中，在10 : 00前通
过的车辆数就是位于时间分组中在[20， 60) 这一区间内的车辆数，即
(0.005+ 0.015) 20 10 = 4，所以 X 的可能的取值为 0，1，2，3，
4． .....................3 分
C4 1 C1C3 8 C2C2 3
所以P(X = 0) =
6 = ，P(X =1) =
4 6 = P(X = 2) = 4 6， =
C4 14 C4 21 C4
，
10 10 10 7
C3C1 4 C4
P(X = 3) = 4 6 = P(X = 4) = 4
1
4 ， =4 ，.....................................................6 分 C10 35 C10 210
所以 X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4
1 8 3 4 1
P
14 21 7 35 210
1 8 3 4 1 8
.所以E(X ) = 0 +1 + 2 +3 + 4 = ．...............................8 分
14 21 7 35 210 5
（3）由（1）得 = 64，
2 = (30 64)2 0.1+ (50 64)2 0.3+ (70 64)2 0.4+ (90 64)2 0.2 = 324，...........9 分
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
所以 =18，估计在9: 46 ~10: 40之间通过的车辆数也就是在[46，100)通过的车辆数，
由T ~ N(64，182 )，得
P( T + ) P( 2 T + 2 )
P(64 18 T 64+ 2 18) = + = 0.8186
2 2
，所以估计在9: 46 ~10: 40之间通过的车辆数为1000 0.8186 819辆．.....................12 分
20（1）因为 f (x) = 2x3 3(a +1) x2 + 6ax (a 0)，
所以 f (x) = 6x2 6(a +1) x +6a = 6(x 1)(x a)．.....................2分
2
①当a =1时， f (x) = 6(x 1) 0， f (x)在R 上严格递增；..............3分
②当0 a 1时，由 f x 0得 x a或 x 1，由 f (x) 0得a x 1，
所以 f (x)在 ( ,a)单调递增，在 (a,1)上单调递减，在 (1,+ )单调递增；........4分
③当a 1时，由 f x 0得 x 1或 x a，由 f (x) 0得1 x a ，
所以 f (x)在 ( ,1)单调递增，在 (1,a)上单调递减，在 (a,+ )单调递增；.........6 分
2
（2）由（1）可知①当a =1时， f (x) = 6(x 1) 0，
f (x)在 0,a +1 上严格递增，此时 f (x)在 0,a +1 上的最大值为 f (a +1)；.......7分
②当0 a 1时， f (x)在 (0,a)单调递增，在 (a,1)上单调递减，在 (1,a +1)单调递增；
f (x)在 0,a +1 上的最大值只有可能是 f (a)或 f (a +1)，
因为 f (x)在 0,a +1 上的最大值为 f (a +1)，
所以 f (a +1) f (a) = ( a3 +3a2 +3a 1) ( a3 +3a2 ) = 3a 1 0 ，
1 1
解得a ，此时 a 1；........................................9 分
3 3
③当a 1时， f (x)在 (0,1)单调递增，在 (1,a)上单调递减，在 (a,a +1)单调递增；
f (x)在 0,a +1 上的最大值可能是 f (1)或 f (a +1)，
因为 f (x)在 0,a +1 上的最大值为 f (a +1)，
f (a +1) f (1) = ( a3所以 +3a2 +3a 1) (3a 1) = a3 +3a2 = a2 (a 3) 0 ，
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
解得a 3，此时1 a 3...............................................11分
1
由①②③得， a 3，
3
1
∴满足条件的 a的取值范围是 ,3 ．......................................12 分
3
21.（1）解：由函数 f (x) = x ln x的定义域为 (0,+ )，可得 f (x) = ln x +1，............1 分
1 1 1
令 f (x) = 0，可得 x = ，由 f (x) 0，可得0 x ；由 f (x) 0，可得 x ，
e e e
1 1
所以函数 f (x)的单调递减区间为 0, ，单调递增区间为 ,+ ．...............2 分
e e
则 x, f (x) , f (x)列表得：
1 1 1
x 0, ,+
e e e
f (x) 0 +
1
f (x) 极小值
e
1 1
所以当 x = 时的极小值为 ，无极大值．
e e
1 1
函数 f (x) 在 0, 上单调递减，在 ,+ 上单调递增．............................3 分
e e
1
（2）解：由题意得，设M (x0 , x0 ln x0 )， x0 ，所以 k l = f (x0 ) = ln x0 +1，
e
故切线 l的方程为 y = (ln x0 +1) x x0，
x x
2
所以 A 0 ,0 ，B (0, x0 )
0
，则 S = ..........................................5 分
ln x 2 ln x +10 +1 ( 0 )
x2 1 x(1+ 2ln x) 1
令 h (x) = , x ，所以h (x) = ，令h (x) = 02 ，可得 x = e 2 ， 2(ln x +1) e 2(1+ ln x)
则 x,h (x) ,h (x)列表得，
1 11 1
x ,e 2 2 e 2 e ,+
e
h (x) 0 +
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
1
h(x) 极小值
e
1 1 1
所以当 2 时，h(x)min = ，此时 Smin =x = e ．..............................7 分 e e
（3）解：由题意，得 g(x) = e x ln x f (x) = e x ln x x ln x，
1
令 t = x ln x， t t ,+ ，可得 (t) = e t ，
e
则不等式 g(x) 1对任意 x (0,+ )恒成立，................................8 分
1
即转化为 (t) = e t t 1对任意 t ,+ 恒成立，
e
又由 (t) = e t 1，
1
当 0时， (t) 0恒成立，所以函数 (t)在 ,+ 上单调递减，
e
因为 (1) = e 1 1，不符合题意；....................................9 分
1 1
当 0时，令 (t) = 0，解得 t = ln ，
1 1 1 1
①当 = e时， ln = ，此时 (t)≥0 恒成立，所以 (t) 在 ,+ 上单调递增， e e
1 2
但是 = 1，不符合题意；..................................................10 分
e e
1 1 1
②当 0且 e时，由（1）知， ln ，
e
1 1 1 1 1
故 (t)在 , ln 上单调递减，在 ln ,+ 上单调递增，
e
1 1 1 1 1 1 1 1
所以 (t)min = ln = ln ，则 ln 1，即 ln +1 0, 0，③.....11
分
构造函数m( ) = ln +1, 0，可得
1 1
m ( ) = 1= ,m ( ) 0,0 1,m ( ) 0, 1，
所以m( )在(0,1)上单调递增，在 (1,+ )上单调递减，
故m( )max =m(1) = 0，即 ln +1 0， 0，④
由③④得，即 ln +1= 0，解得 =1，即实数 的值为1 ．...................12 分
x = 2cos x2
22（1）由 （ 为参数），得 + y
2 =1，
y = sin 4
x2
故曲线 C的普通方程为 + y2 =1．............................2分
4
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
由2 cos sin + 2 = 0 ，得2x y + 2 = 0，
故直线 l的直角坐标方程为2x y + 2 = 0．........................4 分
5
x = t
5
（2）由题意可知直线 l的参数方程为 （t为参数）．......6分
2 5
y = 2+ t
5
将直线 l的参数方程代入曲线 C的普通方程并整理得17t2 +32 5t +60 = 0，...7分
设 A，B对应 参数分别是 t1 ， t2 ，
32 5 60
则 t + t = ， t1t2 = ，........................8分 1 2
17 17
1 1 t1 + t2 t1 + t2 8 5
故 + = = = ．........................10 分
PA PB的t1t2 t1t2 15 3 5 3x, x 2
3
23.（1） f (x) = 2x 3 + x 2 = x 1, x 2，
2
3x 5, x 2
3 3
x x 2 x 2
不等式 f (x) 3可化为① 2 ，或② 2 ，或③ ，
3x 5 3
5 3x 3
x 1 3
3 8
解①得 ，解②得 x 2，解③得2 x ，
2 3
2 8 2 8
故 x ，所以M = x | x ；..............................5分
3 3 3 3
2
（2）由（1）可知m = ，所以a+b = 2 ，
3
2 2 2b +5 a2 (2 a) 2+5 (2 b) a 4a +9 b2 4b+ 4
所以 + = + = +
a b a b a b
9 4 9 4 1 9 4
= a +b+ + 8 = + 6 = + (a+b) 6
a b a b 2 a b
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}
1 9b 4a 1 9b 4a 13
= + +13 6 2 +13 6 = ，
2 a b 2 a b 2
9b 4a 6 4
当且仅当 = ，2a = 3b ，即a = ,b = 时等号成立，
a b 5 5
b2 +5 a2 13
所以 + 的最小值为 ..............................................................10 分
a b 2
{#{QQABLYSUggCIQAAAAQhCEwVCCACQkAECAKoGgAAEIAABgBNABAA=}#}德阳五中高2021级高三上期期中考试
数学试卷（理科）
（总分：150分 答题时间：120分钟）
一.选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上)
1. 已知集合，，则
A. B. C. D.
2. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ）
A. B.
C. D.
4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ）
B. C. 或 D. 1
5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D . 若，，，则
6. 函数的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
7.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. 从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则（ ）
A. B. C. D.
10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
13. 若满足约束条件，则的最小值为______．
14．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若线性相关，线性回归方程为，则当时，的预测值为 万盒．
15. 已知，则___________
16. 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面ABCD的交线，平面与平面的交线，若直线AB与所成角为，直线AB与所成角为，则的值是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. 已知等比数列的第二 三 四项分别是等差数列的第二 五 十四项，且等差数列的首项，公差.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设数列对任意均有成立，求的值.
18．如图，在四边形中，的面积为
(1)求；
(2)证明：．
19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64.
(1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望；
(3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）.
参考数据：若，则，，.
20. 已知函数，其中a是正数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数在闭区间上的最大值为，求a的取值范围．
21．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)若过点的切线分别交轴和轴于两点，为坐标原点，记的面积为，求最小值；
(3)设函数，且不等式对任意恒成立，求实数的值．
选考题：共10分.考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框.
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．
（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，点，求的值．
23. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）在（1）条件下，设中的最小的数为，正数满足，求的最小值.
